🛠️ Công cụ

Bài 5: Ứng dụng thực tiễn

Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 5: Ứng dụng thực tiễn — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết✍️ Ví dụ đủ dạng🎯 Trắc nghiệm (10 MCQ)📝 Bài tập tự luận

I. Ứng dụng đạo hàm trong Vật lý (Vận tốc, Gia tốc, Chuyển động)

⚡ Vận tốc tức thời và Gia tốc tức thời

Cho một vật chuyển động có phương trình quãng đường theo thời gian $t$ là $s = s(t)$ ($t \ge 0$):

  • Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian: $$v(t) = s'(t)$$
  • Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc hai của quãng đường (hoặc đạo hàm của vận tốc): $$a(t) = v'(t) = s''(t)$$
  • 📌 Điều kiện vật dừng lại: $v(t) = 0$. Vận tốc đạt giá trị cực đại khi $v'(t) = a(t) = 0$.
🔍 Ví dụ 1 (Tính thời điểm vận tốc đạt cực đại)

Một ô tô bắt đầu tăng tốc từ trạng thái nghỉ với quãng đường đi được sau $t$ giây tính theo phương trình $s(t) = -t^3 + 12t^2 + 5t$ (mét, với $0 \le t \le 8$). Tìm thời điểm $t$ mà vận tốc ô tô đạt giá trị lớn nhất và tính vận tốc lớn nhất đó.

💡Xem lời giải

• Vận tốc tức thời của ô tô: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 24t + 5$ (m/s).

• Xét hàm vận tốc $v(t)$ trên $[0; 8]$. Đạo hàm của vận tốc (gia tốc): $v'(t) = -6t + 24$.

• Cho $v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4$ giây (thỏa mãn $0 \le t \le 8$).

• Vì $v''(t) = -6 < 0$ nên $v(t)$ đạt GTLN tại $t = 4$ s.

• Vận tốc lớn nhất: $v_{max} = v(4) = -3(4)^2 + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53$ m/s ($190{,}8$ km/h).

• Kết luận: Sau $4$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ô tô đạt vận tốc lớn nhất là $53$ m/s.

II. Ứng dụng đạo hàm trong Kinh tế (Chi phí, Doanh thu, Lợi nhuận biên)

📌 Khái niệm Các đại lượng biên trong Kinh tế

Khi một doanh nghiệp sản xuất và kinh doanh $x$ đơn vị sản phẩm ($x \ge 0$):

  • Chi phí biên (Marginal Cost): $C'(x)$ — Xấp xỉ chi phí gia tăng thêm khi sản xuất thêm sản phẩm thứ $(x+1)$.
  • Doanh thu biên (Marginal Revenue): $R'(x)$ — Xấp xỉ doanh thu tăng thêm khi bán được thêm sản phẩm thứ $(x+1)$.
  • Lợi nhuận biên (Marginal Profit): $P'(x) = R'(x) - C'(x)$ — Lợi nhuận thu thêm khi bán sản phẩm thứ $(x+1)$.
  • 📌 Nguyên lý tối đa hóa lợi nhuận: Doanh nghiệp đạt lợi nhuận $P(x)$ tối đa khi Doanh thu biên bằng Chi phí biên: $$P'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$$
🔍 Ví dụ 2 (Tối ưu hóa lợi nhuận sản xuất thiết bị)

Chi phí tổng cộng để sản xuất $x$ máy tính trong một tháng là $C(x) = 0{,}1x^2 + 30x + 2000$ (triệu đồng). Giá bán mỗi máy tính phụ thuộc vào quy mô sản xuất: $p(x) = 150 - 0{,}2x$ (triệu đồng/máy). Tìm số máy tính công ty nên sản xuất mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

💡Xem lời giải

• Doanh thu bán $x$ máy tính: $R(x) = x \cdot p(x) = x(150 - 0{,}2x) = 150x - 0{,}2x^2$ (triệu đồng).

• Lợi nhuận thu được: $P(x) = R(x) - C(x) = (150x - 0{,}2x^2) - (0{,}1x^2 + 30x + 2000) = -0{,}3x^2 + 120x - 2000$.

• Lợi nhuận biên: $P'(x) = -0{,}6x + 120$.

• Cho $P'(x) = 0 \Leftrightarrow -0{,}6x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = 200$ máy tính.

• Vì $P''(x) = -0{,}6 < 0$ nên $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 200$.

• Kết luận: Công ty nên sản xuất $200$ máy tính/tháng để đạt lợi nhuận tối đa $P(200) = 10.000$ triệu đồng ($10$ tỷ đồng).

III. Bài toán tối ưu hóa Hình học & Đời sống (5 Ví dụ nâng cao)

🔍 Ví dụ 3 (Tối ưu thể tích thùng chứa hình hộp chữ nhật)

Một tấm tôn hình vuông cạnh $a = 60$ cm. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau cạnh $x$ ở 4 góc rồi gập các mép lại để tạo thành một thùng chứa không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Tìm $x$ để thể tích thùng chứa thu được là lớn nhất.

💡Xem lời giải

• Đáy thùng chứa là hình vuông có cạnh bằng $60 - 2x$ (cm). Chiều cao thùng là $x$ (cm).

• Miền xác định của $x$: $0 < x < 30$.

• Thể tích thùng chứa: $V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2 = 4x(900 - 60x + x^2) = 4(x^3 - 60x^2 + 900x)$.

• Đạo hàm thể tích: $V'(x) = 4(3x^2 - 120x + 900) = 12(x^2 - 40x + 300) = 12(x - 10)(x - 30)$.

• Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ cm (thỏa mãn $0 < x < 30$) hoặc $x = 30$ (loại).

• Bảng biến thiên cho thấy $V(x)$ đạt GTLN tại $x = 10$ cm.

• Kết luận: Cần cắt 4 góc các hình vuông cạnh $x = 10$ cm để thùng đạt thể tích lớn nhất $V_{max} = 16.000$ cm³ ($16$ lít).

IV. Đồ thị tương tác JSXGraph mô phỏng chuyển động & tối ưu

💡 Đồ thị tương tác JSXGraph: Đường cong thể tích V(x) = 4x(30 - x)² đạt giá trị lớn nhất tại x = 10 cm.

🎯 V. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Ứng dụng thực tiễn dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động
Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 15t$ (trong đó $t$ tính bằng giây, $t \ge 0$, và $s$ tính bằng mét). Thời điểm $t$ mà vận tốc $v(t)$ của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:
Câu 2:🎲 Câu hỏi động
Một ô tô đang chuyển động thì người lái xe hãm phanh. Quãng đường ô tô đi được sau $t$ giây kể từ lúc hãm phanh được cho bởi $s(t) = 24t - 3t^2$ (mét). Gia tốc của ô tô tại thời điểm ô tô dừng hẳn là:
Câu 3:🎲 Câu hỏi động
Một xí nghiệp sản xuất $x$ tấn sản phẩm ($x > 0$) với tổng chi phí sản xuất được xác định bởi hàm số $C(x) = 0{,}2x^2 + 30x + 500$ (triệu đồng). Chi phí biên tại mức sản lượng $x = 100$ tấn là:
Câu 4:🎲 Câu hỏi động
Hàm doanh thu khi bán $x$ sản phẩm của một cửa hàng là $R(x) = 200x - 0{,}1x^2$ (nghìn đồng, với $0 < x < 2000$). Doanh thu biên tại mức bán $x = 500$ sản phẩm là:
Câu 5:🎲 Câu hỏi động
Lợi nhuận từ việc sản xuất và tiêu thụ $x$ sản phẩm ($x > 0$) của một doanh nghiệp được cho bởi hàm số $P(x) = -0{,}05x^2 + 50x - 2000$ (nghìn đồng). Để lợi nhuận thu được là lớn nhất, doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm?
Câu 6:🎲 Câu hỏi động
Chi phí tổng cộng để sản xuất $x$ sản phẩm là $C(x) = x^2 + 40x + 1600$ (nghìn đồng, với $x > 0$). Chi phí trung bình trên mỗi sản phẩm $\bar{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = x + 40 + \frac{1600}{x}$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng bao nhiêu nghìn đồng?
Câu 7:🎲 Câu hỏi động
Một tấm tôn hình vuông cạnh $60\text{ cm}$. Người ta cắt bỏ bốn hình vuông bằng nhau cạnh $x$ (cm) ở bốn góc rồi gập các mép lại để tạo thành chiếc hộp không nắp. Thể tích chiếc hộp đạt giá trị lớn nhất khi $x$ bằng:
Câu 8:🎲 Câu hỏi động
Một người nông dân muốn rào một khu đất hình chữ nhật giáp bờ sông thẳng để làm trang trại (không cần rào phía giáp bờ sông). Biết chiều dài lưới rào có sẵn là $120\text{ m}$. Diện tích lớn nhất của khu đất có thể rào được là:
Câu 9:🎲 Câu hỏi động
Một thùng chứa nước hình trụ nắp kín có thể tích $V = 16\pi\text{ m}^3$. Bán kính đáy $r$ bằng bao nhiêu mét để diện tích toàn phần của thùng là nhỏ nhất (tốn ít vật liệu nhất)?
Câu 10:🎲 Câu hỏi động
Sau khi tiêm thuốc cho bệnh nhân, nồng độ thuốc trong máu sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được xác định bởi hàm số $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 9}$ (đơn vị: mg/L). Nồng độ thuốc đạt mức cao nhất sau bao nhiêu giờ kể từ khi tiêm?
Câu 11:🎲 Câu hỏi động
Số lượng vi khuẩn trong một đĩa nuôi cấy sau $t$ giờ ($0 \le t \le 10$) được mô hình hóa bởi hàm số $N(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t + 1000$. Tốc độ sinh trưởng của mẻ vi khuẩn là $v(t) = N'(t)$. Tốc độ sinh trưởng của mẻ vi khuẩn đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm:
Câu 12:🎲 Câu hỏi động
Chi phí nhiên liệu cho một chuyến tàu chạy với vận tốc $v$ (km/h, $v > 0$) là $3v^2$ nghìn đồng/giờ. Các chi phí cố định khác là $1200$ nghìn đồng/giờ. Để thực hiện chuyến hành trình dài $100\text{ km}$ với tổng chi phí thấp nhất, tàu nên di chuyển với vận tốc bằng:
Đúng / Sai
Câu 13Một chất điểm chuyển động thẳng với phương trình quãng đường $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 21t$ ($t \ge 0$, trong đó $t$ tính bằng giây và $s$ tính bằng mét). Xét tính đúng hay sai của các phát biểu sau:
a)Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm $t$ là $v(t) = -3t^2 + 18t + 21$ (m/s).
b)Vận tốc ban đầu của chất điểm tại thời điểm xuất phát ($t = 0$) là $21\text{ m/s}$.
c)Vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất tại thời điểm $t = 3$ giây với giá trị $v_{max} = 48\text{ m/s}$.
d)Chất điểm dừng lại tại thời điểm $t = 5$ giây.
Đúng / Sai
Câu 14Một doanh nghiệp sản xuất một loại quạt điện. Khi sản xuất và bán $x$ chiếc quạt ($0 < x < 1000$), hàm tổng chi phí là $C(x) = 0{,}02x^2 + 40x + 5000$ (nghìn đồng) và hàm doanh thu là $R(x) = 100x - 0{,}03x^2$ (nghìn đồng). Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
a)Chi phí biên để sản xuất chiếc quạt thứ $x$ là $C'(x) = 0{,}04x + 40$ (nghìn đồng).
b)Doanh thu biên của doanh nghiệp là $R'(x) = 100 - 0{,}06x$ (nghìn đồng).
c)Lợi nhuận của doanh nghiệp được biểu diễn bởi hàm số $P(x) = -0{,}05x^2 + 60x - 5000$ (nghìn đồng).
d)Doanh nghiệp đạt lợi nhuận lớn nhất khi sản xuất $500$ chiếc quạt.
Đúng / Sai
Câu 15Một kỹ sư thiết kế một bồn chứa nước ngọt dạng hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích $V = 32\text{ m}^3$, đáy là hình vuông cạnh $x$ (mét) và chiều cao $h$ (mét). Chi phí làm đáy là $400$ nghìn đồng/m² và chi phí làm 4 mặt bên xung quanh là $300$ nghìn đồng/m². Xét tính đúng hay sai của các khẳng định sau:
a)Chiều cao của bồn chứa tính theo cạnh đáy $x$ là $h = \frac{32}{x^2}$ (mét).
b)Diện tích 4 mặt bên xung quanh của bồn chứa là $S_{xq} = \frac{128}{x}$ (m²).
c)Tổng chi phí làm bồn chứa được mô hình bởi hàm số $T(x) = 400x^2 + \frac{38400}{x}$ (nghìn đồng) với $x > 0$.
d)Tổng chi phí làm bồn chứa nhỏ nhất khi cạnh đáy $x = 6\text{ m}$.
Đúng / Sai
Câu 16Sau khi một bệnh nhân uống một liều thuốc kháng sinh, nồng độ thuốc trong máu sau $t$ giờ ($t \ge 0$) được cho bởi công thức $C(t) = \frac{4t}{t^2 + 4}$ (mg/L). Xét tính đúng hay sai của các mệnh đề sau:
a)Nồng độ thuốc trong máu ban đầu tại thời điểm $t = 0$ bằng $0\text{ mg/L}$.
b)Đạo hàm của hàm nồng độ thuốc là $C'(t) = \frac{4(4 - t^2)}{(t^2 + 4)^2}$.
c)Nồng độ thuốc trong máu tăng trong khoảng thời gian từ $0$ đến $2$ giờ và giảm sau $2$ giờ.
d)Nồng độ thuốc cao nhất trong máu bệnh nhân đạt được bằng $2\text{ mg/L}$.
Câu 17:Một tên lửa mô hình được phóng thẳng đứng lên trời, độ cao $s$ (tính bằng mét) sau $t$ giây ($t \ge 0$) được cho bởi phương trình $s(t) = -t^3 + 6t^2 + 20t$. Vận tốc lớn nhất của tên lửa đạt được trong quá trình bay bằng bao nhiêu m/s?
Câu 18:Một đoàn tàu hỏa đang chạy với vận tốc $20\text{ m/s}$ thì bắt đầu hãm phanh chuyển động chậm dần đều với phương trình vận tốc $v(t) = 20 - 2t$ (m/s). Kể từ lúc bắt đầu hãm phanh đến khi dừng hẳn ($v = 0$), tàu hỏa đã đi được quãng đường bao nhiêu mét?
Câu 19:Một xưởng sản xuất gốm sứ ước tính hàm lợi nhuận theo số lượng $x$ nghìn sản phẩm ($x > 0$) là $P(x) = -x^3 + 12x^2 + 60x - 50$ (triệu đồng). Xưởng cần sản xuất bao nhiêu nghìn sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
Câu 20:Từ một tấm tôn hình vuông cạnh $48\text{ cm}$, người thợ cắt đi 4 hình vuông nhỏ cạnh $x$ (cm) ở bốn góc rồi gập các mép đứng lên để được một chiếc hộp không nắp. Cạnh $x$ của hình vuông bị cắt đi phải bằng bao nhiêu cm để chiếc hộp có thể tích lớn nhất?
Câu 21:Một sà lan chở hàng trên sông cần hoàn thành hành trình dài $200\text{ km}$ với vận tốc không đổi $v$ (km/h, $v > 0$). Chi phí nhiên liệu mỗi giờ là $2v^2$ nghìn đồng, các chi phí cố định khác là $800$ nghìn đồng cho mỗi giờ chạy. Vận tốc $v$ bằng bao nhiêu km/h để tổng chi phí cho toàn bộ chuyến hành trình là nhỏ nhất?
Câu 22:Một nhà máy sản xuất lon sữa đặc hình trụ kín có thể tích không đổi $V = 128\pi\text{ cm}^3$. Bán kính đáy $r$ của lon sữa phải bằng bao nhiêu cm để diện tích toàn phần của vỏ lon là nhỏ nhất (tốn ít vật liệu nhôm nhất)?

📝 VI. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

📝 Bài tập tự luận Ứng dụng thực tiễn của Đạo hàm (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

Bài 1 (Vật lý — Chuyển động ném ngang & rơi tự do).

a) Phương trình chuyển động của một vật là $s(t) = -2t^3 + 18t^2 + 10t$ (mét, $t \ge 0$). Tìm thời điểm $t$ mà vận tốc đạt cực đại và giá trị vận tốc đó.

b) Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Tìm gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng $0$.

💡Xem lời giải Bài 1

a) $v(t) = -6t^2 + 36t + 10$. $v'(t) = -12t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ s. Vận tốc cực đại $v_{max} = v(3) = 64$ m/s.

b) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ s hoặc $t = 3$ s. $a(t) = 6t - 12$. Tại $t = 1 \Rightarrow a(1) = -6$ m/s²; tại $t = 3 \Rightarrow a(3) = 6$ m/s².

Bài 2 (Kinh tế — Tối đa hóa lợi nhuận). Đơn vị sản xuất độc quyền có hàm chi phí $C(x) = 2x^2 + 40x + 500$ và giá bán $p(x) = 200 - x$ (nghìn đồng/sản phẩm).

a) Lập biểu thức hàm lợi nhuận $P(x)$.

b) Tìm số lượng sản phẩm $x$ để thu về lợi nhuận tối đa.

💡Xem lời giải Bài 2

a) $R(x) = x(200 - x) = 200x - x^2$. Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x) = -3x^2 + 160x - 500$.

b) $P'(x) = -6x + 160 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{80}{3} \approx 27$ sản phẩm. Lợi nhuận lớn nhất $P(27) = 1633$ nghìn đồng.

Bài 3 (Tối ưu hóa diện tích & thể tích). Một chiếc hũ thủy tinh không nắp dạng hình trụ có thể tích $V = 250\pi$ cm³. Tìm bán kính đáy $r$ để diện tích thủy tinh dùng chế tạo hũ là nhỏ nhất.

💡Xem lời giải Bài 3

• $V = \pi r^2 h = 250\pi \Rightarrow h = \frac{250}{r^2}$.

• $S(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + \frac{500\pi}{r}$. $S'(r) = 2\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0 \Leftrightarrow r^3 = 250 \Leftrightarrow r = 5\sqrt[3]{2} \approx 6{,}3$ cm.

Bài 4 (Hóa học & Sinh học — Tốc độ phản ứng). Tốc độ của một phản ứng hóa học tạo ra chất $P$ phụ thuộc vào nồng độ chất $x$ theo phương trình $v(x) = k x (a - x)$ ($0 \le x \le a$). Tìm $x$ để tốc độ phản ứng là lớn nhất.

💡Xem lời giải Bài 4

• $v(x) = k(ax - x^2)$. Đạo hàm $v'(x) = k(a - 2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$.

• Vậy khi nồng độ chất bằng một nửa nồng độ ban đầu ($x = a/2$) thì tốc độ phản ứng đạt giá trị cao nhất.

Bài 5 (Xây dựng & Kiến trúc — Chi phí làm bể chứa). Cần xây một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $288$ m³, chiều sâu $2$ m. Đáy hồ bơi là hình chữ nhật. Chi phí xây dựng đáy là $1000$ nghìn đồng/m², chi phí xây thành hồ là $600$ nghìn đồng/m². Tìm kích thước đáy để chi phí xây dựng hồ bơi là rẻ nhất.

💡Xem lời giải Bài 5

• Chiều cao $h = 2$ m $\Rightarrow$ Diện tích đáy $S_{đáy} = \frac{288}{2} = 144$ m².

• Gọi kích thước đáy là $x$ và $\frac{144}{x}$ ($x > 0$). Chu vi đáy $P = 2\left(x + \frac{144}{x}\right)$.

• Tổng chi phí $C(x) = 1000 \cdot 144 + 600 \cdot 2 \cdot 2\left(x + \frac{144}{x}\right) = 144.000 + 2400\left(x + \frac{144}{x}\right) \ge 144.000 + 2400(2\sqrt{144}) = 201.600$ nghìn đồng.

• Dấu '=' khi $x = 12$ m (đáy hình vuông $12 \times 12$ m).

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ứng dụng thực tiễn

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Mở trong tab mới