CĐ1 - Bài 1: Phép biến hình

I. Khái niệm phép biến hình

📌 Định nghĩa Phép biến hình

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm $M'$ duy nhất của mặt phẳng đó được gọi là phép biến hình trong mặt phẳng.

Điểm $M'$ gọi là ảnh của điểm $M$ qua phép biến hình $f$, kí hiệu $M' = f(M)$.
Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính nó gọi là phép đồng nhất.

II. Ảnh của một hình qua phép biến hình

⚡ Ảnh của một hình (H)

Giả sử $f$ là một phép biến hình và $(H)$ là một hình trong mặt phẳng. Tập hợp $(H')$ gồm tất cả các điểm $M' = f(M)$ với $M \in (H)$ được gọi là ảnh của hình $(H)$ qua phép biến hình $f$, kí hiệu $(H') = f((H))$.

🔷 Dạng 1: Xác định ảnh của một điểm

📌 Phương pháp giải

Áp dụng quy tắc của phép biến hình $f$ cho tọa độ hoặc tính chất hình học của điểm $M$.

🔍 Ví dụ 1

Trong mặt phẳng $Oxy$, xét phép biến hình $f$ biến $M(x; y)$ thành $M'(x + 2; y - 3)$. Tìm tọa độ ảnh $A'$ của điểm $A(1; 4)$ qua $f$.

💡 Xem lời giải

• Hoành độ của $A'$: $x' = 1 + 2 = 3$.

• Tung độ của $A'$: $y' = 4 - 3 = 1$.

• Vậy $A'(3; 1)$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tìm tọa độ điểm $B$ biết ảnh của nó qua $f$ là $B'(0; 5)$.

💡 Xem lời giải

• $x + 2 = 0 \Leftrightarrow x = -2$.

• $y - 3 = 5 \Leftrightarrow y = 8$.

• Vậy $B(-2; 8)$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Phép biến hình $f$ biến $M(x; y)$ thành $M'(-x; y)$. Tìm ảnh của $C(3; -2)$ qua $f$.

💡 Xem lời giải

$C'(-3; -2)$.

✏️ Bài tập 1.2

Ở Bài tập 1.1, phép biến hình $f$ chính là phép chiếu/đối xứng nào quen thuộc?

💡 Xem lời giải

Phép đối xứng trục Oy.

🔷 Dạng 2: Xác định ảnh của đường thẳng & đường tròn

📌 Phương pháp giải

Biểu diễn $x, y$ theo $x', y'$.
Thế $x, y$ vào phương trình hình $(H)$ để thu được phương trình của $(H')$.

🔍 Ví dụ 1

Cho phép biến hình $f: M(x; y) \mapsto M'(x + 1; y - 2)$. Tìm phương trình đường thẳng $d'$ là ảnh của $d: 2x - 3y + 5 = 0$ qua $f$.

💡 Xem lời giải

• $x' = x + 1 \Rightarrow x = x' - 1$.

• $y' = y - 2 \Rightarrow y = y' + 2$.

• Thế vào $d$: $2(x' - 1) - 3(y' + 2) + 5 = 0 \Leftrightarrow 2x' - 3y' - 3 = 0$.

• Vậy $d': 2x - 3y - 3 = 0$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tìm phương trình đường tròn $(C')$ là ảnh của $(C): x^2 + y^2 = 4$ qua $f$.

💡 Xem lời giải

• Tâm $(C)$ là $I(0; 0)$, bán kính $R = 2$.

• Ảnh tâm $I' = f(I) = (1; -2)$. Bán kính $R' = 2$.

• Phương trình $(C'): (x - 1)^2 + (y + 2)^2 = 4$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tìm ảnh của $d: x + y - 1 = 0$ qua phép biến hình $f(x; y) = (2x; 2y)$.

💡 Xem lời giải

$x = x'/2, y = y'/2 \Rightarrow x'/2 + y'/2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x' + y' - 2 = 0$.

✏️ Bài tập 2.2

Ảnh của đường thẳng song song với $Ox$ qua phép chiếu vuông góc lên $Ox$ là gì?

💡 Xem lời giải

Toàn bộ đường thẳng $Ox$.

🔷 Dạng 3: Điểm cố định (bất động) của phép biến hình

📌 Phương pháp giải

Điểm $M(x; y)$ là điểm bất động của phép biến hình $f$ nếu $f(M) = M$, tức là giải hệ $\begin{cases} x' = x \\ y' = y \end{cases}$.

🔍 Ví dụ 1

Tìm điểm cố định của phép biến hình $f: M(x; y) \mapsto M'(2x - 1; 3y + 2)$.

💡 Xem lời giải

Giải hệ: $\begin{cases} 2x - 1 = x \\ 3y + 2 = y \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases} \Rightarrow M(1; -1)$.

