Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Định nghĩa đạo hàm tại một điểm
Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ và $x_0 \in (a; b)$. Giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số $\dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ khi $x \to x_0$ được gọi là đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại $x_0$, kí hiệu là $f'(x_0)$ hoặc $y'(x_0)$.
$$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$$Trong đó $\Delta x = x - x_0$ là số gia của đối số, $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$ là số gia của hàm số.
II. Ý nghĩa hình học của đạo hàm
• Hệ số góc của tiếp tuyến: Đạo hàm $f'(x_0)$ là hệ số góc của tiếp tuyến $M_0T$ với đồ thị $(C)$ tại điểm $M_0(x_0; f(x_0))$.
$$k = f'(x_0)$$• Phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ là:
$$y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \Leftrightarrow y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$$III. Ý nghĩa vật lí của đạo hàm
- Vận tốc tức thời: Cho chuyển động thẳng với phương trình quãng đường $s = s(t)$. Vận tốc tức thời tại thời điểm $t_0$ là $v(t_0) = s'(t_0)$.
- Cường độ dòng điện tức thời: Cho điện lượng $Q = Q(t)$. Cường độ dòng điện tức thời là $I(t_0) = Q'(t_0)$.
🔷 Dạng 1: Tính đạo hàm bằng định nghĩa
- Giả sử $\Delta x$ là số gia của đối số tại $x_0$. Tính $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$.
- Lập tỉ số $\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
- Tính giới hạn $f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Tính đạo hàm của hàm số $f(x) = x^2 + 2x$ tại $x_0 = 1$ bằng định nghĩa.
Xem lời giải
• $f(1) = 1^2 + 2(1) = 3$.
• $\Delta y = f(1 + \Delta x) - f(1) = (1 + \Delta x)^2 + 2(1 + \Delta x) - 3 = (\Delta x)^2 + 4\Delta x$.
• $\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \Delta x + 4$.
• $f'(1) = \lim_{\Delta x \to 0} (\Delta x + 4) = 4$.
Tính đạo hàm của $f(x) = \sqrt{x}$ tại $x_0 = 4$.
Xem lời giải
$$f'(4) = \lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{x - 4} = \lim_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{x} - 2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \lim_{x \to 4} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 2} = \dfrac{1}{4}$$
📝 Thực hành — Dạng 1
Tính đạo hàm bằng định nghĩa của $f(x) = 3x - 1$ tại $x_0 = 2$.
Xem lời giải
$\Delta y = 3(2+\Delta x)-1 - 5 = 3\Delta x \Rightarrow \Delta y/\Delta x = 3 \Rightarrow f'(2) = 3$.
Tính đạo hàm của $f(x) = \dfrac{1}{x}$ tại $x_0 = 2$.
Xem lời giải
$\lim_{x \to 2} \dfrac{1/x - 1/2}{x - 2} = \lim_{x \to 2} \dfrac{-(x-2)}{2x(x-2)} = -1/4$.
🔷 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến tại M0
- Tính $y_0 = f(x_0)$.
- Tính đạo hàm $y' = f'(x)$ rồi suy ra $k = f'(x_0)$.
- Viết PTTT: $y = k(x - x_0) + y_0$.
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^2 - 3x + 1$ tại điểm $M_0(2; -1)$.
Xem lời giải
• $x_0 = 2, y_0 = -1$.
• $y' = 2x - 3 \Rightarrow k = y'(2) = 2(2) - 3 = 1$.
• PTTT: $y = 1(x - 2) - 1 \Leftrightarrow y = x - 3$.
Viết PTTT của đồ thị $y = x^3 - 3x + 2$ tại hoành độ $x_0 = 1$.
Xem lời giải
• $y(1) = 1 - 3 + 2 = 0 \Rightarrow M_0(1; 0)$.
• $y' = 3x^2 - 3 \Rightarrow k = y'(1) = 0$.
• PTTT: $y = 0(x - 1) + 0 \Leftrightarrow y = 0$ (tiếp tuyến nằm ngang trùng trục $Ox$).
📝 Thực hành — Dạng 2
Viết PTTT của $y = 2x^2 + 1$ tại $x_0 = 1$.
Xem lời giải
$y_0 = 3, y' = 4x \Rightarrow k = 4 \Rightarrow y = 4(x-1)+3 = 4x - 1$.
Tìm hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $y = x^4 - 2x^2$ tại điểm có tung độ $y_0 = 0$ và hoành độ dương.
Xem lời giải
$x^4 - 2x^2 = 0, x > 0 \Rightarrow x_0 = \sqrt{2}$. $y' = 4x^3 - 4x \Rightarrow k = y'(\sqrt{2}) = 4(2\sqrt{2}) - 4\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.
🔷 Dạng 3: Bài toán vận tốc tức thời
Tính đạo hàm $v(t) = s'(t)$. Thay giá trị $t_0$ vào để tính vận tốc tức thời.
Một vật chuyển động có quãng đường $s(t) = t^3 - 3t^2 + 5t$ (m), $t$ tính bằng giây (s). Tính vận tốc của vật tại thời điểm $t = 2$ s.
Xem lời giải
• Hàm vận tốc $v(t) = s'(t) = 3t^2 - 6t + 5$.
• Vận tốc tại $t = 2$ s: $v(2) = 3(2)^2 - 6(2) + 5 = 12 - 12 + 5 = 5$ m/s.
Điện lượng truyền qua dây dẫn $Q(t) = 2t^2 + 3t$ (C). Tính cường độ dòng điện tức thời tại $t = 3$ s.
Xem lời giải
$I(t) = Q'(t) = 4t + 3 \Rightarrow I(3) = 4(3) + 3 = 15$ A.
📝 Thực hành — Dạng 3
Một vật rơi tự do có phương trình $s(t) = \dfrac{1}{2} g t^2$ với $g = 9.8 \text{ m/s}^2$. Tính vận tốc tại $t = 4$ s.
Xem lời giải
$v(t) = s'(t) = gt \Rightarrow v(4) = 9.8 \times 4 = 39.2$ m/s.
Quãng đường $s(t) = -t^2 + 10t$. Vật dừng lại ($v = 0$) tại thời điểm nào?
Xem lời giải
$v(t) = -2t + 10 = 0 \Leftrightarrow t = 5$ s.
🔷 Dạng 4: Tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
- Giải phương trình $f'(x_0) = k$ để tìm hoành độ tiếp điểm $x_0$.
- Tính tung độ $y_0 = f(x_0)$.
- Viết PTTT: $y = k(x - x_0) + y_0$.
Viết PTTT của đồ thị hàm số $y = x^2 - 4x + 3$ biết tiếp tuyến song song với đường thẳng $y = 2x + 5$.
Xem lời giải
• Do song song với $y = 2x + 5$ nên hệ số góc tiếp tuyến là $k = 2$.
• $y' = 2x - 4 \Rightarrow 2x_0 - 4 = 2 \Leftrightarrow 2x_0 = 6 \Leftrightarrow x_0 = 3$.
• $y_0 = 3^2 - 4(3) + 3 = 0$.
• PTTT: $y = 2(x - 3) + 0 \Leftrightarrow y = 2x - 6$.
Viết PTTT của $y = \dfrac{x+1}{x-1}$ biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $y = 2x - 1$.
Xem lời giải
• Tiếp tuyến vuông góc với $y = 2x - 1 \Rightarrow k \cdot 2 = -1 \Rightarrow k = -1/2$.
• $y' = \dfrac{-2}{(x-1)^2} = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow (x-1)^2 = 4 \Leftrightarrow x - 1 = 2$ hoặc $x - 1 = -2$.
• $x_0 = 3 \Rightarrow y_0 = 2 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x - 3) + 2 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{7}{2}$.
• $x_0 = -1 \Rightarrow y_0 = 0 \Rightarrow y = -\dfrac{1}{2}(x + 1) = -\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{2}$.
📝 Thực hành — Dạng 4
Viết PTTT của $y = x^3 - 3x$ biết hệ số góc $k = 9$.
Xem lời giải
$3x^2 - 3 = 9 \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2$. TH1: $(2; 2) \Rightarrow y = 9x - 16$. TH2: $(-2; -2) \Rightarrow y = 9x + 16$.
Tiếp tuyến nằm ngang của đồ thị $y = x^2 - 4x + 5$ có phương trình là gì?
Xem lời giải
Nằm ngang $\Rightarrow k = 0 \Rightarrow 2x - 4 = 0 \Rightarrow x_0 = 2, y_0 = 1 \Rightarrow y = 1$.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp
Bài 1. Phát biểu định nghĩa đạo hàm của $f(x)$ tại $x_0$.
Xem lời giải
$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$.
Bài 2. Nêu ý nghĩa hình học của đạo hàm.
Xem lời giải
Đạo hàm $f'(x_0)$ là hệ số góc tiếp tuyến tại $M_0(x_0; y_0)$.
Bài 3. Nêu ý nghĩa vật lí của đạo hàm.
Xem lời giải
$v(t) = s'(t)$ (vận tốc tức thời) và $I(t) = Q'(t)$ (cường độ dòng điện tức thời).
Bài 4. Viết công thức phương trình tiếp tuyến tại $M_0(x_0; y_0)$.
Xem lời giải
$y = f'(x_0)(x - x_0) + y_0$.
Bài 5. Tính đạo hàm bằng định nghĩa của $f(x) = 5x$ tại $x_0 = 3$.
Xem lời giải
$f'(3) = 5$.
Bài 6. Viết PTTT của $y = x^2$ tại điểm $M(1; 1)$.
Xem lời giải
$y' = 2x \Rightarrow k = 2 \Rightarrow y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1$.
Bài 7. Cho $s(t) = t^2 + 4t$. Tính vận tốc tại $t = 3$.
Xem lời giải
$v(t) = 2t + 4 \Rightarrow v(3) = 10$.
Bài 8. Tìm hệ số góc tiếp tuyến của $y = x^3$ tại $x_0 = -1$.
Xem lời giải
$y' = 3x^2 \Rightarrow k = 3(-1)^2 = 3$.
Bài 9. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có đạo hàm bằng 0 có đặc điểm gì?
Xem lời giải
Song song hoặc trùng với trục hoành $Ox$ (tiếp tuyến nằm ngang).
Bài 10. Hai đường thẳng song song thì hệ số góc của tiếp tuyến có mối quan hệ gì?
Xem lời giải
Hệ số góc bằng nhau ($k_1 = k_2$).
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Định nghĩa và ý nghĩa đạo hàm
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →