Bài 1: Tính đơn điệu & cực trị
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 1: Tính đơn điệu & cực trị — SGK Toán 12 Kết nối tri thức.
I. Tính đơn điệu của hàm số
1. Định nghĩa & Điều kiện đủ nhờ đạo hàm
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$.
- $f$ đồng biến (tăng) trên $(a; b)$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$.
- $f$ nghịch biến (giảm) trên $(a; b)$ nếu với mọi $x_1, x_2 \in (a; b)$: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$.
Giả sử $f$ có đạo hàm trên khoảng $(a; b)$:
- Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f$ đồng biến trên $(a; b)$.
- Nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f$ nghịch biến trên $(a; b)$.
- Nếu $f'(x) = 0$ với mọi $x \in (a; b)$ thì hàm số $f$ không đổi (hằng số) trên $(a; b)$.
Mở rộng: Nếu $f'(x) \ge 0$ (hoặc $f'(x) \le 0$) trên $(a; b)$ và $f'(x) = 0$ chỉ tại hữu hạn điểm thì hàm số vẫn đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng $(a; b)$.
💡 Đồ thị tương tác JSXGraph: Kéo thả, phóng to, thu nhỏ và rê chuột để xem tọa độ.
2. Ví dụ mẫu xét tính đơn điệu (Đủ các dạng hàm số)
Xét chiều biến thiên và các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 3x - 1$.
Xem lời giải
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y' = x^2 - 4x + 3$. Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = 1$ hoặc $x = 3$.
• Bảng xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; 1) \cup (3; +\infty)$; $y' < 0$ khi $x \in (1; 3)$.
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$; nghịch biến trên khoảng $(1; 3)$.
Xét chiều biến thiên của hàm số $y = -x^4 + 2x^2 + 3$.
Xem lời giải
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y' = -4x^3 + 4x = -4x(x^2 - 1) = -4x(x-1)(x+1)$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = 1, x = -1$.
• Xét dấu $y'$: $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (0; 1)$; $y' < 0$ khi $x \in (-1; 0) \cup (1; +\infty)$.
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$; nghịch biến trên các khoảng $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
Xét chiều biến thiên của hàm số $y = \frac{2x - 1}{x + 1}$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$.
• $y' = \frac{2(1) - (-1)(1)}{(x+1)^2} = \frac{3}{(x+1)^2} > 0$ với mọi $x \ne -1$.
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$. (Chú ý: Không dùng ký hiệu hợp $\cup$ khi kết luận các khoảng đồng biến).
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \frac{x^2 - 2x + 3}{x - 1}$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$. Biến đổi $y = x - 1 + \frac{2}{x-1}$.
• $y' = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1 - \sqrt{2}$ hoặc $x = 1 + \sqrt{2}$.
• $y' > 0$ khi $x \in (-\infty; 1-\sqrt{2}) \cup (1+\sqrt{2}; +\infty)$; $y' < 0$ khi $x \in (1-\sqrt{2}; 1) \cup (1; 1+\sqrt{2})$.
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty; 1-\sqrt{2})$ và $(1+\sqrt{2}; +\infty)$; nghịch biến trên các khoảng $(1-\sqrt{2}; 1)$ và $(1; 1+\sqrt{2})$.
Tìm các khoảng đơn điệu của hàm số $y = \sqrt{4 - x^2}$.
Xem lời giải
• Điều kiện $4 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow x \in [-2; 2]$. Tập xác định $D = [-2; 2]$.
• Đạo hàm trên khoảng $(-2; 2)$: $y' = \frac{-2x}{2\sqrt{4 - x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}}$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$. Mẫu số $\sqrt{4 - x^2} > 0, \forall x \in (-2; 2)$.
• Dấu của $y'$ cùng dấu với $-x$: $y' > 0$ khi $x \in (-2; 0)$; $y' < 0$ khi $x \in (0; 2)$.
• Kết luận: Hàm số đồng biến trên khoảng $(-2; 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0; 2)$.
Xét tính đơn điệu của hàm số $y = x \ln x$ trên tập xác định của nó.
Xem lời giải
• Điều kiện $x > 0$. Tập xác định $D = (0; +\infty)$.
• Đạo hàm: $y' = (x)' \ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = e^{-1} = \frac{1}{e}$.
• Với $0 < x < \frac{1}{e} \Rightarrow \ln x < -1 \Rightarrow y' < 0$.
• Với $x > \frac{1}{e} \Rightarrow \ln x > -1 \Rightarrow y' > 0$.
• Kết luận: Hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; \frac{1}{e})$ và đồng biến trên khoảng $(\frac{1}{e}; +\infty)$.
Xét chiều biến thiên của hàm số $y = x - \sin x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.
Xem lời giải
• Đạo hàm: $y' = 1 - \cos x$.
• Vì $-1 \le \cos x \le 1$ với mọi $x \Rightarrow y' = 1 - \cos x \ge 0, \forall x \in [0; 2\pi]$.
• $y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = 0, x = 2\pi$ (hữu hạn điểm).
• Kết luận: Hàm số $y = x - \sin x$ đồng biến trên toàn bộ đoạn $[0; 2\pi]$.
II. Cực trị của hàm số
1. Định nghĩa & Các quy tắc tìm cực trị
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$:
- $x_0$ gọi là điểm cực đại của hàm số nếu tồn tại khoảng $(x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ sao cho $f(x) < f(x_0)$ với mọi $x \ne x_0$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực đại ($y_{CĐ}$).
- $x_0$ gọi là điểm cực tiểu của hàm số nếu tồn tại khoảng $(x_0 - h; x_0 + h) \subset (a; b)$ sao cho $f(x) > f(x_0)$ với mọi $x \ne x_0$. Giá trị $f(x_0)$ gọi là giá trị cực tiểu ($y_{CT}$).
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $x_0$ (từ trái sang phải) thì $x_0$ là điểm cực đại.
• Nếu $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi $x$ đi qua $x_0$ (từ trái sang phải) thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
Giả sử $f'(x_0) = 0$ và $f$ có đạo hàm cấp hai tại $x_0$:
- Nếu $f''(x_0) < 0$ thì $x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu $f''(x_0) > 0$ thì $x_0$ là điểm cực tiểu.
