CĐ1 - Bài 6: Phép vị tự

I. Định nghĩa phép vị tự

📌 Định nghĩa Phép vị tự

Cho điểm $O$ cố định và số thực $k \ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\vec{OM'} = k \vec{OM}$ được gọi là phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$, kí hiệu $V_{(O, k)}$.

$$V_{(O, k)}(M) = M' \Leftrightarrow \vec{OM'} = k \vec{OM}$$

$O$ là tâm vị tự, $k$ là tỉ số vị tự.
$V_{(O, 1)}$ là phép đồng nhất; $V_{(O, -1)}$ là phép đối xứng tâm $O$.

II. Tính chất của phép vị tự

⚡ Các tính chất cơ bản

Nếu $V_{(O, k)}(M) = M'$ và $V_{(O, k)}(N) = N'$ thì $\vec{M'N'} = k \vec{MN}$ và $M'N' = |k| MN$.
Biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự giữa chúng.
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Biến một góc thành góc bằng nó.
Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tỉ số đồng dạng là $|k|$.
Biến đường tròn bán kính $R$ thành đường tròn bán kính $R' = |k| R$.

III. Tâm vị tự của hai đường tròn

📌 Biểu thức tọa độ phép vị tự

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho điểm $I(x_0; y_0)$ và điểm $M(x; y)$. Ảnh $M'(x'; y') = V_{(I, k)}(M)$ thỏa mãn:

$$\begin{cases} x' - x_0 = k(x - x_0) \\ y' - y_0 = k(y - y_0) \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x' = kx + (1-k)x_0 \\ y' = ky + (1-k)y_0 \end{cases}$$

Đặc biệt với tâm $O(0; 0)$: $\begin{cases} x' = kx \\ y' = ky \end{cases}$.

🔷 Dạng 1: Tìm tọa độ ảnh của điểm

📌 Phương pháp giải

Dùng công thức $\vec{IM'} = k \vec{IM} \Rightarrow x' - x_I = k(x - x_I)$ và $y' - y_I = k(y - y_I)$.

🔍 Ví dụ 1

Cho $A(2; -4)$. Tìm tọa độ $A' = V_{(O, -2)}(A)$ với $O(0; 0)$.

💡 Xem lời giải

• $x' = -2(2) = -4$.

• $y' = -2(-4) = 8$.

• Vậy $A'(-4; 8)$.

🔍 Ví dụ 2

Cho $I(1; 2)$ và $B(3; 5)$. Tìm $B' = V_{(I, 3)}(B)$.

💡 Xem lời giải

• $x' - 1 = 3(3 - 1) = 6 \Rightarrow x' = 7$.

• $y' - 2 = 3(5 - 2) = 9 \Rightarrow y' = 11$.

• Vậy $B'(7; 11)$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho $M(-3; 6)$. Tìm $M' = V_{(O, 1/3)}(M)$.

💡 Xem lời giải

$M'(-1; 2)$.

✏️ Bài tập 1.2

Tìm $N$ biết $V_{(I, -2)}(N) = N'(5; 1)$ với $I(1; 3)$.

💡 Xem lời giải

$5 - 1 = -2(x_N - 1) \Rightarrow x_N = -1$; $1 - 3 = -2(y_N - 3) \Rightarrow y_N = 4 \Rightarrow N(-1; 4)$.

🔷 Dạng 2: Tìm phương trình ảnh của đường thẳng

📌 Phương pháp giải

• Đường thẳng $d'$ song song hoặc trùng với $d \Rightarrow$ có dạng $Ax + By + C' = 0$.

• Lấy 1 điểm $A \in d \Rightarrow A' = V_{(I, k)}(A) \in d'$ để tìm $C'$.

🔍 Ví dụ 1

Tìm phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d: 2x - y + 3 = 0$ qua $V_{(O, 2)}$ với $O(0; 0)$.

💡 Xem lời giải

• $x' = 2x \Rightarrow x = x'/2; y' = 2y \Rightarrow y = y'/2$.

• Thế vào $d$: $2(x'/2) - (y'/2) + 3 = 0 \Leftrightarrow x' - y'/2 + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x' - y' + 6 = 0$.

• Vậy $d': 2x - y + 6 = 0$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm phương trình ảnh của $d: 3x + 4y - 1 = 0$ qua $V_{(I, -3)}$ với $I(1; -1)$.

💡 Xem lời giải

• $d' // d \Rightarrow d': 3x + 4y + C' = 0$.

• Lấy $A(-1; 1) \in d$. $A' = V_{(I, -3)}(A) \Rightarrow x' - 1 = -3(-1 - 1) = 6 \Rightarrow x' = 7$. $y' + 1 = -3(1 + 1) = -6 \Rightarrow y' = -7 \Rightarrow A'(7; -7)$.

• Thế $A'$ vào $d'$: $3(7) + 4(-7) + C' = 0 \Leftrightarrow 21 - 28 + C' = 0 \Rightarrow C' = 7$.

• Vậy $d': 3x + 4y + 7 = 0$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tìm ảnh của $d: x - 2y + 4 = 0$ qua $V_{(O, -1/2)}$.

💡 Xem lời giải

$x = -2x', y = -2y' \Rightarrow -2x' + 4y' + 4 = 0 \Leftrightarrow x' - 2y' - 2 = 0$.

✏️ Bài tập 2.2

Khi nào ảnh của đường thẳng $d$ qua phép vị tự $V_{(O, k)}$ trùng với $d$?

💡 Xem lời giải

Khi đường thẳng $d$ đi qua tâm vị tự $O$.

🔷 Dạng 3: Tìm phương trình ảnh của đường tròn

📌 Phương pháp giải

Đường tròn $(C)$ có tâm $J(a; b)$, bán kính $R$.
Tâm ảnh $J' = V_{(O, k)}(J)$. Bán kính ảnh $R' = |k| R$.
Viết phương trình $(C'): (x - x_{J'})^2 + (y - y_{J'})^2 = (R')^2$.

🔍 Ví dụ 1

Cho đường tròn $(C): (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 4$. Tìm ảnh $(C')$ qua $V_{(O, 3)}$ với $O(0; 0)$.

💡 Xem lời giải

• Tâm $J(2; -1)$, bán kính $R = 2$.

• $J' = V_{(O, 3)}(J) = (6; -3)$. Bán kính $R' = |3| \times 2 = 6$.

• Phương trình $(C'): (x - 6)^2 + (y + 3)^2 = 36$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm $(C')$ là ảnh của $(C): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ qua $V_{(I, -2)}$ với $I(1; 1)$.

💡 Xem lời giải

• $J(2; -1), R = 3$.

• $x_{J'} - 1 = -2(2 - 1) = -2 \Rightarrow x_{J'} = -1$. $y_{J'} - 1 = -2(-1 - 1) = 4 \Rightarrow y_{J'} = 5 \Rightarrow J'(-1; 5)$.

• $R' = |-2| \times 3 = 6$.

• $(C'): (x + 1)^2 + (y - 5)^2 = 36$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tìm ảnh của $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 9$ qua $V_{(O, -3)}$.

💡 Xem lời giải

$J'( -3; -6), R' = 9 \Rightarrow (x+3)^2 + (y+6)^2 = 81$.

✏️ Bài tập 3.2

Diện tích đường tròn biến đổi thế nào qua $V_{(O, k)}$?

💡 Xem lời giải

Diện tích tăng lên $k^2$ lần ($S' = k^2 S$).

🔷 Dạng 4: Tìm tâm vị tự & Bài toán tập hợp điểm

📌 Phương pháp giải

Hai đường tròn bất kì luôn có 2 tâm vị tự (tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài) trừ trường hợp đồng tâm.

🔍 Ví dụ 1

Tìm tâm vị tự ngoài của hai đường tròn $(C_1): (x - 1)^2 + y^2 = 4$ và $(C_2): (x - 4)^2 + y^2 = 16$.

💡 Xem lời giải

• $I_1(1; 0), R_1 = 2; I_2(4; 0), R_2 = 4$.

• Tỉ số vị tự ngoài $k = \dfrac{R_2}{R_1} = 2$.

• Tâm vị tự $K$ thỏa mãn $\vec{KI_2} = 2 \vec{KI_1} \Leftrightarrow (4 - x_K) = 2(1 - x_K) \Leftrightarrow x_K = -2$.

• Vậy tâm vị tự ngoài là $K(-2; 0)$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tìm tâm vị tự trong của hai đường tròn.

💡 Xem lời giải

• Tỉ số vị tự trong $k = -\dfrac{R_2}{R_1} = -2$.

• $\vec{K'I_2} = -2 \vec{K'I_1} \Leftrightarrow (4 - x) = -2(1 - x) \Leftrightarrow 3x = 6 \Leftrightarrow x = 2$.

• Tâm vị tự trong là $K'(2; 0)$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Cho tam giác $ABC$ cố định, $M$ là trung điểm $BC$, $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$. Phép vị tự nào biến $A$ thành $M$?

💡 Xem lời giải

Phép vị tự tâm $G$ tỉ số $k = -1/2$ (vì $\vec{GM} = -1/2 \vec{GA}$).

✏️ Bài tập 4.2

Nếu $V_{(O, k)}$ biến $(C)$ thành $(C')$ thì hai đường tròn này có bao nhiêu tiếp tuyến chung đi qua tâm vị tự $O$?

💡 Xem lời giải

Các tiếp tuyến chung của hai đường tròn đều đi qua các tâm vị tự của chúng.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Phép vị tự (10 bài)

Bài 1. Định nghĩa phép vị tự tâm $O$ tỉ số $k$.

💡 Xem lời giải

$\vec{OM'} = k \vec{OM}$.

Bài 2. Nêu mối liên hệ khoảng cách giữa $M'N'$ và $MN$.

💡 Xem lời giải

$M'N' = |k| MN$.

Bài 3. Tìm ảnh của $A(2; 6)$ qua $V_{(O, 1/2)}$.

💡 Xem lời giải

$A'(1; 3)$.

Bài 4. Tìm ảnh của $B(-1; 3)$ qua $V_{(I, 2)}$ với $I(2; 1)$.

💡 Xem lời giải

$x' - 2 = 2(-3) = -6 \Rightarrow x' = -4$; $y' - 1 = 2(2) = 4 \Rightarrow y' = 5 \Rightarrow B'(-4; 5)$.

Bài 5. Tìm ảnh của $d: 3x - y + 2 = 0$ qua $V_{(O, -2)}$.

💡 Xem lời giải

$3(x/-2) - (y/-2) + 2 = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 4 = 0$.

Bài 6. Tìm ảnh của $(x-1)^2 + y^2 = 4$ qua $V_{(O, 3)}$.

💡 Xem lời giải

$(x-3)^2 + y^2 = 36$.

Bài 7. Tỉ số diện tích của hình ảnh so với hình ban đầu qua $V_{(O, k)}$ là bao nhiêu?

💡 Xem lời giải

Bằng $k^2$.

Bài 8. Phép vị tự có biến đường thẳng thành đường thẳng vuông góc không?

💡 Xem lời giải

Không, luôn biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.

Bài 9. Hai đường tròn không đồng tâm và không bằng nhau có mấy tâm vị tự?

💡 Xem lời giải

Có 2 tâm vị tự (tâm vị tự trong và tâm vị tự ngoài).

Bài 10. Phép vị tự có là phép dời hình khi nào?

💡 Xem lời giải

Khi $|k| = 1$ ($k = 1$ hoặc $k = -1$).

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Phép vị tự. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Cho điểm $O$ cố định và số thực $k \ne 0$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\vec{OM'} = k \vec{OM}$ được gọi là:

Câu 2:Nếu $V_{(O, k)}$ biến hai điểm $M, N$ lần lượt thành $M', N'$ thì khoảng cách $M'N'$ liên hệ với $MN$ theo công thức nào?

Câu 3:Phép vị tự $V_{(O, k)}$ biến đường tròn $(C)$ bán kính $R$ thành đường tròn $(C')$ có bán kính $R'$ bằng:

Câu 4:Trong mặt phẳng $Oxy$, tọa độ ảnh $M'$ của $M(x; y)$ qua phép vị tự tâm $O(0; 0)$ tỉ số $k$ là:

Câu 5:Phép vị tự tỉ số $k = 1$ chính là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phép vị tự

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới