Bài 30: Công thức nhân xác suất

I. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

📌 Định lí Công thức nhân cho hai biến cố độc lập

Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì xác suất để cả $A$ và $B$ đồng thời xảy ra được tính bằng:

$$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$$

Dấu hiệu: Nếu $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$ thì $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập.

II. Mở rộng cho n biến cố độc lập

⚡ Mở rộng cho nhiều biến cố độc lập

Nếu $A_1, A_2, \dots, A_n$ là các biến cố độc lập thì:

$$P(A_1 A_2 \dots A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \dots P(A_n)$$

🔷 Dạng 1: Công thức nhân xác suất trực tiếp

📌 Phương pháp giải

Xác định các biến cố độc lập $A, B...$.
Áp dụng công thức $P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

🔍 Ví dụ 1

Hai người A và B độc lập cùng tham gia bắn súng. Xác suất bắn trúng của A là $0.8$, của B là $0.7$. Tính xác suất để cả 2 người cùng bắn trúng.

💡 Xem lời giải

• Gọi $A$: "A bắn trúng" $\Rightarrow P(A) = 0.8$.

• Gọi $B$: "B bắn trúng" $\Rightarrow P(B) = 0.7$.

• Do A và B bắn độc lập $\Rightarrow P(AB) = P(A) \cdot P(B) = 0.8 \times 0.7 = 0.56$.

🔍 Ví dụ 2

Gieo một đồng xu cân đối 3 lần liên tiếp. Tính xác suất cả 3 lần xuất hiện mặt sấp.

💡 Xem lời giải

Do 3 lần gieo độc lập $\Rightarrow P = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{8} = 0.125$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Xác suất giải đúng bài toán của Nam là $0.9$, của Việt là $0.8$. Hai người giải độc lập. Tính xác suất cả hai đều giải đúng.

💡 Xem lời giải

$P = 0.9 \times 0.8 = 0.72$.

✏️ Bài tập 1.2

Gieo 2 súc sắc 6 mặt. Tính xác suất cả 2 súc sắc cùng xuất hiện mặt 6 chấm.

💡 Xem lời giải

$P = 1/6 \times 1/6 = 1/36$.

🔷 Dạng 2: Kết hợp công thức nhân & biến cố đối

📌 Phương pháp giải

Để tính xác suất "có ít nhất một...", ta dùng công thức $P(A) = 1 - P(\bar{A})$ với $P(\bar{A}) = P(\bar{A}_1) \cdot P(\bar{A}_2) \dots$

🔍 Ví dụ 1

Hai xạ thủ bắn độc lập vào một bia. Xác suất trúng của A là $0.8$, B là $0.7$. Tính xác suất có ít nhất 1 người bắn trúng.

💡 Xem lời giải

• Xác suất A trượt: $P(\bar{A}) = 1 - 0.8 = 0.2$.

• Xác suất B trượt: $P(\bar{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$.

• Biến cố đối $\bar{H}$: "Cả 2 đều trượt" $\Rightarrow P(\bar{H}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0.2 \times 0.3 = 0.06$.

• Xác suất ít nhất 1 người trúng: $P(H) = 1 - 0.06 = 0.94$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tính xác suất để A bắn trúng và B bắn trượt.

💡 Xem lời giải

$P(A \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0.8 \times (1 - 0.7) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Ba động cơ của tàu hoạt động độc lập với xác suất hỏng là $0.1, 0.2, 0.1$. Tính xác suất cả 3 động cơ đều chạy tốt.

💡 Xem lời giải

$P = (1 - 0.1)(1 - 0.2)(1 - 0.1) = 0.9 \times 0.8 \times 0.9 = 0.648$.

✏️ Bài tập 2.2

Ở Bài tập 2.1, tính xác suất có ít nhất 1 động cơ bị hỏng.

💡 Xem lời giải

$P = 1 - 0.648 = 0.352$.

🔷 Dạng 3: Kết hợp quy tắc cộng và quy tắc nhân

📌 Phương pháp giải

Chia trường hợp (quy tắc cộng cho các TH xung khắc), trong mỗi trường hợp dùng quy tắc nhân cho các hành động độc lập.

🔍 Ví dụ 1

Hai người A và B bắn độc lập. Xác suất trúng của A là $0.8$, của B là $0.7$. Tính xác suất có đúng 1 người bắn trúng.

💡 Xem lời giải

Có 2 trường hợp xung khắc:

• TH1: A trúng, B trượt $\Rightarrow P_1 = 0.8 \times (1 - 0.7) = 0.8 \times 0.3 = 0.24$.

• TH2: A trượt, B trúng $\Rightarrow P_2 = (1 - 0.8) \times 0.7 = 0.2 \times 0.7 = 0.14$.

Xác suất cần tìm $P = P_1 + P_2 = 0.24 + 0.14 = 0.38$.

🔍 Ví dụ 2

Cho hai mạch điện mắc song song gồm 2 công tắc $K_1$ và $K_2$ hoạt động độc lập. Xác suất $K_1, K_2$ đóng lần lượt là $0.9$ và $0.8$. Tính xác suất mạch điện thông suốt.

💡 Xem lời giải

Mạch ngắt khi cả 2 công tắc cùng mở $\Rightarrow P(\text{ngắt}) = (1-0.9)(1-0.8) = 0.1 \times 0.2 = 0.02$.

Xác suất thông suốt $P = 1 - 0.02 = 0.98$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Ở Ví dụ 1, tính xác suất có ít nhất 1 người bắn trượt.

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: Cả 2 cùng trúng $\Rightarrow P = 1 - (0.8 \times 0.7) = 1 - 0.56 = 0.44$.

✏️ Bài tập 3.2

Hai công tắc $K_1, K_2$ mắc nối tiếp. Xác suất đóng lần lượt là $0.9$ và $0.8$. Tính xác suất mạch thông suốt.

💡 Xem lời giải

Nối tiếp nên cả 2 phải cùng đóng $\Rightarrow P = 0.9 \times 0.8 = 0.72$.

🔷 Dạng 4: Bài toán trò chơi & Sản xuất thực tế

📌 Phương pháp giải

Mô hình hóa bài toán thực tế thành dãy các biến cố độc lập và sử dụng công thức nhân xác suất.

🔍 Ví dụ 1

Tỉ lệ phế phẩm của một máy sản xuất là $5\%$. Kiểm tra ngẫu nhiên 2 sản phẩm do máy đó sản xuất độc lập. Tính xác suất cả 2 đều là phế phẩm.

💡 Xem lời giải

$P = 0.05 \times 0.05 = 0.0025 = 0.25\%$.

🔍 Ví dụ 2

Ở Ví dụ 1, tính xác suất có ít nhất 1 sản phẩm là thành phẩm (tốt).

💡 Xem lời giải

Biến cố đối: Cả 2 đều phế phẩm ($P = 0.0025$). Xác suất cần tìm $P = 1 - 0.0025 = 0.9975 = 99.75\%$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Một câu hỏi trắc nghiệm có 4 phương án (chỉ 1 đúng). Một học sinh khoanh lụi 3 câu độc lập. Tính xác suất khoanh đúng cả 3 câu.

💡 Xem lời giải

$P = (1/4)^3 = 1/64$.

✏️ Bài tập 4.2

Ở Bài tập 4.1, tính xác suất học sinh đó sai cả 3 câu.

💡 Xem lời giải

$P = (3/4)^3 = 27/64$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Công thức nhân xác suất (10 bài)

Bài 1. Phát biểu công thức nhân xác suất cho 2 biến cố độc lập.

💡 Xem lời giải

$P(AB) = P(A) \cdot P(B)$.

Bài 2. Cho $P(A) = 0.6, P(B) = 0.7$ độc lập. Tính $P(AB)$.

💡 Xem lời giải

$0.6 \times 0.7 = 0.42$.

Bài 3. Cho $P(A) = 0.5, P(B) = 0.8$ độc lập. Tính $P(A \bar{B})$.

💡 Xem lời giải

$0.5 \times 0.2 = 0.10$.

Bài 4. Gieo đồng xu cân đối 4 lần. Tính xác suất cả 4 lần đều ngửa.

💡 Xem lời giải

$(1/2)^4 = 1/16$.

Bài 5. Hai người bắn bia độc lập với xác suất trúng là $0.6$ và $0.9$. Tính xác suất cả hai đều trượt.

💡 Xem lời giải

$0.4 \times 0.1 = 0.04$.

Bài 6. Ở Bài 5, tính xác suất có ít nhất 1 người trúng.

💡 Xem lời giải

$1 - 0.04 = 0.96$.

Bài 7. Tỉ lệ phế phẩm $2\%$. Kiểm tra 2 sản phẩm độc lập. Tính xác suất không có phế phẩm nào.

💡 Xem lời giải

$0.98 \times 0.98 = 0.9604$.

Bài 8. Khoanh ngẫu nhiên 2 câu trắc nghiệm 4 đáp án. Tính xác suất đúng cả 2 câu.

💡 Xem lời giải

$1/4 \times 1/4 = 1/16$.

Bài 9. Hai hệ thống báo cháy độc lập có xác suất hoạt động $0.95$ và $0.9$. Tính xác suất cả 2 cùng hoạt động.

💡 Xem lời giải

$0.95 \times 0.9 = 0.855$.

Bài 10. Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố xung khắc có $P(A) > 0, P(B) > 0$ thì $A$ và $B$ có độc lập không?

💡 Xem lời giải

Không độc lập, vì $P(AB) = 0 \ne P(A) \cdot P(B) > 0$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Công thức nhân xác suất. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho hai biến cố **độc lập** $A$ và $B$. Công thức nhân xác suất để cả hai biến cố cùng xảy ra là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0.6, P(B) = 0.5$. Tính $P(AB)$.

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho hai biến cố độc lập $A$ và $B$ với $P(A) = 0.4, P(B) = 0.7$. Tính xác suất để **cả hai biến cố đều KHÔNG xảy ra**.

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Hai xạ thủ độc lập cùng bắn vào một bia. Xác suất bắn trúng mục tiêu của người thứ nhất là $0.7$, của người thứ hai là $0.8$. Xác suất để **ít nhất một người bắn trúng** là:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Một sinh viên thi 2 môn độc lập. Xác suất đỗ môn 1 là $0.8$, xác suất đỗ môn 2 là $0.9$. Xác suất để sinh viên đó **đỗ cả 2 môn** là:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Hai sinh viên độc lập làm bài thi. Xác suất sinh viên A đỗ là $0.7$, sinh viên B đỗ là $0.6$. Xác suất để **chỉ có duy nhất 1 sinh viên đỗ** là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Gieo một đồng xu 3 lần độc lập. Xác suất để cả 3 lần gieo đều xuất hiện mặt **Sấp** là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Một hệ thống điện có 2 bóng đèn hoạt động độc lập. Xác suất bóng 1 bị hỏng là $0.1$, bóng 2 bị hỏng là $0.2$. Xác suất để hệ thống **không bị tắt điện** (ít nhất 1 bóng còn hoạt động) là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Cho $P(A) = 0.5, P(B) = 0.4$ và $P(A \cup B) = 0.7$. Hai biến cố $A$ và $B$ có độc lập với nhau hay không?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Công thức nhân xác suất cho 3 biến cố độc lập $A, B, C$ là:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Công thức nhân xác suất

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới