Bài 3: Đường tiệm cận

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$.

• Xét nghiệm mẫu số: $x - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 2$. Thay $x = 2$ vào tử số được $3(2) - 1 = 5 \ne 0$.

• Xét giới hạn hai bên tại điểm $x = 2$:

$$\lim_{x \to 2^+} \frac{3x - 1}{x - 2} = +\infty \quad (\text{do tử } 5 > 0 \text{ và mẫu } x-2 \to 0^+)$$

$$\lim_{x \to 2^-} \frac{3x - 1}{x - 2} = -\infty \quad (\text{do tử } 5 > 0 \text{ và mẫu } x-2 \to 0^-)$$

• Kết luận: Đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x = 2$.

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2; 2\}$.

• Cho mẫu số $x^2 - 4 = 0 \Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.

• Thử các nghiệm vào tử số $P(x) = 2x + 1$:

- Tại $x = 2 \Rightarrow P(2) = 5 \ne 0 \Rightarrow \lim_{x \to 2^+} y = +\infty \Rightarrow x = 2$ là TCĐ.

- Tại $x = -2 \Rightarrow P(-2) = -3 \ne 0 \Rightarrow \lim_{x \to -2^+} y = +\infty \Rightarrow x = -2$ là TCĐ.

• Kết luận: Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận đứng là $x = 2$ và $x = -2$.

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1; 1\}$.

• Mẫu số $x^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = -1$.

• Biến đổi phân tích nhân tử:

$$y = \frac{(x - 1)(x - 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{x - 2}{x + 1} \quad (\text{với } x \ne 1)$$

• Xét tại $x = 1$: $\lim_{x \to 1} y = \lim_{x \to 1} \frac{x - 2}{x + 1} = \frac{-1}{2} \ne \pm\infty \Rightarrow x = 1$ không phải là tiệm cận đứng!

• Xét tại $x = -1$: $\lim_{x \to -1^+} y = \lim_{x \to -1^+} \frac{x - 2}{x + 1} = -\infty \Rightarrow x = -1$ là đường tiệm cận đứng duy nhất.

• Kết luận: Đồ thị hàm số chỉ có đúng 1 đường tiệm cận đứng là $x = -1$.

• Tính giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$:

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{4x + 1}{2x - 3} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{3}{x}} = \frac{4}{2} = 2$$

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{4x + 1}{2x - 3} = 2$$

• Kết luận: Đồ thị hàm số có đúng 1 đường tiệm cận ngang là đường thẳng $y = 2$.

• Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• Trường hợp 1: Khi $x \to +\infty$ ($x > 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = x$):

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 2}}{x - 1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{9 + \frac{2}{x^2}}}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \frac{\sqrt{9}}{1} = 3 \Rightarrow y = 3 \text{ là TCN thứ nhất.}$$

• Trường hợp 2: Khi $x \to -\infty$ ($x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = |x| = -x$):

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 2}}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{9 + \frac{2}{x^2}}}{x\left(1 - \frac{1}{x}\right)} = \frac{-3}{1} = -3 \Rightarrow y = -3 \text{ là TCN thứ hai.}$$

• Kết luận: Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận ngang phân biệt là $y = 3$ và $y = -3$.

• TXĐ: $D = \mathbb{R}$ (vì $x^2 - 2x + 3 = (x-1)^2 + 2 > 0, \forall x$).

• Tính giới hạn khi $x \to \pm\infty$:

$$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x + 5}{x^2 - 2x + 3} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{\frac{3}{x} + \frac{5}{x^2}}{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} = \frac{0}{1} = 0$$

• Kết luận: Đồ thị hàm số có 1 tiệm cận ngang duy nhất là trục hoành $y = 0$.

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}$.

• Chia tử số $x^2 + 3x - 1$ cho mẫu số $x + 2$:

$$y = \frac{x^2 + 3x - 1}{x + 2} = x + 1 - \frac{3}{x + 2}$$

• Ta có $\lim_{x \to \pm\infty} [y - (x + 1)] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{-3}{x + 2} = 0$.

• Kết luận: Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là đường thẳng $y = x + 1$.

• Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.

• Phân tích tử số thành nhân tử: $2x^2 - 5x + 3 = (x - 1)(2x - 3)$.

• Biến đổi rút gọn:

$$y = \frac{(x - 1)(2x - 3)}{x - 1} = 2x - 3 \quad (\text{với } x \ne 1)$$

• Đồ thị hàm số này chính là đường thẳng $y = 2x - 3$ bị khuyết (bị đục lỗ) tại điểm $(1; -1)$.

• Vì $y - (2x - 3) = 0, \forall x \ne 1$ nên hiệu số bằng $0$ triệt để chứ không phải giới hạn tiệm cận dần về $0$.

• Kết luận: Đồ thị hàm số không có tiệm cận xiên (và cũng không có tiệm cận đứng).

• Tập xác định: $x^2 - 4x + 3 \ge 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty; 1] \cup [3; +\infty)$.

• Trường hợp 1: Khi $x \to +\infty$:

$$a_1 = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}}{x} = 1$$

$$b_1 = \lim_{x \to +\infty} [\sqrt{x^2 - 4x + 3} - x] = \lim_{x \to +\infty} \frac{-4x + 3}{\sqrt{x^2 - 4x + 3} + x} = \frac{-4}{1 + 1} = -2$$

$$\Rightarrow \text{TCX thứ nhất khi } x \to +\infty \text{ là } y = x - 2$$

• Trường hợp 2: Khi $x \to -\infty$ ($x < 0 \Rightarrow \sqrt{x^2} = -x$):

$$a_2 = \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^2 - 4x + 3}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1 - \frac{4}{x} + \frac{3}{x^2}}}{x} = -1$$

$$b_2 = \lim_{x \to -\infty} [\sqrt{x^2 - 4x + 3} - (-x)] = \lim_{x \to -\infty} \frac{-4x + 3}{\sqrt{x^2 - 4x + 3} - x} = \frac{-4}{-1 - 1} = 2$$

$$\Rightarrow \text{TCX thứ hai khi } x \to -\infty \text{ là } y = -x + 2$$

• Kết luận: Đồ thị hàm số có 2 đường tiệm cận xiên là $y = x - 2$ và $y = -x + 2$.

• Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là đường thẳng $y = \frac{m-1}{2}$.

• Tiệm cận ngang đi qua $A(1; 3) \Leftrightarrow 3 = \frac{m-1}{2} \Leftrightarrow m - 1 = 6 \Leftrightarrow m = 7$.

• Kết luận: $m = 7$ là giá trị cần tìm.

• Đồ thị có đúng 2 tiệm cận đứng $\Leftrightarrow$ Phương trình mẫu số $g(x) = x^2 - 2mx + 4 = 0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $-1$ (nghiệm của tử số).

• Điều kiện tương đương:

$$\begin{cases} \Delta' = m^2 - 4 > 0 \\ g(-1) = (-1)^2 - 2m(-1) + 4 \ne 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m > 2 \text{ hoặc } m < -2 \\ 2m + 5 \ne 0 \Rightarrow m \ne -\frac{5}{2} \end{cases}$$

• Kết luận: $m \in (-\infty; -2) \cup (2; +\infty) \setminus \left\{-\frac{5}{2}\right\}$.

• Điều kiện tồn tại hàm nhất biến: $2(m) - (-m)(1) \ne 0 \Leftrightarrow 3m \ne 0 \Leftrightarrow m \ne 0$.

• Tiệm cận đứng: $x = -m$; Tiệm cận ngang: $y = 2$.

• Giao điểm hai đường tiệm cận là $I(-m; 2)$.

• Điểm $I \in d: y = 3x + 10 \Leftrightarrow 2 = 3(-m) + 10 \Leftrightarrow -3m = -8 \Leftrightarrow m = \frac{8}{3}$ (thỏa mãn $m \ne 0$).

• Kết luận: $m = \frac{8}{3}$.