Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1: a) $y' = -8x^3 + 9x^2 - 1$. b) $y' = x^2 - 5x + 4$.

Bài 2: a) Triển bậc phân nhánh tổng: $y = 2x^3 - x^2 + 6x - 3 \implies y' = 6x^2 - 2x + 6$. b) Tính chu vi tử chéo tích: $y' = \frac{4(3) - (-1)(2)}{(2x + 3)^2} = \frac{14}{(2x + 3)^2}$. c) $y' = \frac{(2x-2)(x-1) - (x^2-2x+3)}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x - 1}{(x-1)^2}$.

Bài 3: a) Lõm hàm đa hợp: $y' = 4(2x^3 - 5x + 1)^3 \cdot (6x^2 - 5)$. b) Vi phân cấu trúc đa hợp chia cành: $y' = 3\left( \frac{2x+1}{x-1} \right)^2 \cdot \left( \frac{-3}{(x-1)^2} \right) = \frac{-9(2x+1)^2}{(x-1)^4}$.

Bài 4: a) $y' = \frac{2x+4}{2\sqrt{x^2+4x+5}} = \frac{x+2}{\sqrt{x^2+4x+5}}$. b) Quy thức chuỗi liên kết nhân $u \cdot v$: $u' = 1, v' = \frac{1}{\sqrt{2x-1}}$. $y' = 1\cdot\sqrt{2x-1} + (x+1)\cdot\frac{1}{\sqrt{2x-1}} = \frac{2x-1+x+1}{\sqrt{2x-1}} = \frac{3x}{\sqrt{2x-1}}$.

Bài 5: a) Quy biên chuỗi tích $uv$: $y' = 1 \cdot \sin x + x \cdot \cos x = \sin x + x\cos x$. b) Lượng tính chuỗi kép màng bọc: $(sin^3 u)' = 3 \sin^2 u \cdot (\sin u)'$. $y' = 3\sin^2(2x)\cdot(2\cos(2x)) + 2\cos(3x)\cdot(-3\sin(3x)) = 6\sin^2(2x)\cos(2x) - 6\cos(3x)\sin(3x)$. c) Dịch chuyển mẫu góc tan: $y' = \frac{(x^2+1)'}{\cos^2(x^2+1)} = \frac{2x}{\cos^2(x^2+1)}$.

Bài 6: Rút gọn hàm nguyên mẫu: $f(x) = 1 + 2\sqrt{x} - x^{-1/2}$. Đạo hàm chuỗi biểu đồ $y' = 0 + \frac{2}{2\sqrt{x}} - (-\frac{1}{2}x^{-3/2}) = \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{2x\sqrt{x}}$. Tại điểm mốc kiểm định $x=4 \implies y'(4) = \frac{1}{2} + \frac{1}{16} = \frac{9}{16}$.

Bài 7: Vi phân mô hình phương án đạo hàm cơ sở: $y' = mx^2 - 2(m-1)x + 3(m-2)$. Để thỏa $y' \ge 0 \,\, \forall x \in \mathbb{R}$:

• Trường hợp $m = 0 \implies y' = 2x - 6 \ge 0 \implies x \ge 3$ (Không thỏa định vị mọi x, bỏ).
• Trường hợp $m \neq 0$: điều kiện đồ thị trồi yêu cầu $\begin{cases} a > 0 \\ \Delta' \le 0 \end{cases}$. $m > 0$. Và $\Delta' = (m-1)^2 - m\cdot3(m-2) \le 0 \implies -2m^2 + 4m + 1 \le 0 \implies m \in (-\infty, \frac{2-\sqrt{6}}{2}] \cup [\frac{2+\sqrt{6}}{2}, +\infty)$. Giao mốc giới $m > 0$ ta được kết luận điều kiện: $m \ge \frac{2+\sqrt{6}}{2}$.

Bài 8: Mạng lưới phân rã điểm đạo hàm: $f'(x) = 2\cos(2x) - 2$. Cấp độ điểm mút giao bằng 0: $2\cos(2x) - 2 = 0 \implies \cos(2x) = 1$. Kỹ thuật giải lượng giác cho góc chẵn: $2x = k2\pi \implies x = k\pi$ (với k là số nguyên hệ thực thuộc tập Z).

Bài 9: Tiếp tuyến giao đoạn tương thích $k = y' = \frac{-3}{(x-1)^2}$. Thông qua điểm điều phối song song: $y'(x) = -3 \implies \frac{-3}{(x-1)^2} = -3 \implies (x-1)^2 = 1$. Tháo rã ta thu hai hoành $x=2$ hoặc $x=0$.

• Xét $x=2 \implies y=5$, điểm $A(2, 5)$.
• Xét $x=0 \implies y=-1$, điểm $A(0, -1)$. Vậy tọa tiếp hệ song chiếu A có thể nằm một trong hai điểm A(2; 5) hoặc A(0; -1).

Bài 10: a) Cấu hình phương trình biểu kiến $v(t) = s'(t) = -3t^2 + 24t$. Tại lúc cắt nhảy 3s: $v(3) = -3(3^2) + 24(3) = 45$ (m/s). b) Biên mô hình đạt cận lớn nhất tại đỉnh parabol. Xét biểu đồ hàm bậc hai dạng lồi: Vận tốc cao trần $v_{max}$ đoạt được khi thời khắc vi phân gia tốc bằng không. Hoặc định hoành độ tâm đối xứng $t = \frac{-b}{2a} = \frac{-24}{2(-3)} = 4$ (giây). Đỉnh parabol biểu thức đỉnh tại $t=4s$ mang tốc độ tuyệt đối $v = 48$ m/s.