Bài 5: Ứng dụng thực tiễn
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 5: Ứng dụng thực tiễn — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Ứng dụng đạo hàm trong Vật lý (Vận tốc, Gia tốc, Chuyển động)
Cho một vật chuyển động có phương trình quãng đường theo thời gian $t$ là $s = s(t)$ ($t \ge 0$):
- Vận tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc nhất của quãng đường theo thời gian: $$v(t) = s'(t)$$
- Gia tốc tức thời tại thời điểm $t$ là đạo hàm bậc hai của quãng đường (hoặc đạo hàm của vận tốc): $$a(t) = v'(t) = s''(t)$$
- 📌 Điều kiện vật dừng lại: $v(t) = 0$. Vận tốc đạt giá trị cực đại khi $v'(t) = a(t) = 0$.
Một ô tô bắt đầu tăng tốc từ trạng thái nghỉ với quãng đường đi được sau $t$ giây tính theo phương trình $s(t) = -t^3 + 12t^2 + 5t$ (mét, với $0 \le t \le 8$). Tìm thời điểm $t$ mà vận tốc ô tô đạt giá trị lớn nhất và tính vận tốc lớn nhất đó.
Xem lời giải
• Vận tốc tức thời của ô tô: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 24t + 5$ (m/s).
• Xét hàm vận tốc $v(t)$ trên $[0; 8]$. Đạo hàm của vận tốc (gia tốc): $v'(t) = -6t + 24$.
• Cho $v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 24 = 0 \Leftrightarrow t = 4$ giây (thỏa mãn $0 \le t \le 8$).
• Vì $v''(t) = -6 < 0$ nên $v(t)$ đạt GTLN tại $t = 4$ s.
• Vận tốc lớn nhất: $v_{max} = v(4) = -3(4)^2 + 24(4) + 5 = -48 + 96 + 5 = 53$ m/s ($190{,}8$ km/h).
• Kết luận: Sau $4$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc, ô tô đạt vận tốc lớn nhất là $53$ m/s.
II. Ứng dụng đạo hàm trong Kinh tế (Chi phí, Doanh thu, Lợi nhuận biên)
Khi một doanh nghiệp sản xuất và kinh doanh $x$ đơn vị sản phẩm ($x \ge 0$):
- Chi phí biên (Marginal Cost): $C'(x)$ — Xấp xỉ chi phí gia tăng thêm khi sản xuất thêm sản phẩm thứ $(x+1)$.
- Doanh thu biên (Marginal Revenue): $R'(x)$ — Xấp xỉ doanh thu tăng thêm khi bán được thêm sản phẩm thứ $(x+1)$.
- Lợi nhuận biên (Marginal Profit): $P'(x) = R'(x) - C'(x)$ — Lợi nhuận thu thêm khi bán sản phẩm thứ $(x+1)$.
- 📌 Nguyên lý tối đa hóa lợi nhuận: Doanh nghiệp đạt lợi nhuận $P(x)$ tối đa khi Doanh thu biên bằng Chi phí biên: $$P'(x) = 0 \Leftrightarrow R'(x) = C'(x)$$
Chi phí tổng cộng để sản xuất $x$ máy tính trong một tháng là $C(x) = 0{,}1x^2 + 30x + 2000$ (triệu đồng). Giá bán mỗi máy tính phụ thuộc vào quy mô sản xuất: $p(x) = 150 - 0{,}2x$ (triệu đồng/máy). Tìm số máy tính công ty nên sản xuất mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Xem lời giải
• Doanh thu bán $x$ máy tính: $R(x) = x \cdot p(x) = x(150 - 0{,}2x) = 150x - 0{,}2x^2$ (triệu đồng).
• Lợi nhuận thu được: $P(x) = R(x) - C(x) = (150x - 0{,}2x^2) - (0{,}1x^2 + 30x + 2000) = -0{,}3x^2 + 120x - 2000$.
• Lợi nhuận biên: $P'(x) = -0{,}6x + 120$.
• Cho $P'(x) = 0 \Leftrightarrow -0{,}6x + 120 = 0 \Leftrightarrow x = 200$ máy tính.
• Vì $P''(x) = -0{,}6 < 0$ nên $P(x)$ đạt giá trị lớn nhất tại $x = 200$.
• Kết luận: Công ty nên sản xuất $200$ máy tính/tháng để đạt lợi nhuận tối đa $P(200) = 10.000$ triệu đồng ($10$ tỷ đồng).
III. Bài toán tối ưu hóa Hình học & Đời sống (5 Ví dụ nâng cao)
Một tấm tôn hình vuông cạnh $a = 60$ cm. Người ta cắt bỏ 4 hình vuông bằng nhau cạnh $x$ ở 4 góc rồi gập các mép lại để tạo thành một thùng chứa không nắp dạng hình hộp chữ nhật. Tìm $x$ để thể tích thùng chứa thu được là lớn nhất.
Xem lời giải
• Đáy thùng chứa là hình vuông có cạnh bằng $60 - 2x$ (cm). Chiều cao thùng là $x$ (cm).
• Miền xác định của $x$: $0 < x < 30$.
• Thể tích thùng chứa: $V(x) = x(60 - 2x)^2 = 4x(30 - x)^2 = 4x(900 - 60x + x^2) = 4(x^3 - 60x^2 + 900x)$.
• Đạo hàm thể tích: $V'(x) = 4(3x^2 - 120x + 900) = 12(x^2 - 40x + 300) = 12(x - 10)(x - 30)$.
• Cho $V'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 10$ cm (thỏa mãn $0 < x < 30$) hoặc $x = 30$ (loại).
• Bảng biến thiên cho thấy $V(x)$ đạt GTLN tại $x = 10$ cm.
• Kết luận: Cần cắt 4 góc các hình vuông cạnh $x = 10$ cm để thùng đạt thể tích lớn nhất $V_{max} = 16.000$ cm³ ($16$ lít).
IV. Đồ thị tương tác JSXGraph mô phỏng chuyển động & tối ưu
💡 Đồ thị tương tác JSXGraph: Đường cong thể tích V(x) = 4x(30 - x)² đạt giá trị lớn nhất tại x = 10 cm.
🎯 V. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Ứng dụng thực tiễn dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ứng dụng thực tiễn
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →📝 VI. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)
Bài 1 (Vật lý — Chuyển động ném ngang & rơi tự do).
a) Phương trình chuyển động của một vật là $s(t) = -2t^3 + 18t^2 + 10t$ (mét, $t \ge 0$). Tìm thời điểm $t$ mà vận tốc đạt cực đại và giá trị vận tốc đó.
b) Một chất điểm chuyển động theo phương trình $s(t) = t^3 - 6t^2 + 9t$. Tìm gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng $0$.
Xem lời giải Bài 1
a) $v(t) = -6t^2 + 36t + 10$. $v'(t) = -12t + 36 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ s. Vận tốc cực đại $v_{max} = v(3) = 64$ m/s.
b) $v(t) = 3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ s hoặc $t = 3$ s. $a(t) = 6t - 12$. Tại $t = 1 \Rightarrow a(1) = -6$ m/s²; tại $t = 3 \Rightarrow a(3) = 6$ m/s².
Bài 2 (Kinh tế — Tối đa hóa lợi nhuận). Đơn vị sản xuất độc quyền có hàm chi phí $C(x) = 2x^2 + 40x + 500$ và giá bán $p(x) = 200 - x$ (nghìn đồng/sản phẩm).
a) Lập biểu thức hàm lợi nhuận $P(x)$.
b) Tìm số lượng sản phẩm $x$ để thu về lợi nhuận tối đa.
Xem lời giải Bài 2
a) $R(x) = x(200 - x) = 200x - x^2$. Lợi nhuận $P(x) = R(x) - C(x) = -3x^2 + 160x - 500$.
b) $P'(x) = -6x + 160 = 0 \Leftrightarrow x = \frac{80}{3} \approx 27$ sản phẩm. Lợi nhuận lớn nhất $P(27) = 1633$ nghìn đồng.
Bài 3 (Tối ưu hóa diện tích & thể tích). Một chiếc hũ thủy tinh không nắp dạng hình trụ có thể tích $V = 250\pi$ cm³. Tìm bán kính đáy $r$ để diện tích thủy tinh dùng chế tạo hũ là nhỏ nhất.
Xem lời giải Bài 3
• $V = \pi r^2 h = 250\pi \Rightarrow h = \frac{250}{r^2}$.
• $S(r) = \pi r^2 + 2\pi rh = \pi r^2 + \frac{500\pi}{r}$. $S'(r) = 2\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0 \Leftrightarrow r^3 = 250 \Leftrightarrow r = 5\sqrt[3]{2} \approx 6{,}3$ cm.
Bài 4 (Hóa học & Sinh học — Tốc độ phản ứng). Tốc độ của một phản ứng hóa học tạo ra chất $P$ phụ thuộc vào nồng độ chất $x$ theo phương trình $v(x) = k x (a - x)$ ($0 \le x \le a$). Tìm $x$ để tốc độ phản ứng là lớn nhất.
Xem lời giải Bài 4
• $v(x) = k(ax - x^2)$. Đạo hàm $v'(x) = k(a - 2x) = 0 \Leftrightarrow x = \frac{a}{2}$.
• Vậy khi nồng độ chất bằng một nửa nồng độ ban đầu ($x = a/2$) thì tốc độ phản ứng đạt giá trị cao nhất.
Bài 5 (Xây dựng & Kiến trúc — Chi phí làm bể chứa). Cần xây một hồ bơi dạng hình hộp chữ nhật có thể tích $288$ m³, chiều sâu $2$ m. Đáy hồ bơi là hình chữ nhật. Chi phí xây dựng đáy là $1000$ nghìn đồng/m², chi phí xây thành hồ là $600$ nghìn đồng/m². Tìm kích thước đáy để chi phí xây dựng hồ bơi là rẻ nhất.
Xem lời giải Bài 5
• Chiều cao $h = 2$ m $\Rightarrow$ Diện tích đáy $S_{đáy} = \frac{288}{2} = 144$ m².
• Gọi kích thước đáy là $x$ và $\frac{144}{x}$ ($x > 0$). Chu vi đáy $P = 2\left(x + \frac{144}{x}\right)$.
• Tổng chi phí $C(x) = 1000 \cdot 144 + 600 \cdot 2 \cdot 2\left(x + \frac{144}{x}\right) = 144.000 + 2400\left(x + \frac{144}{x}\right) \ge 144.000 + 2400(2\sqrt{144}) = 201.600$ nghìn đồng.
• Dấu '=' khi $x = 12$ m (đáy hình vuông $12 \times 12$ m).