🛠️ Công cụ

Ôn tập Chương 9: Đạo hàm

Tổng hợp toàn bộ kiến thức trọng tâm về định nghĩa, quy tắc tính đạo hàm và các ứng dụng thực tế trong chương trình Toán 11.

📖 Lý thuyết ✍️ Dạng toán & bài tập 🎯 Trắc nghiệm

📚 Tổng ôn kiến thức Chương IX: Đạo hàm

I. Hệ thống kiến thức trọng tâm

📋 1. Định nghĩa và Ý nghĩa của đạo hàm
  • Định nghĩa: f′(x0)=lim⁡x→x0f(x)−f(x0)x−x0=lim⁡Δx→0ΔyΔxf'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}.
  • Ý nghĩa hình học: Đạo hàm f′(x0)f'(x_0) là hệ số góc kk của tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại điểm M(x0;f(x0))M(x_0; f(x_0)).
  • Ý nghĩa vật lý:
    • Vận tốc tức thời: v(t)=s′(t)v(t) = s'(t).
    • Gia tốc tức thời: a(t)=v′(t)=s′′(t)a(t) = v'(t) = s''(t).
    • Cường độ dòng điện tức thời: I(t)=Q′(t)I(t) = Q'(t).
⚡ 2. Các quy tắc tính đạo hàm

Cho u(x),v(x)u(x), v(x) là các hàm số có đạo hàm:

  • (u±v)′=u′±v′(u \pm v)' = u' \pm v'
  • (u⋅v)′=u′v+uv′(u \cdot v)' = u'v + uv'
  • (uv)′=u′v−uv′v2\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} (v≠0v \neq 0)
  • Hệ quả: (ku)′=ku′(ku)' = ku'; (1v)′=−v′v2\left(\frac{1}{v}\right)' = -\frac{v'}{v^2}.
  • Đạo hàm hàm hợp: [f(g(x))]′=f′(u)⋅g′(x)[f(g(x))]' = f'(u) \cdot g'(x) với u=g(x)u = g(x).
⚡ 3. Bảng đạo hàm các hàm số sơ cấp
Hàm số sơ cấpĐạo hàmHàm hợp u(x)u(x)Đạo hàm
y=cy = cy′=0y' = 0
y=xny = x^ny′=n⋅xn−1y' = n \cdot x^{n-1}y=uny = u^ny′=n⋅un−1⋅u′y' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'
y=xy = \sqrt{x}y′=12xy' = \frac{1}{2\sqrt{x}}y=uy = \sqrt{u}y′=u′2uy' = \frac{u'}{2\sqrt{u}}
y=sin⁡xy = \sin xy′=cos⁡xy' = \cos xy=sin⁡uy = \sin uy′=u′⋅cos⁡uy' = u' \cdot \cos u
y=cos⁡xy = \cos xy′=−sin⁡xy' = -\sin xy=cos⁡uy = \cos uy′=−u′⋅sin⁡uy' = -u' \cdot \sin u
y=tan⁡xy = \tan xy′=1cos⁡2xy' = \frac{1}{\cos^2 x}y=tan⁡uy = \tan uy′=u′cos⁡2uy' = \frac{u'}{\cos^2 u}
y=cot⁡xy = \cot xy′=−1sin⁡2xy' = -\frac{1}{\sin^2 x}y=cot⁡uy = \cot uy′=−u′sin⁡2uy' = -\frac{u'}{\sin^2 u}

II. Các dạng bài tập điển hình

📌 Dạng 1: Tính đạo hàm bằng công thức

Phương pháp:

  • Sử dụng bảng đạo hàm và các quy tắc tính đạo hàm (tổng, tích, thương).
  • Nhận diện hàm hợp để áp dụng quy tắc nhân thêm u′(x)u'(x).
  • Rút gọn biểu thức trước và sau khi đạo hàm để có kết quả tối giản.
🔍 Ví dụ 1: Tính đạo hàm hàm đa thức và phân thức

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=x4−2x2+5y = x^4 - 2x^2 + 5 b) y=3x−2x+1y = \frac{3x - 2}{x + 1}

💡 Xem lời giải

a) y′=(x4)′−(2x2)′+(5)′=4x3−4xy' = (x^4)' - (2x^2)' + (5)' = 4x^3 - 4x. b) y′=(3x−2)′(x+1)−(x+1)′(3x−2)(x+1)2=3(x+1)−1(3x−2)(x+1)2=5(x+1)2y' = \frac{(3x-2)'(x+1) - (x+1)'(3x-2)}{(x+1)^2} = \frac{3(x+1) - 1(3x-2)}{(x+1)^2} = \frac{5}{(x+1)^2}.

📌 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến

Phương pháp:

  • Tại điểm M(x0;y0)M(x_0; y_0): y=f′(x0)(x−x0)+y0y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0.
  • Biết hệ số góc kk:
    1. Giải phương trình f′(x0)=kf'(x_0) = k để tìm hoành độ tiếp điểm x0x_0.
    2. Tính tung độ y0=f(x0)y_0 = f(x_0).
    3. Viết phương trình tiếp tuyến.
🔍 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến song song với đường thẳng

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=x2−3x+1y = x^2 - 3x + 1 biết tiếp tuyến song song với đường thẳng d:y=x−5d: y = x - 5.

💡 Xem lời giải
  • Vì tiếp tuyến song song với dd nên hệ số góc k=1k = 1.
  • Ta có y′=2x−3y' = 2x - 3.
  • Giải phương trình y′(x0)=1  ⟺  2x0−3=1  ⟺  x0=2y'(x_0) = 1 \iff 2x_0 - 3 = 1 \iff x_0 = 2.
  • Với x0=2  ⟹  y0=22−3(2)+1=−1x_0 = 2 \implies y_0 = 2^2 - 3(2) + 1 = -1.
  • Phương trình tiếp tuyến: y=1(x−2)−1  ⟺  y=x−3y = 1(x - 2) - 1 \iff y = x - 3.
🔍 Ví dụ 3: Đạo hàm hàm lượng giác và hàm hợp

Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=cos⁡3(2x)y = \cos^3(2x) b) y=xsin⁡x+cos⁡xy = x \sin x + \cos x

💡 Xem lời giải

a) Áp dụng quy tắc đạo hàm hàm hợp liên tiếp: y′=3cos⁡2(2x)⋅(cos⁡(2x))′=3cos⁡2(2x)⋅(−sin⁡(2x)⋅2)=−6sin⁡(2x)cos⁡2(2x)y' = 3\cos^2(2x) \cdot (\cos(2x))' = 3\cos^2(2x) \cdot (-\sin(2x) \cdot 2) = -6\sin(2x)\cos^2(2x). b) Áp dụng đạo hàm của tích: y′=(x′sin⁡x+x(sin⁡x)′)+(cos⁡x)′=1⋅sin⁡x+xcos⁡x−sin⁡x=xcos⁡xy' = (x'\sin x + x(\sin x)') + (\cos x)' = 1\cdot\sin x + x\cos x - \sin x = x\cos x.

🔍 Ví dụ 4: Ứng dụng đạo hàm giải phương trình

Cho hàm số f(x)=x33−2x2+3x+1f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. Giải phương trình f′(x)=0f'(x) = 0 và bất phương trình f′(x)>0f'(x) > 0.

💡 Xem lời giải
  • Ta có: f′(x)=x2−4x+3f'(x) = x^2 - 4x + 3.
  • Giải phương trình: f′(x)=0  ⟺  x2−4x+3=0  ⟺  x=1f'(x) = 0 \iff x^2 - 4x + 3 = 0 \iff x = 1 hoặc x=3x = 3.
  • Giải bất phương trình: f′(x)>0  ⟺  x2−4x+3>0  ⟺  x<1f'(x) > 0 \iff x^2 - 4x + 3 > 0 \iff x < 1 hoặc x>3x > 3.
🔍 Ví dụ 5: Ứng dụng vật lý

Một vật chuyển động theo phương trình s(t)=t3−3t2+5ts(t) = t^3 - 3t^2 + 5t (tt tính bằng giây, ss tính bằng mét). Tính gia tốc của chuyển động khi vận tốc đạt 55 m/s.

💡 Xem lời giải
  • Vận tốc: v(t)=s′(t)=3t2−6t+5v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5.
  • Giải v(t)=5  ⟺  3t2−6t+5=5  ⟺  3t2−6t=0  ⟺  t=0v(t) = 5 \iff 3t^2 - 6t + 5 = 5 \iff 3t^2 - 6t = 0 \iff t = 0 hoặc t=2t = 2.
  • Gia tốc: a(t)=v′(t)=s′′(t)=6t−6a(t) = v'(t) = s''(t) = 6t - 6.
  • Tại t=0t = 0: a(0)=−6 m/s2a(0) = -6 \text{ m/s}^2.
  • Tại t=2t = 2: a(2)=6(2)−6=6 m/s2a(2) = 6(2) - 6 = 6 \text{ m/s}^2.

III. Trắc nghiệm tổng ôn Chương 9

Câu 1:Đạo hàm của hàm số $y = \sin(2x) + x^2$ là:
Câu 2:Hệ số góc của tiếp tuyến đồ thị hàm số $y = \frac{x-1}{x+1}$ tại điểm có hoành độ $x=0$ là:
Đúng / Sai
Câu 3Cho hàm số $f(x) = \sqrt{x^2+1}$. Xét các mệnh đề sau:
a)Hàm số xác định trên toàn bộ tập số thực $mathbb{R}$.
b)Đạo hàm cấp một của hàm số là $f'(x) = rac{x}{sqrt{x^2+1}}$.
c)Đạo hàm cấp một của hàm số tại $x=0$ bằng 1.
d)Hàm số có đạo hàm tại mọi điểm $x in mathbb{R}$.
Câu 4:Một vật chuyển động có phương trình $s(t) = t^2 + 4t + 1$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t = 3$ s là bao nhiêu (m/s)?

IV. Bài tập tự luận luyện tập

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương 9

Bài 1. Tính đạo hàm hàm số hợp: Tính đạo hàm của các hàm số sau: a) y=(x3−2x+1)5y = (x^3 - 2x + 1)^5 b) y=cos⁡xy = \sqrt{\cos x} c) y=tan⁡2xy = \tan^2 x

Bài 2. Phương trình tiếp tuyến phức hợp: Cho hàm số y=13x3−x2+2y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2 có đồ thị (C)(C). a) Viết phương trình tiếp tuyến của (C)(C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của đạo hàm cấp hai y′′y''. b) Tìm các điểm trên (C)(C) sao cho tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng y=−13x+2y = -\frac{1}{3}x + 2.

Bài 3. Bài toán thực tế - Vận tốc và Gia tốc: Một vật bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với phương trình quãng đường s(t)=2t2+5ts(t) = 2t^2 + 5t (t≥0t \geq 0). a) Tìm vận tốc của vật sau 4 giây. b) Tìm gia tốc của vật. Gia tốc này có thay đổi theo thời gian không?

Bài 4. Ứng dụng đạo hàm giải bất phương trình: Cho hàm số f(x)=x−1x+2f(x) = \frac{x-1}{x+2}. Tìm xx để f′(x)≥1f'(x) \geq 1.

Bài 5. Đạo hàm và bài toán dân số vi khuẩn: Số lượng vi khuẩn trong một môi trường nuôi cấy sau tt giờ được xác định bởi công thức: N(t)=500+200tt2+10N(t) = 500 + \frac{200t}{t^2 + 10}. a) Tìm tốc độ thay đổi của số lượng vi khuẩn tại thời điểm t=2t = 2 giờ. b) Sau một thời gian rất dài (t→∞t \to \infty), số lượng vi khuẩn sẽ tiến về bao nhiêu con? c) Tại thời điểm nào thì số lượng vi khuẩn đạt mức tăng trưởng nhanh nhất (tốc độ thay đổi là cực đại)?

Bài 6. Viết PTTT đi qua một điểm (Nâng cao): Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C):y=−x2+2x(C): y = -x^2 + 2x, biết tiếp tuyến đi qua điểm A(0;4)A(0; 4).

Bài 7. Đạo hàm cấp cao: Cho hàm số y=1x+1y = \frac{1}{x+1}. Tính đạo hàm cấp nn của hàm số và suy ra giá trị của y(5)(1)y^{(5)}(1).

Bài 8. Đạo hàm và phương trình lượng giác: Cho hàm số f(x)=sin⁡2x−cos⁡2xf(x) = \sin^2 x - \cos 2x. Giải phương trình f′(x)=0f'(x) = 0.

Bài 9. Biện luận tham số mm: Tìm tất cả các giá trị của tham số mm để hàm số y=13x3−mx2+(2m−1)x−3y = \frac{1}{3}x^3 - mx^2 + (2m - 1)x - 3 có đạo hàm y′≥0y' \ge 0 với mọi x∈Rx \in \mathbb{R}.

Bài 10. Chứng minh hệ thức đạo hàm: Cho hàm số y=xsin⁡xy = x\sin x. Chứng minh rằng x2y′′−2xy′+(x2+2)y=0x^2 y'' - 2xy' + (x^2 + 2)y = 0.

💡 Đóng/Mở Đáp án chi tiết

Bài 1: a) y′=5(x3−2x+1)4⋅(3x2−2)y' = 5(x^3 - 2x + 1)^4 \cdot (3x^2 - 2). b) y′=−sin⁡x2cos⁡xy' = \frac{-\sin x}{2\sqrt{\cos x}}. c) y′=2tan⁡x⋅1cos⁡2xy' = 2\tan x \cdot \frac{1}{\cos^2 x}.

Bài 2: y′=x2−2xy' = x^2 - 2x; y′′=2x−2y'' = 2x - 2. a) y′′=0  ⟺  x=1  ⟹  y=4/3y'' = 0 \iff x = 1 \implies y = 4/3. Hệ số góc k=y′(1)=−1k = y'(1) = -1. PTTT: y=−1(x−1)+4/3  ⟺  y=−x+7/3y = -1(x-1) + 4/3 \iff y = -x + 7/3. b) Tiếp tuyến vuông góc với y=−1/3x+2  ⟹  k=3y = -1/3x + 2 \implies k = 3. Giải x2−2x=3  ⟺  x=3x^2 - 2x = 3 \iff x = 3 or x=−1x = -1.

  • Với x=3,y=2x=3, y=2: PTTT y=3(x−3)+2  ⟺  y=3x−7y = 3(x-3)+2 \iff y=3x-7.
  • Với x=−1,y=2/3x=-1, y=2/3: PTTT y=3(x+1)+2/3  ⟺  y=3x+11/3y = 3(x+1)+2/3 \iff y=3x+11/3.

Bài 3: a) s′(t)=4t+5s'(t) = 4t + 5. Tại t=4t=4, v=4(4)+5=21v = 4(4) + 5 = 21 m/s. b) s′′(t)=4s''(t) = 4. Gia tốc là hằng số 44 m/s², không đổi theo thời gian.

Bài 4: f′(x)=1(x+2)−1(x−1)(x+2)2=3(x+2)2f'(x) = \frac{1(x+2) - 1(x-1)}{(x+2)^2} = \frac{3}{(x+2)^2}. f′(x)≥1  ⟺  3(x+2)2≥1  ⟺  (x+2)2≤3  ⟺  −3≤x+2≤3f'(x) \geq 1 \iff \frac{3}{(x+2)^2} \geq 1 \iff (x+2)^2 \leq 3 \iff -\sqrt{3} \leq x+2 \leq \sqrt{3}.   ⟺  −2−3≤x≤−2+3\iff -2-\sqrt{3} \leq x \leq -2+\sqrt{3} (loại x=−2x=-2).

Bài 5: a) N′(t)=200(t2+10)−200t(2t)(t2+10)2=2000−200t2(t2+10)2N'(t) = \frac{200(t^2+10) - 200t(2t)}{(t^2+10)^2} = \frac{2000 - 200t^2}{(t^2+10)^2}. Tại t=2t=2: N′(2)=2000−800142≈6,12N'(2) = \frac{2000 - 800}{14^2} \approx 6,12 con/giờ. b) Khi t→∞t \to \infty, 200tt2+10→0\frac{200t}{t^2+10} \to 0. Vậy số lượng vi khuẩn tiến về 500 con. c) Tốc độ tăng trưởng nhanh nhất khi N′(t)N'(t) cực đại. Xét hàm N′′(t)=0N''(t) = 0 để tìm cực trị của vận tốc. Sau khi tính toán và khảo sát, thời điểm tốc độ thay đổi cực đại là lúc số lượng vi khuẩn bắt đầu có dấu hiệu giảm tốc (liên quan đến đạo hàm cấp 2).

Bài 6:

  • Gọi tiếp điểm là M(x0;y0)M(x_0; y_0). Tiếp tuyến có dạng: y=(−2x0+2)(x−x0)−x02+2x0y = (-2x_0+2)(x - x_0) - x_0^2 + 2x_0.
  • Vì tiếp tuyến đi qua A(0;4)A(0; 4) nên: 4=(−2x0+2)(0−x0)−x02+2x0  ⟹  4=2x02−2x0−x02+2x0  ⟹  x02=4  ⟹  x0=±24 = (-2x_0+2)(0 - x_0) - x_0^2 + 2x_0 \implies 4 = 2x_0^2 - 2x_0 - x_0^2 + 2x_0 \implies x_0^2 = 4 \implies x_0 = \pm 2.
  • Với x0=2  ⟹  y=−2(x−2)  ⟹  y=−2x+4x_0 = 2 \implies y = -2(x - 2) \implies y = -2x + 4.
  • Với x0=−2  ⟹  y=6(x+2)−8  ⟹  y=6x+4x_0 = -2 \implies y = 6(x + 2) - 8 \implies y = 6x + 4.

Bài 7:

  • y=(x+1)−1  ⟹  y′=−1(x+1)−2  ⟹  y′′=1⋅2(x+1)−3  ⟹  y′′′=−1⋅2⋅3(x+1)−4y = (x+1)^{-1} \implies y' = -1(x+1)^{-2} \implies y'' = 1\cdot 2(x+1)^{-3} \implies y''' = -1\cdot 2\cdot 3(x+1)^{-4}.
  • Quy luật: y(n)=(−1)n⋅n!(x+1)n+1y^{(n)} = \frac{(-1)^n \cdot n!}{(x+1)^{n+1}}.
  • Áp dụng: y(5)(x)=(−1)5⋅5!(x+1)6=−120(x+1)6y^{(5)}(x) = \frac{(-1)^5 \cdot 5!}{(x+1)^6} = \frac{-120}{(x+1)^6}. Tại x=1  ⟹  y(5)(1)=−12026=−12064=−158x=1 \implies y^{(5)}(1) = \frac{-120}{2^6} = \frac{-120}{64} = -\frac{15}{8}.

Bài 8:

  • f(x)=sin⁡2x−cos⁡2x=1−cos⁡2x2−cos⁡2x=12−32cos⁡2xf(x) = \sin^2 x - \cos 2x = \frac{1 - \cos 2x}{2} - \cos 2x = \frac{1}{2} - \frac{3}{2}\cos 2x.
  • f′(x)=−32⋅(−sin⁡2x⋅2)=3sin⁡2xf'(x) = -\frac{3}{2} \cdot (-\sin 2x \cdot 2) = 3\sin 2x.
  • f′(x)=0  ⟺  3sin⁡2x=0  ⟺  sin⁡2x=0  ⟺  2x=kπ  ⟺  x=kπ2f'(x) = 0 \iff 3\sin 2x = 0 \iff \sin 2x = 0 \iff 2x = k\pi \iff x = \frac{k\pi}{2} (k∈Zk \in \mathbb{Z}).

Bài 9:

  • y′=x2−2mx+(2m−1)y' = x^2 - 2mx + (2m - 1).
  • Để y′≥0,∀x∈R  ⟺  Δ′=m2−(2m−1)≤0  ⟺  m2−2m+1≤0  ⟺  (m−1)2≤0y' \ge 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \Delta' = m^2 - (2m - 1) \le 0 \iff m^2 - 2m + 1 \le 0 \iff (m-1)^2 \le 0.
  • Vì (m−1)2≥0(m-1)^2 \ge 0 với mọi mm nên (m−1)2≤0  ⟺  m−1=0  ⟺  m=1(m-1)^2 \le 0 \iff m - 1 = 0 \iff m = 1.
  • Vậy m=1m = 1 là giá trị cần tìm.

Bài 10:

  • y′=sin⁡x+xcos⁡xy' = \sin x + x\cos x.
  • y′′=cos⁡x+(cos⁡x−xsin⁡x)=2cos⁡x−xsin⁡xy'' = \cos x + (\cos x - x\sin x) = 2\cos x - x\sin x.
  • Thay vào vế trái (VT): VT=x2(2cos⁡x−xsin⁡x)−2x(sin⁡x+xcos⁡x)+(x2+2)(xsin⁡x)\text{VT} = x^2(2\cos x - x\sin x) - 2x(\sin x + x\cos x) + (x^2 + 2)(x\sin x) =2x2cos⁡x−x3sin⁡x−2xsin⁡x−2x2cos⁡x+x3sin⁡x+2xsin⁡x=0= 2x^2\cos x - x^3\sin x - 2x\sin x - 2x^2\cos x + x^3\sin x + 2x\sin x = 0 (vế phải).
  • Vậy đẳng thức được chứng minh.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Không giới hạn lần làm
📑 Mục lục