🔍 Ví dụ 2

Phép tịnh tiến $\vec{v} = (2; 3)$ có điểm cố định nào không?

💡 Xem lời giải

$\begin{cases} x + 2 = x \\ y + 3 = y \end{cases}$ (vô nghiệm) $\Rightarrow$ Không có điểm cố định nào.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tìm điểm bất động của $f(x; y) = (-x; -y)$.

💡 Xem lời giải

$-x = x \Rightarrow x = 0; -y = y \Rightarrow y = 0 \Rightarrow O(0; 0)$.

✏️ Bài tập 3.2

Tập hợp các điểm bất động của phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$ là gì?

💡 Xem lời giải

Toàn bộ các điểm nằm trên đường thẳng $d$.

🔷 Dạng 4: Phép chiếu vuông góc lên Ox, Oy

📌 Phương pháp giải

• Chiếu lên $Ox$: $M(x; y) \mapsto M'(x; 0)$.

• Chiếu lên $Oy$: $M(x; y) \mapsto M''(0; y)$.

🔍 Ví dụ 1

Cho $A(3; 5)$. Tìm tọa độ hình chiếu của $A$ lên $Ox$ và $Oy$.

💡 Xem lời giải

• Trên $Ox$: $A_1(3; 0)$.

• Trên $Oy$: $A_2(0; 5)$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm ảnh của đường tròn $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 1$ qua phép chiếu vuông góc lên $Ox$.

💡 Xem lời giải

Ảnh là đoạn thẳng $[1; 3]$ trên trục hoành $Ox$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Cho $M(-4; 7)$. Tìm tọa độ $M'$ là chiếu của $M$ lên $Oy$.

💡 Xem lời giải

$M'(0; 7)$.

✏️ Bài tập 4.2

Phép chiếu vuông góc có phải là một phép dời hình (bảo toàn khoảng cách) không?

💡 Xem lời giải

Không, vì khoảng cách giữa hai điểm sau khi chiếu bị giảm đi (hoặc giữ nguyên nếu đoạn thẳng song song với trục chiếu).

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Phép biến hình (10 bài)

Bài 1. Định nghĩa phép biến hình trong mặt phẳng.

💡 Xem lời giải

Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ với một điểm $M'$ duy nhất.

Bài 2. Phép đồng nhất là gì?

💡 Xem lời giải

Phép biến hình biến mỗi điểm thành chính nó.

Bài 3. Cho $f(x; y) = (x + 3; y - 1)$. Tìm ảnh của $A(2; 5)$.

💡 Xem lời giải

$A'(5; 4)$.

Bài 4. Cho $f(x; y) = (x + 3; y - 1)$. Tìm $B$ biết $B'(1; 2)$.

💡 Xem lời giải

$B(-2; 3)$.

Bài 5. Tìm ảnh của $d: 3x - y + 1 = 0$ qua $f(x; y) = (x + 1; y - 2)$.

💡 Xem lời giải

$3(x-1) - (y+2) + 1 = 0 \Leftrightarrow 3x - y - 4 = 0$.

Bài 6. Tìm điểm bất động của $f(x; y) = (3x - 4; 2y + 1)$.

💡 Xem lời giải

$3x - 4 = x \Rightarrow x = 2; 2y + 1 = y \Rightarrow y = -1 \Rightarrow M(2; -1)$.

Bài 7. Tìm hình chiếu của $P(-3; 8)$ lên $Ox$.

💡 Xem lời giải

$P'(-3; 0)$.

Bài 8. Tìm hình chiếu của $Q(4; -5)$ lên $Oy$.

💡 Xem lời giải

$Q'(0; -5)$.

Bài 9. Phép chiếu vuông góc lên $Ox$ có biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng không?

💡 Xem lời giải

Có (hoặc thành 1 điểm nếu đoạn thẳng vuông góc với $Ox$).

Bài 10. Thế nào là ảnh của hình $(H)$ qua phép biến hình $f$?

💡 Xem lời giải

Tập hợp tất cả các ảnh của từng điểm $M \in (H)$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Phép biến hình. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:Quy tắc đặt tương ứng mỗi điểm $M$ của mặt phẳng với một điểm $M'$ duy nhất của mặt phẳng đó được gọi là:

Câu 2:Nếu phép biến hình $F$ biến điểm $M$ thành điểm $M'$ thì điểm $M'$ được gọi là:

Câu 3:Phép biến hình biến mỗi điểm $M$ thành chính nó được gọi là:

Câu 4:Phép chiếu vuông góc lên đường thẳng $d$ biến điểm $M$ thành điểm $H$. Khi đó $H$ là:

Câu 5:Cho $M(x; y)$. Phép chiếu vuông góc lên trục hoành $Ox$ biến $M$ thành điểm $M'$ có tọa độ là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phép biến hình

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới