Bài 4: Khảo sát & vẽ đồ thị

I. Sơ đồ tổng quát khảo sát & vẽ đồ thị hàm số

📌 Quy trình 3 bước chuẩn mực khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1. Tập xác định: Tìm tập xác định $D$ của hàm số.

2. Sự biến thiên:

Tính đạo hàm $y'$. Giải phương trình $y' = 0$ hoặc tìm các điểm làm $y'$ không xác định.
Xét dấu $y'$ để suy ra các khoảng đồng biến, nghịch biến và điểm cực trị.
Tìm các giới hạn tại vô cực ($\lim_{x \to \pm\infty} y$) và giới hạn vô cực tại các điểm đứt gãy để xác định các tiệm cận (nếu có).
Lập Bảng biến thiên (BBT) tổng hợp thể hiện đầy đủ các thông tin.

3. Đồ thị:

Tìm giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ $Ox, Oy$ và các điểm đặc biệt.
Xác định tính đối xứng (tâm đối xứng là điểm uốn đối với hàm bậc ba; giao điểm 2 tiệm cận đối với hàm phân thức).
Vẽ các đường tiệm cận (nếu có), biểu diễn các điểm đặc biệt và vẽ đồ thị nét liền sắc nét.

II. Khảo sát hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị hàm bậc ba

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm bậc ba

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• Đạo hàm: $y' = 3ax^2 + 2bx + c$. $\Delta' = b^2 - 3ac$.

Nếu $\Delta' > 0 \Rightarrow y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1, x_2 \Rightarrow$ Hàm số có 2 điểm cực trị (1 CĐ, 1 CT).
Nếu $\Delta' \le 0 \Rightarrow y' \ge 0$ (hoặc $y' \le 0$), $\forall x \Rightarrow$ Hàm số đơn điệu liên tục trên $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

• Giới hạn: Với $a > 0 \Rightarrow \lim_{x \to +\infty} y = +\infty, \lim_{x \to -\infty} y = -\infty$. Đồ thị không có tiệm cận.

• Tâm đối xứng: Nghiệm của $y'' = 6ax + 2b = 0 \Leftrightarrow x_U = -\frac{b}{3a} \Rightarrow$ Điểm uốn $I\left(-\frac{b}{3a}; y\left(-\frac{b}{3a}\right)\right)$ là tâm đối xứng của đồ thị.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 1 (Khảo sát hàm bậc ba có 2 cực trị với $a > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 - 3x^2 + 2$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

- Cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y_{CĐ} = 2$.

- Cực tiểu tại $x = 2 \Rightarrow y_{CT} = -2$.

• Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$; nghịch biến trên $(0; 2)$.

• Điểm uốn $I(1; 0)$ là tâm đối xứng.

📈 Đồ thị Ví dụ 1: y = x³ - 3x² + 2 có CĐ (0; 2), CT (2; -2) và tâm uốn I(1; 0).

🔍 Ví dụ 2 (Khảo sát hàm bậc ba có 2 cực trị với $a < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = -x^3 + 3x - 1$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = -3x^2 + 3 = -3(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 1$.

- Cực tiểu tại $x = -1 \Rightarrow y_{CT} = -3$.

- Cực đại tại $x = 1 \Rightarrow y_{CĐ} = 1$.

• Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$; đồng biến trên $(-1; 1)$.

• Điểm uốn $I(0; -1)$ là tâm đối xứng.

📈 Đồ thị Ví dụ 2: y = -x³ + 3x - 1 có CT (-1; -3), CĐ (1; 1) và tâm uốn I(0; -1).

🔍 Ví dụ 3 (Khảo sát hàm bậc ba không có cực trị)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• Biến đổi: $y = (x + 1)^3$. TXĐ: $D = \mathbb{R}$.

• $y' = 3(x + 1)^2 \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ (nghiệm kép).

• Hàm số đồng biến liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$ và không có cực trị.

• Điểm uốn $I(-1; 0)$ là tâm đối xứng (tại đây đồ thị có tiếp tuyến nằm ngang $y = 0$).

📈 Đồ thị Ví dụ 3: y = (x + 1)³ luôn đồng biến trên ℝ, điểm uốn I(-1; 0).

III. Khảo sát hàm số nhất biến $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ ($c \ne 0, ad - bc \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị Hyperbol

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm nhất biến

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\}$.

• Đạo hàm: $y' = \frac{ad - bc}{(cx + d)^2}$.

Nếu $ad - bc > 0 \Rightarrow y' > 0, \forall x \ne -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$.
Nếu $ad - bc < 0 \Rightarrow y' < 0, \forall x \ne -\frac{d}{c} \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; -d/c)$ và $(-d/c; +\infty)$.

• Tiệm cận: Tiệm cận đứng $x = -\frac{d}{c}$; Tiệm cận ngang $y = \frac{a}{c}$.

• Tâm đối xứng: Giao điểm $I\left(-\frac{d}{c}; \frac{a}{c}\right)$ của 2 đường tiệm cận là tâm đối xứng của đồ thị Hyperbol.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 4 (Khảo sát hàm nhất biến đồng biến với $ad - bc > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.

• $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0, \forall x \ne -1$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.

• TCĐ $x = -1$; TCN $y = 2$. Tâm đối xứng $I(-1; 2)$.

• Giao điểm với các trục: $Ox(0{,}5; 0)$, $Oy(0; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 4: y = (2x - 1)/(x + 1) đồng biến, TCĐ x = -1, TCN y = 2.

🔍 Ví dụ 5 (Khảo sát hàm nhất biến nghịch biến với $ad - bc < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{-x + 2}{x - 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• $y' = \frac{(-1)(-1) - (2)(1)}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2} < 0, \forall x \ne 1$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

• TCĐ $x = 1$; TCN $y = -1$. Tâm đối xứng $I(1; -1)$.

• Giao điểm với các trục: $Ox(2; 0)$, $Oy(0; -2)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 5: y = (-x + 2)/(x - 1) nghịch biến, TCĐ x = 1, TCN y = -1.

🔍 Ví dụ 6 (Khảo sát hàm nhất biến có đảo thứ tự mẫu số $y = \frac{3x + 1}{1 - 2x}$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{3x + 1}{1 - 2x}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• Đổi lại đúng dạng: $y = \frac{3x + 1}{-2x + 1}$. TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{0{,}5\}$.

• $y' = \frac{3(1) - (1)(-2)}{(-2x+1)^2} = \frac{5}{(-2x+1)^2} > 0, \forall x \ne 0{,}5$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0{,}5)$ và $(0{,}5; +\infty)$.

• TCĐ $x = 0{,}5$; TCN $y = -1{,}5$. Tâm đối xứng $I(0{,}5; -1{,}5)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 6: y = (3x + 1)/(1 - 2x) có TCĐ x = 0.5, TCN y = -1.5.

IV. Khảo sát hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{px + q}$ ($a \ne 0, p \ne 0$)

1. Sơ đồ khảo sát & Dạng đồ thị 2 nhánh có tiệm cận xiên

⚡ Khung sơ đồ khảo sát hàm bậc hai trên bậc nhất

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{q}{p}\right\}$.

• Dạng phân tích: $y = Ax + B + \frac{r}{px + q}$ (phép chia đa thức).

• Tiệm cận: Tiệm cận đứng $x = -\frac{q}{p}$; Tiệm cận xiên $y = Ax + B$.

• Tâm đối xứng: Giao điểm $I$ của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên là tâm đối xứng của đồ thị.

2. 3 Ví dụ mẫu minh họa có đồ thị JSXGraph

🔍 Ví dụ 7 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 có 2 cực trị với $a > 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 2}{x - 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Chia tử cho mẫu: $y = x - 1 + \frac{1}{x - 1}$.

• $y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.

- Cực đại tại $x = 0 \Rightarrow y_{CĐ} = -2$.

- Cực tiểu tại $x = 2 \Rightarrow y_{CT} = 2$.

• TCĐ $x = 1$; TCX $y = x - 1$. Tâm đối xứng $I(1; 0)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 7: y = (x² - 2x + 2)/(x - 1) có CĐ (0; -2), CT (2; 2), TCĐ x = 1, TCX y = x - 1.

🔍 Ví dụ 8 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 có 2 cực trị với $a < 0$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{-x^2 + 3x - 1}{x - 2}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Chia tử cho mẫu: $y = -x + 1 + \frac{1}{x - 2}$.

• $y' = -1 - \frac{1}{(x-2)^2} < 0, \forall x \ne 2 \Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên từng khoảng $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$. Không có cực trị.

• TCĐ $x = 2$; TCX $y = -x + 1$. Tâm đối xứng $I(2; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 8: y = (-x² + 3x - 1)/(x - 2) nghịch biến, TCĐ x = 2, TCX y = -x + 1.

🔍 Ví dụ 9 (Khảo sát hàm bậc 2 / bậc 1 với tử số không cắt $Ox$)

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.

💡Xem lời giải & Đồ thị

• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Chia tử cho mẫu: $y = x + \frac{1}{x + 1}$.

• $y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.

- Cực đại tại $x = -2 \Rightarrow y_{CĐ} = -3$.

- Cực tiểu tại $x = 0 \Rightarrow y_{CT} = 1$.

• TCĐ $x = -1$; TCX $y = x$. Tâm đối xứng $I(-1; -1)$.

📈 Đồ thị Ví dụ 9: y = (x² + x + 1)/(x + 1) có CĐ (-2; -3), CT (0; 1), TCĐ x = -1, TCX y = x.

V. Bài toán sự tương giao f(x) = m & Đọc đồ thị

📌 Quy tắc biện luận số nghiệm phương trình f(x) = m bằng đồ thị

Số nghiệm của phương trình $f(x) = m$ chính là **số giao điểm** của đồ thị $y = f(x)$ và đường thẳng nằm ngang $y = m$ (song song hoặc trùng với trục $Ox$).

Đường thẳng $y = m$ nằm trên đỉnh cực đại $\Rightarrow$ số giao điểm ít.
Đường thẳng $y = m$ nằm giữa cực tiểu và cực đại $\Rightarrow$ phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

🎯 VI. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn về Khảo sát & Đọc đồ thị dưới đây để kiểm tra năng lực. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Hàm số $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$) có nét cuối đi lên và đạt 2 cực trị tại $x = 0$ và $x = 2$. Hệ số $a$ và $c$ có dấu như thế nào?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số bậc ba $y = f(x)$ có điểm cực đại $x_{CĐ} = 0, y_{CĐ} = 3$ và điểm cực tiểu $x_{CT} = 2, y_{CT} = -2$. Tìm số nghiệm của phương trình $f(x) = 0$.

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 4}$. Tâm đối xứng $I$ của đồ thị hàm số có tọa độ là:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số bậc ba $y = x^3 - 33x^2 + 2$ là điểm nào sau đây?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình $x^3 - 3x^2 + 2 - m = 0$ có đúng 3 nghiệm phân biệt.

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ có đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương, có tiệm cận đứng $x = 1$ và tiệm cận ngang $y = 4$. Khẳng định nào sau đây **đúng**?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Số giao điểm của đồ thị hàm số $y = x^3 - 6x$ với trục hoành $Ox$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3 - 3x + 1$ tại điểm $M(0; 1)$ là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Đồ thị hàm số $y = \frac{x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ có đường tiệm cận xiên là $y = x - -10$ với $-10$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho hàm số $y = f(x)$ có bảng biến thiên: $f' > 0$ trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$, $f' < 0$ trên $(1; 3)$, $f(1) = 4$, $f(3) = 0$. Đồ thị $y = f(x)$ cắt đường thẳng $y = 2$ tại mấy điểm?

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Khảo sát đồ thị

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới

📝 VII. Bài tập tự luận rèn luyện tư duy (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

📝 Bài tập tự luận Khảo sát & Đọc đồ thị hàm số (5 Bài lớn — 20 câu hỏi nhỏ)

Bài 1 (Khảo sát hàm bậc ba). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = -x^3 + 3x - 1$

b) $y = x^3 - 3x^2 + 3x - 2$

💡Xem lời giải Bài 1

a) $y' = -3x^2 + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$. CT $(-1; -3)$, CĐ $(1; 1)$. Tâm đối xứng $I(0; -1)$.

b) $y' = 3(x-1)^2 \ge 0, \forall x \Rightarrow$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$, không có cực trị. Điểm uốn $I(1; -1)$.

Bài 2 (Khảo sát hàm nhất biến). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x + 2}{x - 1}$

b) $y = \frac{1 - 2x}{x + 2}$

💡Xem lời giải Bài 2

a) TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. $y' = \frac{-3}{(x-1)^2} < 0 \Rightarrow$ nghịch biến. TCĐ $x = 1$, TCN $y = 1$. Tâm $I(1; 1)$.

b) TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$. $y' = \frac{-5}{(x+2)^2} < 0 \Rightarrow$ nghịch biến. TCĐ $x = -2$, TCN $y = -2$. Tâm $I(-2; -2)$.

Bài 3 (Khảo sát hàm bậc 2 trên bậc 1). Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{x^2 - x + 1}{x - 1}$

b) $y = \frac{2x^2 + 3x - 2}{x + 2}$

💡Xem lời giải Bài 3

a) $y = x + \frac{1}{x-1}$. $y' = 1 - \frac{1}{(x-1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 2$. CĐ $(0; -1)$, CT $(2; 3)$. TCĐ $x = 1$, TCX $y = x$.

b) $y = \frac{(x+2)(2x-1)}{x+2} = 2x - 1$ (với $x \ne -2$). Đồ thị là đường thẳng có lỗ thủng tại $x = -2$.

Bài 4 (Bài toán sự tương giao bằng đồ thị). Biện luận theo tham số $m$ số nghiệm của các phương trình sau:

a) $-x^3 + 3x - 1 = m$

b) $\frac{x^2 - x + 1}{x - 1} = m$

💡Xem lời giải Bài 4

a) Dựa vào đồ thị $y = -x^3 + 3x - 1$: 3 nghiệm khi $-3 < m < 1$; 2 nghiệm khi $m = -3$ hoặc $m = 1$; 1 nghiệm khi $m < -3$ hoặc $m > 1$.

b) Dựa vào đồ thị $y = x + \frac{1}{x-1}$: 2 nghiệm khi $m < -1$ hoặc $m > 3$; 1 nghiệm khi $m = -1$ hoặc $m = 3$; vô nghiệm khi $-1 < m < 3$.

Bài 5 (Xác định hệ số a, b, c, d từ đồ thị). Cho đồ thị hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$. Hãy xác định dấu của các hệ số $a, b, c, d$ biết đồ thị có nét cuối đi lên, cắt $Oy$ tại điểm phía trên $Ox$, có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía của trục $Oy$.

💡Xem lời giải Bài 5

• Nét cuối đi lên $\Rightarrow a > 0$.

• Đồ thị cắt $Oy$ tại điểm có tung độ dương $\Rightarrow d = y(0) > 0$.

• Hai điểm cực trị nằm về 2 phía trục $Oy \Leftrightarrow$ phương trình $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$ có 2 nghiệm trái dấu $\Leftrightarrow 3ac < 0 \Rightarrow c < 0$ (do $a > 0$).

• Kết luận: $a > 0, d > 0, c < 0$.