💡 Đồ thị tương tác JSXGraph: Điểm cực đại A(-1; 4) và Cực tiểu B(1; 0) cùng tiếp tuyến ngang.
2. Ví dụ mẫu tìm cực trị (Đủ các dạng hàm số)
Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị của hàm số $y = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 1$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• $y' = 6x^2 - 6x - 12 = 6(x^2 - x - 2) = 6(x+1)(x-2)$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = -1$ hoặc $x = 2$.
• $y'' = 12x - 6$.
• Tại $x = -1$: $y''(-1) = -18 < 0 \Rightarrow x = -1$ là điểm cực đại, $y_{CĐ} = y(-1) = 8$.
• Tại $x = 2$: $y''(2) = 18 > 0 \Rightarrow x = 2$ là điểm cực tiểu, $y_{CT} = y(2) = -19$.
Tìm các cực trị của hàm số $y = x^4 - 4x^2 + 3$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R}$.
• $y' = 4x^3 - 8x = 4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = \pm \sqrt{2}$.
• Dấu $y'$: Khi đi qua $x = -\sqrt{2}$ và $x = \sqrt{2}$, $y'$ đổi dấu từ $-$ sang $+$. Khi đi qua $x = 0$, $y'$ đổi dấu từ $+$ sang $-$.
• Kết luận: Hàm số đạt cực đại tại $x = 0$ với $y_{CĐ} = 3$; đạt cực tiểu tại 2 điểm $x = \pm \sqrt{2}$ với $y_{CT} = -1$.
Xét sự tồn tại cực trị của hàm số $y = \frac{3x + 2}{x - 1}$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{1\}$.
• Đạo hàm: $y' = \frac{3(-1) - 2(1)}{(x-1)^2} = \frac{-5}{(x-1)^2} < 0$ với mọi $x \ne 1$.
• Vì $y'$ luôn âm trên các khoảng xác định và không bao giờ bằng 0 hay đổi dấu nên hàm số không có cực trị.
Ghi nhớ: Hàm nhất biến $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ luôn không có cực trị.
Tìm các điểm cực trị của hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = \mathbb{R} \setminus \{-1\}$. Viết $y = x + \frac{1}{x+1}$.
• $y' = 1 - \frac{1}{(x+1)^2} = \frac{(x+1)^2 - 1}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$.
• Cho $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = -2$.
• Qua $x = -2$: $y'$ đổi dấu $+$ sang $-$ $\Rightarrow$ Cực đại tại $x = -2$ với $y_{CĐ} = y(-2) = -3$.
• Qua $x = 0$: $y'$ đổi dấu $-$ sang $+$ $\Rightarrow$ Cực tiểu tại $x = 0$ với $y_{CT} = y(0) = 1$.
Tìm các cực trị của hàm số $y = x \sqrt{4 - x^2}$.
Xem lời giải
• TXĐ: $D = [-2; 2]$. Trên khoảng $(-2; 2)$:
• $y' = \sqrt{4 - x^2} + x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - x^2 - x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{4 - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}}$.
• $y' = 0 \Leftrightarrow 4 - 2x^2 = 0 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{2}$.
• Lập bảng xét dấu $y'$ trên $(-2; 2)$:
- $y'$ đổi dấu $+$ sang $-$ qua $x = \sqrt{2} \Rightarrow x = \sqrt{2}$ là điểm cực đại, $y_{CĐ} = 2$.
- $y'$ đổi dấu $-$ sang $+$ qua $x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\sqrt{2}$ là điểm cực tiểu, $y_{CT} = -2$.
Xét chiều biến thiên của hàm số $y = x - \sin x$ trên đoạn $[0; 2\pi]$.
Xem lời giải
• Đạo hàm: $y' = 1 - \cos x$.
• Vì $-1 \le \cos x \le 1$ với mọi $x \Rightarrow y' = 1 - \cos x \ge 0, \forall x \in [0; 2\pi]$.
• $y' = 0 \Leftrightarrow \cos x = 1 \Leftrightarrow x = 0, x = 2\pi$ (hữu hạn điểm).
• Kết luận: Hàm số $y = x - \sin x$ đồng biến trên toàn bộ đoạn $[0; 2\pi]$.
III. Đọc đồ thị f'(x) & Bài toán chứa tham số m
1. Đọc đồ thị f'(x) & Hàm hợp (Phương pháp & 3 Ví dụ từ Dễ đến Khó)
1. Quy tắc xét dấu $f'(x)$ từ đồ thị $y = f'(x)$:
- Khoảng đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía trên trục hoành ($Ox$) $\Rightarrow f'(x) > 0 \Rightarrow$ Hàm số $f(x)$ đồng biến.
- Khoảng đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía dưới trục hoành ($Ox$) $\Rightarrow f'(x) < 0 \Rightarrow$ Hàm số $f(x)$ nghịch biến.
- Giao điểm của đồ thị $y = f'(x)$ với trục hoành $Ox$ là nghiệm của phương trình $f'(x) = 0$.
2. Quy tắc xác định điểm cực trị của $f(x)$:
- Điểm $x_0$ là điểm cực trị của $f(x) \Leftrightarrow$ đồ thị $y = f'(x)$ cắt xuyên qua trục $Ox$ tại $x_0$ (nghiệm đơn/nghiệm bội lẻ).
- Đổi dấu từ âm sang dương (từ dưới $Ox$ lên trên $Ox$) $\Rightarrow x_0$ là điểm cực tiểu.
- Đổi dấu từ dương sang âm (từ trên $Ox$ xuống dưới $Ox$) $\Rightarrow x_0$ là điểm cực đại.
- Nếu đồ thị $y = f'(x)$ tiếp xúc với $Ox$ tại $x_0$ (nghiệm kép/nghiệm bội chẵn) mà không cắt qua $\Rightarrow f'(x)$ không đổi dấu $\Rightarrow x_0$ không phải điểm cực trị.
3. Phương pháp xét hàm hợp $g(x) = f(u(x))$:
- Tính đạo hàm: $g'(x) = u'(x) \cdot f'(u(x))$.
- Cho $g'(x) = 0 \Leftrightarrow u'(x) = 0$ hoặc $f'(u(x)) = 0$.
- Lập bảng xét dấu $g'(x)$ hoặc giải bất phương trình $g'(x) > 0$ / $g'(x) < 0$ dựa trên khoảng xét dấu của $f'(u)$.
Cho hàm số $y = f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới. Đồ thị $y = f'(x)$ cắt trục hoành tại hai điểm $x = -2$, $x = 3$ và tiếp xúc với trục hoành tại điểm $x = 1$.
💡 Đồ thị đạo hàm y = f'(x) tương tác JSXGraph.
a) Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số $y = f(x)$.
b) Xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số $y = f(x)$.
Xem lời giải
• Quan sát đồ thị $y = f'(x)$:
- Trên các khoảng $(-2; 1)$ và $(1; 3)$, đồ thị $f'(x)$ nằm hoàn toàn phía trên trục hoành $Ox \Rightarrow f'(x) > 0$.
- Trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(3; +\infty)$, đồ thị $f'(x)$ nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành $Ox \Rightarrow f'(x) < 0$.
- Phương trình $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = -2, x = 1, x = 3$.
• Kết luận câu a (Tính đơn điệu): Hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-2; 1)$ và $(1; 3)$ (hay đồng biến trên khoảng $(-2; 3)$); nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -2)$ và $(3; +\infty)$.
• Kết luận câu b (Cực trị):
- Tại $x = -2$: $f'(x)$ đổi dấu từ âm sang dương khi qua $x = -2 \Rightarrow x = -2$ là điểm cực tiểu.
- Tại $x = 1$: đồ thị tiếp xúc với $Ox$ (nghiệm kép), $f'(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x = 1 \Rightarrow x = 1$ không phải điểm cực trị.
- Tại $x = 3$: $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x = 3 \Rightarrow x = 3$ là điểm cực đại.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đồ thị đạo hàm $y = f'(x)$ như hình vẽ bên dưới (cắt trục $Ox$ tại 3 điểm phân biệt $x = -1$, $x = 1$, $x = 4$). Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(3 - 2x)$.
💡 Đồ thị đạo hàm y = f'(x) cắt Ox tại -1, 1, 4.
Xem lời giải
• Đạo hàm hàm hợp: $g'(x) = (3 - 2x)' \cdot f'(3 - 2x) = -2 f'(3 - 2x)$.
• Tìm nghiệm $g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(3 - 2x) = 0$. Dựa vào đồ thị $y = f'(x)$:
$$f'(u) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} u = -1 \\ u = 1 \\ u = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 3 - 2x = -1 \\ 3 - 2x = 1 \\ 3 - 2x = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 2 \\ x = 1 \\ x = -\frac{1}{2} \end{array} \right.$$
• Xét bất phương trình $g'(x) > 0 \Leftrightarrow -2 f'(3 - 2x) > 0 \Leftrightarrow f'(3 - 2x) < 0$.
• Từ đồ thị $y = f'(x)$, ta thấy $f'(u) < 0$ khi $u < -1$ hoặc $1 < u < 4$. Do đó:
$$\left[ \begin{array}{l} 3 - 2x < -1 \\ 1 < 3 - 2x < 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} -2x < -4 \\ -2 < -2x < 1 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x > 2 \\ -\frac{1}{2} < x < 1 \end{array} \right.$$
• Kết luận:
- Hàm số $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $\left(-\frac{1}{2}; 1\right)$ và $(2; +\infty)$.
- Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right)$ và $(1; 2)$.
- Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị: Điểm cực đại $x = 1$; các điểm cực tiểu $x = -\frac{1}{2}$ và $x = 2$.
Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$. Đồ thị của hàm số đạo hàm $y = f'(x)$ và parabol $y = x^2 - 1$ cắt nhau tại 3 điểm có hoành độ lần lượt là $x = -1$, $x = 1$, $x = 3$ như hình vẽ dưới đây.
💡 Tương quan hai đồ thị y = f'(x) và Parabol y = x² - 1 tương tác JSXGraph.
Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số $g(x) = f(x) - \frac{1}{3}x^3 + x + 2026$.
Xem lời giải
• Tính đạo hàm: $g'(x) = f'(x) - (x^2 - 1)$.
• Nhận xét ý nghĩa hình học của $g'(x)$:
- $g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(x) > x^2 - 1 \Leftrightarrow$ Đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía trên parabol $y = x^2 - 1$.
- $g'(x) < 0 \Leftrightarrow f'(x) < x^2 - 1 \Leftrightarrow$ Đồ thị $y = f'(x)$ nằm phía dưới parabol $y = x^2 - 1$.
- $g'(x) = 0 \Leftrightarrow f'(x) = x^2 - 1 \Leftrightarrow x = -1, x = 1, x = 3$.
• Dựa vào hình vẽ tương quan giữa hai đồ thị:
- Khi $x \in (-1; 1) \cup (3; +\infty)$: Đồ thị $f'(x)$ nằm phía trên parabol $y = x^2 - 1 \Rightarrow g'(x) > 0$.
- Khi $x \in (-\infty; -1) \cup (1; 3)$: Đồ thị $f'(x)$ nằm phía dưới parabol $y = x^2 - 1 \Rightarrow g'(x) < 0$.
• Kết luận:
- Hàm số $g(x)$ đồng biến trên các khoảng $(-1; 1)$ và $(3; +\infty)$.
- Hàm số $g(x)$ nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; -1)$ và $(1; 3)$.
- Hàm số $g(x)$ có 3 điểm cực trị: Cực đại tại $x = 1$; các điểm cực tiểu tại $x = -1$ và $x = 3$.
2. Bài toán chứa tham số m (Phương pháp & 3 Ví dụ từ Dễ đến Khó)
Dạng 1: Hàm bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \ne 0$)
- $y' = 3ax^2 + 2bx + c$.
- Đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$.
- Nghịch biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \le 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \begin{cases} a < 0 \\ \Delta' = b^2 - 3ac \le 0 \end{cases}$.
- Có 2 điểm cực trị $\Leftrightarrow \Delta' = b^2 - 3ac > 0$. Không có cực trị $\Leftrightarrow \Delta' \le 0$.
Dạng 2: Hàm nhất biến $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ ($c \ne 0$) trên khoảng $(K)$
- $y' = \frac{ad - bc}{(cx+d)^2}$. Nghiệm của mẫu số là $x_0 = -\frac{d}{c}$.
- Hàm số đồng biến trên khoảng $K \Leftrightarrow \begin{cases} ad - bc > 0 \\ x_0 = -\frac{d}{c} \notin K \end{cases}$.
- Hàm số nghịch biến trên khoảng $K \Leftrightarrow \begin{cases} ad - bc < 0 \\ x_0 = -\frac{d}{c} \notin K \end{cases}$.
Dạng 3: Hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ ($a \ne 0$)
- Có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow a \cdot b < 0$. Có đúng 1 điểm cực trị $\Leftrightarrow a \cdot b \ge 0$.
- Tọa độ 3 điểm cực trị khi $ab < 0$: $A(0; c)$, $B\left(-\sqrt{-\frac{b}{2a}}; c - \frac{b^2}{4a}\right)$, $C\left(\sqrt{-\frac{b}{2a}}; c - \frac{b^2}{4a}\right)$.
- Công thức giải nhanh hình học cực trị:
- Tam giác cực trị $ABC$ vuông cân tại $A \Leftrightarrow b^3 + 8a = 0$.
- Tam giác cực trị $ABC$ đều $\Leftrightarrow b^3 + 24a = 0$.
Dạng 4: Phương pháp Cô lập tham số $m$
- Đưa bất phương trình về dạng $m \ge g(x), \forall x \in K \Leftrightarrow m \ge \max_{K} g(x)$.
- Hoặc $m \le g(x), \forall x \in K \Leftrightarrow m \le \min_{K} g(x)$.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{1}{3}x^3 - (m-1)x^2 + (m+1)x + 3$ đồng biến trên khoảng $(-\infty; +\infty)$.
Xem lời giải
• Tập xác định: $D = \mathbb{R}$.
• Đạo hàm: $y' = x^2 - 2(m-1)x + (m+1)$.
• Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R} \Leftrightarrow y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R}$.
• Vì hệ số $a = 1 > 0$, tam thức bậc hai $y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta' \le 0$.
• Tính biệt thức thu gọn:
$$\Delta' = [-(m-1)]^2 - 1 \cdot (m+1) = m^2 - 2m + 1 - m - 1 = m^2 - 3m$$
• Bất phương trình $\Delta' \le 0 \Leftrightarrow m^2 - 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 3$.
• Kết luận: $m \in [0; 3]$ là tập hợp tất cả các giá trị cần tìm.
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số $m$ để hàm số $y = \frac{mx - 4}{m - x}$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.
Xem lời giải
• Viết lại hàm số: $y = \frac{mx - 4}{-x + m}$. Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \{m\}$.
• Đạo hàm: $y' = \frac{m \cdot m - (-4)(-1)}{(-x + m)^2} = \frac{m^2 - 4}{(m - x)^2}$.
• Để hàm số đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$, ta phải có 2 điều kiện đồng thời:
1) Đạo hàm luôn dương: $y' > 0, \forall x \in (2; +\infty) \Leftrightarrow m^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m > 2 \\ m < -2 \end{array} \right.$.
2) Điểm gián đoạn $x = m$ không thuộc khoảng $(2; +\infty) \Leftrightarrow m \notin (2; +\infty) \Leftrightarrow m \le 2$.
• Kết hợp cả 2 điều kiện:
$$\begin{cases} \left[ \begin{array}{l} m > 2 \\ m < -2 \end{array} \right. \\ m \le 2 \end{cases} \Leftrightarrow m < -2$$
• Kết luận: Các giá trị tham số thỏa mãn là $m \in (-\infty; -2)$.
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số trùng phương $y = x^4 - 2(m+1)x^2 + m^2$ có 3 điểm cực trị $A, B, C$ tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Xem lời giải
• Đạo hàm: $y' = 4x^3 - 4(m+1)x = 4x[x^2 - (m+1)]$.
• Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 0$ có 3 nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m + 1 > 0 \Leftrightarrow m > -1$.
• Tọa độ 3 điểm cực trị khi $m > -1$ là:
- $A(0; m^2)$ (điểm cực đại nằm trên trục $Oy$).
- $B(-\sqrt{m+1}; -2m - 1)$ (điểm cực tiểu).
- $C(\sqrt{m+1}; -2m - 1)$ (điểm cực tiểu).
• Tọa độ hai vectơ: $\vec{AB} = \left(-\sqrt{m+1}; -(m+1)^2\right)$, $\vec{AC} = \left(\sqrt{m+1}; -(m+1)^2\right)$.
• Dễ thấy $AB = AC$ nên tam giác $ABC$ luôn cân tại $A$. Do đó tam giác $ABC$ vuông cân tại $A \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0$:
$$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = -(\sqrt{m+1})^2 + (m+1)^4 = -(m+1) + (m+1)^4 = 0$$
• Do $m > -1 \Rightarrow m + 1 > 0$, chia 2 tế cho $(m+1)$:
$$-1 + (m+1)^3 = 0 \Leftrightarrow (m+1)^3 = 1 \Leftrightarrow m + 1 = 1 \Leftrightarrow m = 0 \text{ (thỏa mãn } m > -1\text{)}$$
• Mẹo dùng công thức nhanh: Hàm trùng phương $y = ax^4 + bx^2 + c$ có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông cân $\Leftrightarrow b^3 + 8a = 0 \Leftrightarrow [-2(m+1)]^3 + 8(1) = 0 \Leftrightarrow -8(m+1)^3 + 8 = 0 \Leftrightarrow m = 0$.
• Kết luận: $m = 0$ là giá trị duy nhất cần tìm.
IV. Ứng dụng bài toán thực tế (5 ví dụ nâng cao)
Bước 1: Chọn biến số thích hợp $x$ và tìm miền xác định (khoảng thực tế) cho $x$.
Bước 2: Thiết lập biểu thức hàm số $f(x)$ đại diện cho đại lượng cần tối ưu (lợi nhuận, diện tích, thể tích, chi phí, thời gian,...).
Bước 3: Tính đạo hàm $f'(x)$, tìm điểm cực trị và xét giá trị lớn nhất / nhỏ nhất trên miền xác định.
Bước 4: Trả lời câu hỏi và đưa ra kết luận ý nghĩa thực tế.
Một công ty công nghệ sản xuất một loại thiết bị điện tử. Chi phí sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng được cho bởi hàm số $C(x) = 0{,}05x^2 + 20x + 500$ (đơn vị: triệu đồng). Giá bán mỗi sản phẩm phụ thuộc vào số lượng sản xuất theo công thức $p(x) = 100 - 0{,}05x$ (triệu đồng/sản phẩm). Biết khả năng sản xuất tối đa của xưởng là $800$ sản phẩm/tháng. Tìm số sản phẩm $x$ công ty nên sản xuất mỗi tháng để lợi nhuận thu được là lớn nhất.
Xem lời giải
• Miền xác định của biến số: $x \in (0; 800]$, $x \in \mathbb{N}^*$.
• Doanh thu bán $x$ sản phẩm là: $R(x) = x \cdot p(x) = x(100 - 0{,}05x) = 100x - 0{,}05x^2$ (triệu đồng).
• Lợi nhuận thu được là: $L(x) = R(x) - C(x) = (100x - 0{,}05x^2) - (0{,}05x^2 + 20x + 500) = -0{,}1x^2 + 80x - 500$.
• Đạo hàm hàm lợi nhuận: $L'(x) = -0{,}2x + 80$.
• Cho $L'(x) = 0 \Leftrightarrow -0{,}2x + 80 = 0 \Leftrightarrow x = 400$ (thỏa mãn $0 < x \le 800$).
• Vì $L''(x) = -0{,}2 < 0$ nên $L(x)$ đạt giá trị lớn nhất (cực đại) tại $x = 400$.
• Kết luận: Công ty nên sản xuất $400$ sản phẩm mỗi tháng để đạt lợi nhuận tối đa là $L(400) = -0{,}1(400)^2 + 80(400) - 500 = 15.500$ triệu đồng ($15{,}5$ tỷ đồng).
Một xưởng cơ khí cần gia công một bể chứa nhiên liệu bằng thép có dạng hình trụ không nắp với thể tích cố định $V = 1000\pi$ m³. Tìm bán kính đáy $r$ và chiều cao $h$ của bể trụ sao cho tổng diện tích thép cần dùng (diện tích đáy và diện tích xung quanh) là nhỏ nhất để tiết kiệm chi phí nguyên vật liệu.
Xem lời giải
• Gọi $r > 0$ là bán kính đáy và $h > 0$ là chiều cao bể trụ (mét).
• Thể tích bể trụ không nắp: $V = \pi r^2 h = 1000\pi \Rightarrow h = \frac{1000}{r^2}$.
• Diện tích thép cần dùng (đáy tròn + xung quanh): $S(r) = S_{\text{đáy}} + S_{xq} = \pi r^2 + 2\pi r h = \pi r^2 + 2\pi r \left(\frac{1000}{r^2}\right) = \pi r^2 + \frac{2000\pi}{r}$ ($r > 0$).
• Tính đạo hàm: $S'(r) = 2\pi r - \frac{2000\pi}{r^2} = \pi \cdot \frac{2r^3 - 2000}{r^2}$.
• Cho $S'(r) = 0 \Leftrightarrow 2r^3 - 2000 = 0 \Leftrightarrow r^3 = 1000 \Leftrightarrow r = 10$ m.
• Bảng biến thiên cho thấy $S'(r) < 0$ với $0 < r < 10$ và $S'(r) > 0$ với $r > 10$. Do đó $S(r)$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $r = 10$ m.
• Chiều cao tương ứng: $h = \frac{1000}{10^2} = 10$ m.
• Kết luận: Bể nhiên liệu có bán kính đáy $r = 10$ m và chiều cao $h = 10$ m (tức bán kính bằng chiều cao) sẽ tốn ít thép nhất với diện tích tối thiểu $S_{min} = 300\pi \approx 942{,}48$ m².
Một mô hình tên lửa nước chuyển động theo quy luật phương trình quãng đường $s(t) = -t^3 + 9t^2 + 12t$ (trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây từ lúc bắt đầu phóng, $t \ge 0$, và $s(t)$ tính bằng mét). Tìm thời điểm $t$ mà vận tốc tên lửa đạt giá trị lớn nhất và giá trị vận tốc cực đại đó.
Xem lời giải
• Vận tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm của quãng đường theo thời gian: $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 18t + 12$ (m/s) với $t \ge 0$.
• Để tìm thời điểm $t$ vận tốc $v(t)$ đạt GTLN, ta xét đạo hàm của $v(t)$: $v'(t) = -6t + 18$.
• Cho $v'(t) = 0 \Leftrightarrow -6t + 18 = 0 \Leftrightarrow t = 3$ giây.
• Vì $v''(t) = -6 < 0$ nên hàm vận tốc $v(t)$ đạt cực đại (và đạt GTLN) tại $t = 3$ s.
• Vận tốc cực đại của tên lửa là: $v_{max} = v(3) = -3(3)^2 + 18(3) + 12 = -27 + 54 + 12 = 39$ m/s.
• Kết luận: Tại thời điểm $t = 3$ giây kể từ lúc phóng, tên lửa đạt vận tốc lớn nhất là $39$ m/s ($140{,}4$ km/h).
Một xe tải chở hàng chạy từ kho A đến kho B trên chặng đường dài $200$ km với vận tốc không đổi $v$ (km/h) nằm trong khoảng $[40; 100]$. Biết chi phí nhiên liệu cho mỗi giờ chạy xe phụ thuộc vào vận tốc theo biểu thức $F(v) = \frac{v^2}{300} + 12$ (nghìn đồng/giờ). Tiền công cố định trả cho tài xế là $80$ nghìn đồng cho mỗi giờ lái xe. Tìm vận tốc $v$ để tổng chi phí chuyến đi là nhỏ nhất.
Xem lời giải
• Thời gian để xe chạy hết chặng đường $200$ km với vận tốc $v$ là: $t = \frac{200}{v}$ (giờ).
• Tổng chi phí mỗi giờ bao gồm chi phí nhiên liệu và tiền công tài xế: $C_{1h}(v) = F(v) + 80 = \left(\frac{v^2}{300} + 12\right) + 80 = \frac{v^2}{300} + 92$ (nghìn đồng/giờ).
• Tổng chi phí toàn bộ chuyến đi $200$ km là: $C(v) = C_{1h}(v) \cdot t = \left(\frac{v^2}{300} + 92\right) \cdot \frac{200}{v} = \frac{200v}{300} + \frac{18400}{v} = \frac{2}{3}v + \frac{18400}{v}$ (nghìn đồng) với $v \in [40; 100]$.
• Đạo hàm chi phí: $C'(v) = \frac{2}{3} - \frac{18400}{v^2} = \frac{2v^2 - 55200}{3v^2}$.
• Cho $C'(v) = 0 \Leftrightarrow 2v^2 = 55200 \Leftrightarrow v^2 = 27600 \Leftrightarrow v = \sqrt{27600} = 20\sqrt{69} \approx 166{,}13$ km/h.
• Tuy nhiên $v \in [40; 100]$. Trong đoạn $[40; 100]$, vì $v < 166{,}13$ nên $C'(v) < 0$ với mọi $v \in [40; 100]$.
• Do $C'(v) < 0$ trên $[40; 100]$ nên hàm chi phí $C(v)$ nghịch biến liên tục trên đoạn $[40; 100]$.
Một trạm lọc dầu A đặt trên đường bờ biển thẳng. Một giàn khoan dầu B nằm ở ngoài biển cách đường bờ biển một khoảng $BC = 6$ km ($C$ là chân đường vuông góc kẻ từ B xuống bờ biển). Khoảng cách từ trạm A đến C trên bờ biển là $10$ km. Người ta cần lắp đặt hệ thống ống dẫn dầu từ trạm A đến giàn khoan B bằng cách chạy ống dẫn trên bờ từ A đến một điểm D thuộc đoạn AC, sau đó chạy thẳng dưới biển từ D đến B. Chi phí lắp ống trên bờ là $30.000$ USD/km, chi phí dưới biển là $50.000$ USD/km. Xác định khoảng cách $AD$ để tổng chi phí lắp đặt đường ống dẫn dầu là nhỏ nhất.
Xem lời giải
• Đặt $CD = x$ (km) với $0 \le x \le 10$. Khoảng cách trên bờ $AD = 10 - x$ (km).
• Khoảng cách dưới biển $DB$ tính theo định lý Pitago trong tam giác vuông $BCD$: $DB = \sqrt{BC^2 + CD^2} = \sqrt{6^2 + x^2} = \sqrt{36 + x^2}$ (km).
• Tổng chi phí lắp đặt (đơn vị: nghìn USD): $f(x) = 30(10 - x) + 50\sqrt{36 + x^2} = 300 - 30x + 50\sqrt{36 + x^2}$ với $x \in [0; 10]$.
• Tính đạo hàm: $f'(x) = -30 + 50 \cdot \frac{x}{\sqrt{36 + x^2}} = \frac{50x - 30\sqrt{36 + x^2}}{\sqrt{36 + x^2}}$.
• Cho $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 50x = 30\sqrt{36 + x^2} \Leftrightarrow 5x = 3\sqrt{36 + x^2} \Leftrightarrow 25x^2 = 9(36 + x^2) \Leftrightarrow 16x^2 = 324 \Leftrightarrow x^2 = 20{,}25 \Leftrightarrow x = 4{,}5$ km.
• So sánh giá trị $f(x)$ tại các điểm ranh giới và điểm cực trị:
- $f(0) = 300 + 50(6) = 600$ nghìn USD.
- $f(4{,}5) = 300 - 30(4{,}5) + 50\sqrt{36 + 20{,}25} = 165 + 50(7{,}5) = 165 + 375 = 540$ nghìn USD.
- $f(10) = 300 - 300 + 50\sqrt{136} \approx 583{,}1$ nghìn USD.
• Vậy chi phí nhỏ nhất là $540.000$ USD khi $CD = 4{,}5$ km $\Rightarrow AD = 10 - 4{,}5 = 5{,}5$ km.
• Kết luận: Cần đặt điểm D cách trạm A một khoảng $AD = 5{,}5$ km trên bờ biển để tổng chi phí lắp đặt là tối ưu nhất ($540.000$ USD).
🎯 V. Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm tuyển chọn bao gồm 5 câu kiểm tra Tính đơn điệu và 5 câu kiểm tra Cực trị của hàm số. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn chọn đáp án.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Tính đơn điệu & Cực trị
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →📝 VI. Bài tập tự luận tổng hợp (Bài lớn có nhiều câu nhỏ)
Bài 1 (Xét chiều biến thiên của các hàm số). Xét chiều biến thiên và tìm các khoảng đơn điệu của các hàm số sau:
a) $y = -x^3 + 3x^2 - 4x + 1$
b) $y = x^4 - 2x^2 + 3$
c) $y = \frac{3x + 1}{1 - x}$
d) $y = \frac{x^2 - 3x + 2}{x + 1}$
e) $y = \sqrt{2x - x^2}$
f) $y = 2\sin x - x$ trên khoảng $(0; \pi)$
Xem lời giải Bài 1
a) $y' = -3x^2 + 6x - 4$. Ta có $\Delta' = 9 - 12 = -3 < 0$ và $a = -3 < 0 \Rightarrow y' < 0, \forall x \in \mathbb{R}$. Vậy hàm số nghịch biến trên toàn bộ $\mathbb{R}$.
b) $y' = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \pm 1$. Hàm số đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$; nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$.
c) $y = \frac{-3x - 1}{x - 1} \Rightarrow y' = \frac{-3(-1) - (-1)(1)}{(x-1)^2} = \frac{4}{(x-1)^2} > 0, \forall x \ne 1$. Hàm số đồng biến trên từng khoảng $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.
d) $y = x - 4 + \frac{6}{x+1} \Rightarrow y' = 1 - \frac{6}{(x+1)^2} = \frac{x^2 + 2x - 5}{(x+1)^2} = 0 \Leftrightarrow x = -1 \pm \sqrt{6}$. Đồng biến trên $(-\infty; -1-\sqrt{6})$ và $(-1+\sqrt{6}; +\infty)$; nghịch biến trên $(-1-\sqrt{6}; -1)$ và $(-1; -1+\sqrt{6})$.
e) TXĐ $D = [0; 2]$. Trên khoảng $(0; 2)$: $y' = \frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}} = 0 \Leftrightarrow x = 1$. Đồng biến trên khoảng $(0; 1)$, nghịch biến trên khoảng $(1; 2)$.
f) $y' = 2\cos x - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{\pi}{3}$ trên $(0; \pi)$. Đồng biến trên $(0; \frac{\pi}{3})$, nghịch biến trên $(\frac{\pi}{3}; \pi)$.
Bài 2 (Tìm cực trị của các hàm số). Tìm các điểm cực trị và giá trị cực trị tương ứng của các hàm số sau:
a) $y = x^3 - 3x^2 - 9x + 2$
b) $y = -x^4 + 4x^2 - 1$
c) $y = \frac{x^2 + 4}{x}$
d) $y = x + \sqrt{4 - x^2}$
e) $y = \frac{\ln x}{x^2}$
f) $y = \sin^2 x - \cos x$ trên khoảng $(0; \pi)$
Xem lời giải Bài 2
a) $y' = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x+1)(x-3) = 0 \Leftrightarrow x = -1, x = 3$. Cực đại tại $x = -1$ ($y_{CĐ} = 7$), cực tiểu tại $x = 3$ ($y_{CT} = -25$).
b) $y' = -4x^3 + 8x = -4x(x^2 - 2) = 0 \Leftrightarrow x = 0, x = \pm \sqrt{2}$. Cực đại tại $x = \pm \sqrt{2}$ ($y_{CĐ} = 3$), cực tiểu tại $x = 0$ ($y_{CT} = -1$).
c) $y = x + \frac{4}{x} \Rightarrow y' = 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = \pm 2$. Cực đại tại $x = -2$ ($y_{CĐ} = -4$), cực tiểu tại $x = 2$ ($y_{CT} = 4$).
d) TXĐ $[-2; 2]$. $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{4-x^2}} = 0 \Leftrightarrow \sqrt{4-x^2} = x \Leftrightarrow x = \sqrt{2}$ ($x > 0$). $y'$ đổi dấu $+$ sang $-$ qua $x = \sqrt{2} \Rightarrow$ Cực đại tại $x = \sqrt{2}$ với $y_{CĐ} = 2\sqrt{2}$.
e) TXĐ $(0; +\infty)$. $y' = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^2 - \ln x \cdot 2x}{x^4} = \frac{1 - 2\ln x}{x^3} = 0 \Leftrightarrow \ln x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \sqrt{e}$. Cực đại tại $x = \sqrt{e}$ với $y_{CĐ} = \frac{1}{2e}$.
f) $y = 1 - \cos^2 x - \cos x$. Đặt $t = \cos x \in (-1; 1)$. $y = 1 - t^2 - t \Rightarrow y' = -2t - 1 = 0 \Leftrightarrow t = -\frac{1}{2} \Leftrightarrow x = \frac{2\pi}{3}$. Cực đại tại $x = \frac{2\pi}{3}$ với $y_{CĐ} = \frac{5}{4}$.
Bài 3 (Bài toán chứa tham số $m$).
a) Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{x^3}{3} - (m-1)x^2 + (m+1)x + 2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
b) Tìm $m$ để hàm số $y = \frac{mx + 4}{x + m}$ nghịch biến trên khoảng $(1; +\infty)$.
c) Tìm $m$ để hàm số $y = x^3 - 3mx^2 + 3(m^2 - 1)x + 1$ có 2 điểm cực trị $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 + x_2^2 = 10$.
d) Tìm $m$ để hàm số trùng phương $y = x^4 - 2mx^2 + 2m - 1$ có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân.
Xem lời giải Bài 3
a) $y' = x^2 - 2(m-1)x + (m+1) \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \Delta' = (m-1)^2 - (m+1) \le 0 \Leftrightarrow m^2 - 3m \le 0 \Leftrightarrow 0 \le m \le 3$.
b) TXĐ $D = \mathbb{R} \setminus \{-m\}$. $y' = \frac{m^2 - 4}{(x+m)^2}$. Để nghịch biến trên $(1; +\infty)$ cần: $\begin{cases} m^2 - 4 < 0 \\ -m \notin (1; +\infty) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \\ -m \le 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} -2 < m < 2 \\ m \ge -1 \end{cases} \Leftrightarrow -1 \le m < 2$.
c) $y' = 3[x^2 - 2mx + (m^2 - 1)]$. Hàm số luôn có 2 điểm cực trị với mọi $m$ vì $\Delta' = 1 > 0$. Vi-ét: $x_1 + x_2 = 2m, x_1 x_2 = m^2 - 1$. Ta có $x_1^2 + x_2^2 = (x_1+x_2)^2 - 2x_1 x_2 = 4m^2 - 2(m^2 - 1) = 2m^2 + 2 = 10 \Leftrightarrow 2m^2 = 8 \Leftrightarrow m = \pm 2$.
d) $y' = 4x^3 - 4mx = 4x(x^2 - m) = 0$. Hàm số có 3 điểm cực trị $\Leftrightarrow m > 0$. Các điểm cực trị là $A(0; 2m-1)$, $B(-\sqrt{m}; -m^2 + 2m - 1)$, $C(\sqrt{m}; -m^2 + 2m - 1)$. Tam giác $ABC$ cân tại $A$. $ABC$ vuông cân tại $A \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 0 \Leftrightarrow -\sqrt{m} \cdot \sqrt{m} + (-m^2)^2 = 0 \Leftrightarrow -m + m^4 = 0 \Leftrightarrow m(m^3 - 1) = 0 \Leftrightarrow m = 1$ (vì $m > 0$). Vậy $m = 1$.
Bài 4 (Đọc biểu thức đạo hàm $f'(x)$).
a) Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = (x - 2)^2 (x + 1)^3 (x - 5)$. Tìm số điểm cực trị và điểm cực đại, cực tiểu của hàm số $y = f(x)$.
b) Cho hàm số $y = f(x)$ có đạo hàm $f'(x) = x(x-1)^2(x+2)$. Tìm các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số hợp $g(x) = f(3 - x)$.
Xem lời giải Bài 4
a) $f'(x) = 0 \Leftrightarrow x = 2$ (bội 2), $x = -1$ (bội 3 - nghiệm lẻ), $x = 5$ (nghiệm đơn). $f'(x)$ không đổi dấu qua $x = 2$. $f'(x) > 0$ khi $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$; $f'(x) < 0$ khi $x \in (-1; 5)$. Kết luận: 2 điểm cực trị. Điểm cực đại $x = -1$, điểm cực tiểu $x = 5$.
b) $g'(x) = (3-x)' \cdot f'(3-x) = -f'(3-x)$. Xét $g'(x) > 0 \Leftrightarrow f'(3-x) < 0$. Ta có $f'(u) = u(u-1)^2(u+2) < 0 \Leftrightarrow u(u+2) < 0 \Leftrightarrow -2 < u < 0$. Thay $u = 3-x$: $-2 < 3-x < 0 \Leftrightarrow 3 < x < 5$. Vậy $g(x)$ đồng biến trên khoảng $(3; 5)$ và nghịch biến trên các khoảng $(-\infty; 3)$ và $(5; +\infty)$.
Bài 5 (Ứng dụng thực tế tổng hợp nhiều câu nhỏ).
a) Một nhà sản xuất thiết kế một vỏ hộp sữa dạng hình hộp chữ nhật không nắp có đáy là hình vuông cạnh $x$ (cm), chiều cao $h$ (cm) và thể tích chứa là $V = 216$ cm³. Tìm kích thước cạnh đáy $x$ để diện tích nguyên liệu làm hộp là nhỏ nhất.
b) Một xe khách chạy dịch vụ trên chặng đường $180$ km với vận tốc không đổi $v$ (km/h) ($40 \le v \le 90$). Chi phí nhiên liệu tính theo giờ là $F(v) = \frac{v^2}{200} + 18$ (nghìn đồng/giờ), chi phí khấu hao xe và cầu đường cố định là $162$ nghìn đồng cho mỗi giờ chạy. Xác định vận tốc $v$ để tổng chi phí cho toàn chuyến đi là nhỏ nhất.
c) (Tối ưu tầm nhìn) Một bức tranh nghệ thuật cao $1{,}8$ m được treo thẳng đứng trên tường sao cho mép dưới của bức tranh cao hơn mắt người quan sát là $1{,}2$ m. Hỏi người quan sát phải đứng cách tường một khoảng $x$ (mét) bao nhiêu để góc nhìn bức tranh $\theta$ là lớn nhất?
Xem lời giải Bài 5
a) $V = x^2 h = 216 \Rightarrow h = \frac{216}{x^2}$. Diện tích hộp không nắp $S(x) = x^2 + 4xh = x^2 + \frac{864}{x}$ ($x > 0$). $S'(x) = 2x - \frac{864}{x^2} = 0 \Leftrightarrow x^3 = 432 \Leftrightarrow x = 6\sqrt[3]{2} \approx 7{,}56$ cm.
b) Thời gian $t = \frac{180}{v}$ (giờ). Tổng chi phí 1 giờ là $F(v) + 162 = \frac{v^2}{200} + 180$. Tổng chi phí chuyến đi $C(v) = \left(\frac{v^2}{200} + 180\right)\frac{180}{v} = \frac{9}{10}v + \frac{32400}{v}$ với $v \in [40; 90]$. $C'(v) = \frac{9}{10} - \frac{32400}{v^2} = 0 \Leftrightarrow v^2 = 36000 \Leftrightarrow v = 60\sqrt{10} \approx 189{,}7$ km/h. Vì $v \in [40; 90]$ nên $C'(v) < 0$ với mọi $v \in [40; 90]$. Do đó chi phí nhỏ nhất đạt được khi vận tốc cực đại $v = 90$ km/h với chi phí $C(90) = 81 + 360 = 441$ nghìn đồng ($441.000$ VNĐ).
c) Mép dưới cao $1{,}2$ m, mép trên cao $1{,}2 + 1{,}8 = 3$ m so với tầm mắt. Góc nhìn $\theta = \arctan\left(\frac{3}{x}\right) - \arctan\left(\frac{1{,}2}{x}\right)$. Sử dụng công thức hiệu $\tan$: $\tan\theta = \frac{\frac{3}{x} - \frac{1{,}2}{x}}{1 + \frac{3}{x} \cdot \frac{1{,}2}{x}} = \frac{1{,}8 x}{x^2 + 3{,}6}$. Để $\theta$ lớn nhất thì $\tan\theta$ lớn nhất $\Leftrightarrow f(x) = \frac{x}{x^2 + 3{,}6}$ lớn nhất với $x > 0$. Ta có $f'(x) = \frac{3{,}6 - x^2}{(x^2 + 3{,}6)^2} = 0 \Leftrightarrow x = \sqrt{3{,}6} = \frac{3\sqrt{10}}{5} \approx 1{,}897$ m. Vậy người quan sát nên đứng cách tường khoảng $1{,}90$ m để có góc nhìn bức tranh lớn nhất.