CĐ1 - Bài 2: Phép tịnh tiến

I. Định nghĩa phép tịnh tiến

📌 Định nghĩa Phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng, cho vectơ $\vec{v}$. Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành điểm $M'$ sao cho $\vec{MM'} = \vec{v}$ được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$, kí hiệu $T_{\vec{v}}$.

$$T_{\vec{v}}(M) = M' \Leftrightarrow \vec{MM'} = \vec{v}$$

Vectơ $\vec{v}$ được gọi là vectơ tịnh tiến.
Phép tịnh tiến theo vectơ zero $T_{\vec{0}}$ chính là phép đồng nhất.

II. Tính chất của phép tịnh tiến

⚡ Các tính chất cơ bản

Bảo toàn khoảng cách: Nếu $T_{\vec{v}}(M) = M'$ và $T_{\vec{v}}(N) = N'$ thì $M'N' = MN$. (Phép dời hình)
Biến một đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
Biến một đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó.
Biến một tam giác thành tam giác bằng nó.
Biến một đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính ($R' = R$).

III. Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

📌 Biểu thức tọa độ

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{v} = (a; b)$ và điểm $M(x; y)$. Điểm $M'(x'; y') = T_{\vec{v}}(M)$ có tọa độ thỏa mãn:

$$\begin{cases} x' = x + a \\ y' = y + b \end{cases}$$

🔷 Dạng 1: Tìm tọa độ ảnh của điểm

📌 Phương pháp giải

Áp dụng $x' = x + a$ và $y' = y + b$. Muốn tìm điểm ban đầu $M$ khi biết $M'$, lấy $x = x' - a$ và $y = y' - b$.

🔍 Ví dụ 1

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{v} = (3; -2)$ và điểm $A(-1; 4)$. Tìm tọa độ $A' = T_{\vec{v}}(A)$.

💡 Xem lời giải

• $x' = -1 + 3 = 2$.

• $y' = 4 + (-2) = 2$.

• Vậy $A'(2; 2)$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tìm điểm $B$ sao cho $T_{\vec{v}}(B) = B'(5; 1)$.

💡 Xem lời giải

• $x = 5 - 3 = 2$.

• $y = 1 - (-2) = 3$.

• Vậy $B(2; 3)$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho $M(2; 5), \vec{v} = (-4; 1)$. Tìm $M' = T_{\vec{v}}(M)$.

💡 Xem lời giải

$M'(-2; 6)$.

✏️ Bài tập 1.2

Cho $A(1; 1), B(4; 5)$. Tìm ảnh của trung điểm $I$ của $AB$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (2; 3)$.

💡 Xem lời giải

$I(2.5; 3) \Rightarrow I'(4.5; 6)$.

🔷 Dạng 2: Tìm phương trình ảnh của đường thẳng

📌 Phương pháp giải

Cách 1 (Biểu thức tọa độ): Thay $x = x' - a, y = y' - b$ vào PT đường thẳng $d$.

Cách 2 (Hình học): $d'$ song song hoặc trùng $d \Rightarrow$ dạng $d': Ax + By + C' = 0$. Lấy 1 điểm $A \in d \Rightarrow A' = T_{\vec{v}}(A) \in d'$ để tính $C'$.

🔍 Ví dụ 1

Tìm phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d: 2x - y + 3 = 0$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (1; -3)$.

💡 Xem lời giải

• $x = x' - 1, y = y' + 3$.

• Thế vào $d$: $2(x' - 1) - (y' + 3) + 3 = 0 \Leftrightarrow 2x' - y' - 2 = 0$.

• Vậy $d': 2x - y - 2 = 0$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm ảnh của đường thẳng $d: x + 2y - 4 = 0$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (-2; 3)$.

💡 Xem lời giải

• $x = x' + 2, y = y' - 3$.

• Thế vào $d$: $(x' + 2) + 2(y' - 3) - 4 = 0 \Leftrightarrow x' + 2y' - 8 = 0$.

• Vậy $d': x + 2y - 8 = 0$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tìm ảnh của $d: 3x - 4y + 1 = 0$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (2; 2)$.

💡 Xem lời giải

$3(x-2) - 4(y-2) + 1 = 0 \Leftrightarrow 3x - 4y + 3 = 0$.

✏️ Bài tập 2.2

Khi nào $T_{\vec{v}}(d) = d$ (đường thẳng biến thành chính nó)?

💡 Xem lời giải

Khi $\vec{v} = \vec{0}$ hoặc $\vec{v}$ cùng phương với VTCP của đường thẳng $d$.

🔷 Dạng 3: Tìm phương trình ảnh của đường tròn

📌 Phương pháp giải

Xác định tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$ của $(C)$.
Tìm tâm $I' = T_{\vec{v}}(I)$. Bán kính $R' = R$.
Viết phương trình $(C'): (x - x_{I'})^2 + (y - y_{I'})^2 = R^2$.

🔍 Ví dụ 1

Cho đường tròn $(C): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 9$. Tìm $(C') = T_{\vec{v}}((C))$ với $\vec{v} = (3; 4)$.

💡 Xem lời giải

• $(C)$ có tâm $I(1; -2)$, bán kính $R = 3$.

• $I' = T_{\vec{v}}(I) = (1 + 3; -2 + 4) = (4; 2)$. Bán kính $R' = 3$.

• Phương trình $(C'): (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm ảnh của $(C): x^2 + y^2 - 4x + 2y - 4 = 0$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (-1; 2)$.

💡 Xem lời giải

• $I(2; -1)$, $R = \sqrt{2^2 + (-1)^2 - (-4)} = 3$.

• $I' = (2 - 1; -1 + 2) = (1; 1)$.

• $(C'): (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 9$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tìm ảnh của $(C): x^2 + y^2 = 16$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (5; -3)$.

💡 Xem lời giải

$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 = 16$.

✏️ Bài tập 3.2

Biết $T_{\vec{v}}$ biến $(x-1)^2 + y^2 = 4$ thành $(x-3)^2 + (y-2)^2 = 4$. Tìm $\vec{v}$.

💡 Xem lời giải

$I(1; 0), I'(3; 2) \Rightarrow \vec{v} = \vec{II'} = (2; 2)$.

🔷 Dạng 4: Bài toán tìm vectơ tịnh tiến

📌 Phương pháp giải

Tìm $\vec{v} = \vec{MM'} = (x' - x; y' - y)$. Dùng tịnh tiến dựng hình để tìm vị trí tối ưu.

🔍 Ví dụ 1

Tìm $\vec{v}$ biết $T_{\vec{v}}$ biến $A(1; 2)$ thành $A'(4; -1)$.

💡 Xem lời giải

$\vec{v} = \vec{AA'} = (4 - 1; -1 - 2) = (3; -3)$.

🔍 Ví dụ 2

Cho 2 đường thẳng song song $d_1: 2x - y + 1 = 0$ và $d_2: 2x - y + 5 = 0$. Tìm $\vec{v}$ có độ dài ngắn nhất sao cho $T_{\vec{v}}(d_1) = d_2$.

💡 Xem lời giải

• Vectơ có độ dài ngắn nhất vuông góc với 2 đường thẳng $\Rightarrow \vec{v} = k \vec{n}_{d_1} = k(2; -1)$.

• Lấy $A(0; 1) \in d_1 \Rightarrow A'(2k; 1-k) \in d_2$.

• Thế vào $d_2$: $2(2k) - (1-k) + 5 = 0 \Leftrightarrow 5k + 4 = 0 \Leftrightarrow k = -4/5$.

• Vậy $\vec{v} = (-8/5; 4/5)$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Tìm $\vec{v}$ biết $T_{\vec{v}}$ biến $d: x - 2y + 1 = 0$ thành $d': x - 2y - 4 = 0$ và $\vec{v}$ cùng phương với $\vec{u}(0; 1)$.

💡 Xem lời giải

$\vec{v} = (0; b)$. $A(-1; 0) \in d \Rightarrow A'(-1; b) \in d' \Rightarrow -1 - 2b - 4 = 0 \Leftrightarrow b = -5/2 \Rightarrow \vec{v} = (0; -5/2)$.

✏️ Bài tập 4.2

Hai phép tịnh tiến liên tiếp $T_{\vec{u}}$ và $T_{\vec{v}}$ tương đương với phép tịnh tiến nào?

💡 Xem lời giải

Tương đương với phép tịnh tiến $T_{\vec{u} + \vec{v}}$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Phép tịnh tiến (10 bài)

Bài 1. Định nghĩa phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$.

💡 Xem lời giải

$\vec{MM'} = \vec{v}$.

Bài 2. Viết biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến theo $\vec{v}(a; b)$.

💡 Xem lời giải

$x' = x + a, y' = y + b$.

Bài 3. Tìm ảnh của $A(3; -1)$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (1; 4)$.

💡 Xem lời giải

$A'(4; 3)$.

Bài 4. Tìm $B$ biết $T_{\vec{v}}(B) = B'(2; 5)$ với $\vec{v} = (-1; 3)$.

💡 Xem lời giải

$B(3; 2)$.

Bài 5. Tìm ảnh của $d: 2x - 5y + 1 = 0$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (2; -1)$.

💡 Xem lời giải

$2(x-2) - 5(y+1) + 1 = 0 \Leftrightarrow 2x - 5y - 8 = 0$.

Bài 6. Tìm ảnh của đường tròn $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ qua $T_{\vec{v}}$ với $\vec{v} = (3; 1)$.

💡 Xem lời giải

$(x-5)^2 + y^2 = 25$.

Bài 7. Tìm $\vec{v}$ biết $T_{\vec{v}}$ biến $M(1; 2)$ thành $M'(3; -1)$.

💡 Xem lời giải

$\vec{v} = (2; -3)$.

Bài 8. Phép tịnh tiến có làm thay đổi bán kính đường tròn không?

💡 Xem lời giải

Không, bán kính đường tròn ảnh giữ nguyên ($R' = R$).

Bài 9. Khi nào thì ảnh của một đường thẳng trùng với chính nó?

💡 Xem lời giải

Khi vectơ tịnh tiến $\vec{v}$ cùng phương với đường thẳng đó.

Bài 10. Phép tịnh tiến có bảo toàn diện tích của hình không?

💡 Xem lời giải

Có, vì đây là phép dời hình (bảo toàn khoảng cách và hình dạng).

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Phép tịnh tiến. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Phép tịnh tiến theo vectơ $\vec{v}$, kí hiệu $T_{\vec{v}}$, biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thỏa mãn đẳng thức vectơ nào?

Câu 2:Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{v} = (a; b)$ và $M(x; y)$. Tọa độ ảnh $M'(x'; y')$ của $M$ qua $T_{\vec{v}}$ là:

Câu 3:Khẳng định nào sau đây SAI đối với phép tịnh tiến?

Câu 4:Trong mặt phẳng $Oxy$, cho $\vec{v} = (2; -1)$ và $A(1; 3)$. Tọa độ điểm $A' = T_{\vec{v}}(A)$ là:

Câu 5:Phép tịnh tiến theo vectơ zero $T_{\vec{0}}$ chính là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phép tịnh tiến

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới