Bài 28: Biến cố hợp, biến cố giao, biến cố độc lập

I. Biến cố hợp và Biến cố giao

1. Kiến thức cần nhớ

⚡ Biến cố hợp

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Biến cố ” $A$ hoặc $B$ xảy ra” được gọi là biến cố hợp của $A$ và $B$ , kí hiệu là $A \cup B$ .

Về mặt tập hợp, $A \cup B$ là tập con các kết quả thuận lợi cho ít nhất một trong hai sự kiện $A$ hoặc $B$ .

⚡ Biến cố giao

Cho hai biến cố $A$ và $B$ . Biến cố “Cả $A$ và $B$ cùng xảy ra” được gọi là biến cố giao của $A$ và $B$ , kí hiệu là $AB$ hoặc $A \cap B$ .

Về mặt tập hợp, $A \cap B$ là tập phần tử giao nhau thuận lợi cho ĐỒNG THỜI cả $A$ và $B$ .

Biến cố Hợp: A ∪ B

Biến cố Giao: A ∩ B (hoặc AB)

2. Các dạng toán về Hợp và Giao của biến cố

📌 Dạng 1: Viết tập hợp và đếm số lượng phần tử của Biến cố hợp, giao

Phương pháp giải:

Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $A$ từ không gian mẫu $\Omega$ .
Liệt kê các kết quả thuận lợi cho biến cố $B$ .
Biến cố Hợp ( $A \cup B$ ): Tập hợp tất cả các kết quả thuộc $A$ hoặc thuộc $B$ (lưu ý loại bỏ các phần tử trùng lặp).
Biến cố Giao ( $AB$ ): Tập hợp các kết quả xuất hiện đồng thời trong cả hai tập $A$ và $B$ .

🔍 Ví dụ 1 — (Mức độ 1) Gieo xúc xắc cơ bản

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất 1 lần. Gọi $A$ là biến cố “Số chấm xuất hiện là số lẻ”, $B$ là biến cố “Số chấm xuất hiện chia hết cho 3”. Hãy mô tả các biến cố $A \cup B$ và $AB$ dưới dạng tập hợp.

💡 Xem lời giải

Không gian mẫu $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ .

Tập hợp $A$ : Các số nguyên lẻ trong $\Omega$ là $A = \{1, 3, 5\}$ .
Tập hợp $B$ : Các số nguyên chia hết cho 3 là $B = \{3, 6\}$ .
Biến cố Hợp $A \cup B$ (“Số chấm xuất hiện là số lẻ HOẶC chia hết cho 3”): $A \cup B = \{1, 3, 5, 6\}$
Biến cố Giao $AB$ (“Số chấm xuất hiện là số lẻ VÀ chia hết cho 3”): Phần tử chung duy nhất giữa $A$ và $B$ là số 3 $\implies AB = \{3\}$ .

🔍 Ví dụ 2 — (Mức độ 2) Rút bài tây 52 lá

Từ bộ bài Tây tiêu chuẩn 52 lá, rút ngẫu nhiên 1 lá bài. Gọi $A$ là biến cố “Rút được lá mang chất Cơ”, $B$ là biến cố “Rút được lá Át”. Tính số liệt kê phần tử thuận lợi cho biến cố hợp $A \cup B$ và biến cố giao $AB$ .

💡 Xem lời giải

Bộ bài có 13 lá mang chất Cơ $\implies n(A) = 13$ .
Bộ bài có 4 lá Át $\implies n(B) = 4$ .
Biến cố giao $AB$ : “Rút được lá bài vừa mang chất Cơ vừa là lá Át” $\implies$ Đó là lá Át Cơ duy nhất. Vậy $n(AB) = 1$ .
Biến cố hợp $A \cup B$ : Theo nguyên lý bù trừ tập hợp, do lá Át Cơ được tính ở cả hai tập, ta có: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(AB) = 13 + 4 - 1 = 16 \text{ lá bài.}$

🔍 Ví dụ 3 — (Mức độ 2) Gieo hai đồng xu liên tiếp

Gieo 2 đồng xu cân đối và đồng chất liên tiếp với các kết quả S (Sấp) và N (Ngửa). Gọi $C$ là biến cố: “Có đúng một mặt Sấp”. Gọi $D$ là biến cố: “Có ít nhất 1 mặt Ngửa”. Tìm tập kết quả của biến cố giao $CD$ .

💡 Xem lời giải

Không gian mẫu cho phép gieo hai đồng xu: $\Omega = \{(S,S), (S,N), (N,S), (N,N)\}$ .
Biến cố lượng mặt sấp bằng 1 là $C = \{(S,N), (N,S)\}$ .
Biến cố lượng mặt ngửa lớn hơn hoặc bằng 1 là $D = \{(S,N), (N,S), (N,N)\}$ .
Biến cố giao $CD$ tập hợp các kết quả chung điểm của hai biến cố trên: $CD = \{(S,N), (N,S)\}$ . Nhận xét: Trong toán học, vì $C \subset D$ nên phép giao của chúng mang kết quả $C \cap D = C$ .

🔍 Ví dụ 4 — (Mức độ 3) Tổng điểm hai xúc xắc đồng chất

Gieo 2 con xúc xắc. Gọi biến cố $E$ : “Tổng số chấm trên hai mặt xuất hiện chia hết cho 4”. Gọi biến cố $F$ : “Hai xúc xắc xuất hiện số chấm giống hệt nhau”. Kê khai số lượng kết quả thuận lợi của tập hợp giao $EF$ .

💡 Xem lời giải

Liệt kê tập hợp $F$ (xuất hiện cặp sinh đôi số chấm): $F = \{(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)\}$ . Có 6 kết quả.
Tập hợp $E$ chứa các kết quả có tổng hai mặt bằng $4$ , $8$ , hoặc $12$ . Việc liệt kê toàn bộ tập hợp $E$ sẽ khá dài. Thay vì liệt kê trực tiếp toàn bộ $E$ , ta tìm tập hợp giao $EF$ bằng cách trích xuất những bộ kết quả nằm trong $F$ thỏa mãn điều kiện mang tổng chia hết cho $4$ .
Kiểm tra tính chất tổng của các phần tử tập $F$ $F$ :
- $(1,1) \implies \text{Tổng } 2 \text{ (Loại)}$
- $(2,2) \implies \text{Tổng } 4 \text{ (Nhận)}$
- $(3,3) \implies \text{Tổng } 6 \text{ (Loại)}$
- $(4,4) \implies \text{Tổng } 8 \text{ (Nhận)}$
- $(5,5) \implies \text{Tổng } 10 \text{ (Loại)}$
- $(6,6) \implies \text{Tổng } 12 \text{ (Nhận)}$ $\implies EF = \{(2,2), (4,4), (6,6)\}$ . Vậy $n(EF) = 3$ .

🔍 Ví dụ 5 — (Mức độ 3) Số chia phân lớp tập dải

Một hộp đựng $20$ tấm thẻ đánh số thứ tự từ $1$ tới $20$ . Rút ngẫu nhiên đồng loạt $1$ tấm thẻ. Gọi $M$ là biến cố “Thẻ rút được ghi số chia hết cho $2$ ” và $N$ là biến cố “Thẻ rút được ghi số nguyên tố”. Hãy tính số kết quả thẻ thuận lợi cho hệ hợp biến cố $M \cup N$ .

💡 Xem lời giải

Số lượng phần tử chẵn: $M = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20\} \implies n(M) = 10$ .
Tập các phần tử là số nguyên tố: $N = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\} \implies n(N) = 8$ .
Khối giao chung $MN$ là những số chẵn đồng thời mang tính chất nguyên tố. Trong khoảng $[1; 20]$ , số chẵn duy nhất đồng thời là nguyên tố là số $2$ : $MN = \{2\} \implies n(MN) = 1$ .
Áp dụng nguyên lý cộng khối số lượng: $n(M \cup N) = n(M) + n(N) - n(MN) = 10 + 8 - 1 = 17 \text{ thẻ.}$

📌 Dạng 2: Biểu diễn tính chất biến cố bằng ngôn ngữ

Dấu hiệu: Bài toán không yêu cầu phép phép đếm định lượng, mà yêu cầu “biểu đạt” cấu hình một biến cố qua ngôn ngữ mệnh đề và ngược lại. Quy tắc chuyển đổi diễn đạt:

$A \cup B$ : Có MỘT TRONG HAI (hoặc có ĐƯỢC ít nhất một yếu tố $A$ hoặc yếu tố $B$ ).
$AB$ : Có CẢ HAI sự kiện xuất hiện đồng thời.
$\overline{A}$ : Phủ định diễn giải (Biến cố $A$ KHÔNG xảy ra).
$\overline{A} \cap \overline{B}$ (hoặc $\overline{A}\overline{B}$ ): Cả $A$ và $B$ ĐỀU KHÔNG xảy ra một cách đồng thời.

🔍 Ví dụ 6 — (Mức độ 1) Mệnh đề chọn học sinh

Giáo viên chọn ngẫu nhiên 1 bạn học sinh từ toàn bộ danh sách lớp học. Gọi $A$ : “Học sinh được chọn học giỏi Toán” và $B$ : “Học sinh được chọn học giỏi Văn”. Hãy phát biểu phân tích bằng lời sự kiện $A \cup B$ .

💡 Xem lời giải

Biến cố hợp $A \cup B$ mang ý nghĩa là $A$ xảy ra, hoặc $B$ xảy ra (khoảng tính chất bao gồm cả trường hợp cả hai cùng xảy ra). $\implies$ Sự biến cố được phát biểu là: “Học sinh được chọn giỏi học môn Toán HOẶC học giỏi môn Văn” (có thể diễn đạt lại là: Học sinh đó học giỏi ít nhất một trong hai môn: Toán hoặc Văn).

🔍 Ví dụ 7 — (Mức độ 1) Diễn đạt tính chất lấy màu bi

Một hộp chứa các quả bóng có ba màu Xanh, Đỏ, Vàng. Lấy ngẫu nhiên ra $2$ quả bóng. Gọi biến cố $C$ : “Hai quả bóng lấy ra đều có màu Xanh”; biến cố $D$ : “Trong hai quả bóng có một quả Xanh và một quả Đỏ”. Hãy nêu ý nghĩa của biến cố phân hợp $C \cup D$ .

💡 Xem lời giải

Biến cố $C$ là chọn được định hệ kết quả $\{\text{Xanh}, \text{Xanh}\}$ . Biến cố $D$ là chọn được định hệ kết quả $\{\text{Xanh}, \text{Đỏ}\}$ . Cấu trúc việc hợp chập chung cho thấy nếu rơi vào trường hợp của $C$ hoặc $D$ , thì ít nhất trong bộ hai quả bóng đã xuất hiện $1$ quả Xanh chắc chắn. Phát biểu bằng lời logic: “Trong 2 quả bóng rút được, có ít nhất một quả bóng mang màu Xanh và biến cố đồng thời quả thứ hai không mang hệ màu Vàng.”

🔍 Ví dụ 8 — (Mức độ 2) Xạ thủ nhắm mục tiêu

Có hai tổ bắn súng thực hiện bắn độc lập vào một mục tiêu cố định. Gọi $A_1$ : “Tổ thứ nhất bắn súng đánh trúng đích”, $A_2$ : “Tổ thứ hai bắn trúng đích mục tiêu”. Phân tích ý nghĩa biểu thức khối $A_1 \cdot \overline{A_2}$ .

💡 Xem lời giải

Cấu trúc thành phần biến cố chính $A_1$ là “Tổ 1 bắn trúng”. Cấu trúc tính chất biến cố bù là $\overline{A_2}$ mang nghĩa “Tổ 2 bắn cung không trúng (bắn trượt)”. Ký hiệu phân phép nhân giao $(\cdot)$ mang ý nghĩa là cả hai sự kiện này xảy ra ĐỒNG THỜI liên kết vế VÀ. Phát biểu của biến cố $A_1 \cdot \overline{A_2}$ : “Tổ thứ nhất bắn cung trúng đích VÀ tổ thứ hai bắn trượt đích mục tiêu” (Nói cách đơn giản hơn: Chỉ có duy nhất Tổ 1 bắn trúng đích).

🔍 Ví dụ 9 — (Mức độ 2) Ba người thợ săn đồng kiểm

Ba người thợ săn $X_1, X_2, X_3$ đồng thời ngắm cung bắn vào một mô hình mục tiêu bay. Mô tả chuẩn ý nghĩa cho biến hợp khối $Y = X_1 \cup X_2 \cup X_3$ và biến giao phân mảnh $Z = \overline{X_1}\overline{X_2}\overline{X_3}$ .

💡 Xem lời giải

Cục gộp liên kết tính hợp $Y$ : Xảy ra $X_1$ bắn trúng HOẶC $X_2$ bắn trúng HOẶC $X_3$ bắn trúng. $\implies$ Phát biểu bằng hình thức trực tiếp: “Có ít nhất một người thợ săn bắn cung trúng mục tiêu”.
Cục biến giao khối phần bù $Z$ : Gồm những trạng thái đồng thời $X_1$ trượt VÀ $X_2$ trượt VÀ $X_3$ trượt. $\implies$ Phát biểu bằng hình thức ngược lại: “Không có thợ săn nào bắn trúng mục tiêu cả (cả ba người đều bắn trượt)”. (Chú ý logic trong mở rộng: Theo định lý De Morgan, biến cố $Z$ chính là biến cố phủ định của biến cố hợp dòng $Y$ : $\overline{Y} = Z$ ).

🔍 Ví dụ 10 — (Mức độ 3) Gieo cặp biến độc lập điểm xu

Hệ thống gieo đồng thời hai đồng xu phân biệt. Sự kiện $A$ : “Đồng xu thứ nhất ra hiển thị mặt Sấp”. Sự kiện $B$ : “Đồng xu thứ hai ra độ mặt Ngửa”. Biểu thức kết cấu biến $E = AB \cup \overline{A}\overline{B}$ mang ý nghĩa nào?

💡 Xem lời giải

Sự kiện thành phần trực tiếp $AB$ : Đồng xu thứ nhất hiện mặt Sấp, đồng xu thứ hai hiện mặt Ngửa $\implies$ Cặp định vị trạng thái là $(S,N)$ .
Sự kiện bù lật mặt $\overline{A}$ : Đồng thứ nhất Không hiển thị mặt Sấp (có nghĩa là xuất hiện mặt Ngửa). Tương tự $\overline{B}$ : Xét đồng hai Không nhận diện mặt Ngửa (do đó xuất hiện độ mặt Sấp).
Khối liên kết hợp thành $\overline{A}\overline{B}$ sẽ mang dạng $\implies$ Điểm hệ cặp trạng thái phân tử là $(N,S)$ . Hợp tổ chức hệ biến cố $E = \{(S,N)\} \cup \{(N,S)\} = \{(S,N), (N,S)\}$ . Phát biểu đại số mang tính văn học thực địa kết quả: “Hai đồng xu gieo ra cho chu trình kết quả ở trạng thái không đồng nhất (một xu thể hiện mặt Sấp và một xu thể hiện độ mặt Ngửa).”

II. Biến cố độc lập

1. Kiến thức cần nhớ

⚡ Định nghĩa hai biến cố độc lập

Cặp biến cố $A$ và $B$ được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không làm thay đổi xác suất xảy ra của biến cố kia và ngược lại.

📋 Tính chất

Nếu cặp biến cố $A$ và $B$ độc lập thì các cặp tổ hợp biến cố sau cũng hoàn toàn độc lập với nhau:

$A$ và $\overline{B}$
$\overline{A}$ và $B$
$\overline{A}$ và $\overline{B}$

2. Các dạng toán kết hợp

📌 Dạng 3: Nhận biết hai biến cố độc lập

Phương pháp giải: Nhận biết cặp biến cố độc lập dựa vào tính chất tự nhiên hoặc phép gieo độc lập:

Các phép thử quy mô thực hiện song song trong các môi trường khác nhau (như việc tung đồng xu và xúc xắc, hoặc gieo xúc xắc nhiều lần) thường là các sự kiện độc lập.
Đối với bài toán bốc/lấy đồ vật: Nếu lấy “có hoàn lại” (lấy vật ra ghi nhận rồi trả lại), tính chất không gian mẫu được bảo toàn $\implies$ Hai sự kiện đó Độc lập.
Nếu lấy “không hoàn lại”, không gian mẫu và phân lượng thẻ bị thay đổi ở lượt rút sau $\implies$ Hai sự kiện Phụ thuộc lẫn nhau.

🔍 Ví dụ 11 — (Mức độ 1) Tính chất độc lập trong phép bài có hoàn lại

Từ bộ bài Tây tiêu chuẩn 52 lá, rút ngẫu nhiên một lá bài. Sau đó hoàn lại lá bài này vào xấp bài, xáo lên rồi rút tiếp lá thứ hai. Xét 2 biến cố $A$ : “Lá thứ nhất rút được là lá màu đỏ”; $B$ : “Lá thứ hai rút được là lá màu đen”. $A$ và $B$ có phải là hai biến cố độc lập không?

💡 Xem lời giải

Vì có hành động “hoàn lại lá bài vào xấp”, số lượng tổng các lá bài ở lượt rút thứ 2 luôn nguyên vẹn là 52 lá (trong đó có 26 lá màu đỏ, 26 lá màu đen). Do đó, xác suất rút được lá đen ở lượt thứ hai luôn không thay đổi là $\dfrac{26}{52}$ , dù kết quả lượt thứ nhất có xảy ra hay không. Vậy $A$ và $B$ là hai biến cố phân biệt độc lập.

🔍 Ví dụ 12 — (Mức độ 1) Phép thử rút bài không hoàn lại

Cũng với bộ bài 52 lá trên, thay vì hoàn lại, người tham gia giữ luôn lá bài thứ nhất ở bên ngoài. Sau đó rút tiếp lá bài thứ hai. Gọi sự kiện $A$ : “Lá rút đầu tiên màu đỏ”, sự kiện $B$ : “Lá rút lần sau màu đen”. Hỏi hai sự kiện này có độc lập hay không?

💡 Xem lời giải

Trong trường hợp này, hai biến cố KHÔNG ĐỘC LẬP. Bởi vì:

Nếu $A$ xảy ra (lá đầu tiên là màu đỏ): Bộ bài còn 51 lá (trong đó 25 thẻ màu đỏ, 26 thẻ màu đen). Xác suất rút được lá bài màu đen ở lá thứ hai sẽ là $P_{1} = \dfrac{26}{51}$ .
Nếu $A$ không xảy ra (lá đầu tiên là màu đen): Bộ bài còn 51 lá (trong đó 26 thẻ màu đỏ, 25 thẻ màu đen). Xác suất rút được lá bài màu đen thay đổi thành $P_{2} = \dfrac{25}{51}$ . Do kết quả của sự kiện lượt 1 chi phối định lượng xác suất sự kiện lượt 2, hai biến cố này không độc lập và tương quan phụ thuộc nhau.

🔍 Ví dụ 13 — (Mức độ 2) Các sự kiện độc lập trong hệ quy chiếu khác nhau

Vào dịp chung kết thể thao quốc tế bóng đá. Đội tuyển Việt Nam thi đấu trận chung kết bóng đá khu vực. Đồng thời ở một lục địa khác, đội tuyển Tây Ban Nha gặp đội tuyển Anh. Gọi $A$ : “Tuyển Việt Nam giành chiến thắng”, $B$ : “Tuyển Tây Ban Nha giành chiến thắng”. Xét theo lý thuyết ngẫu nhiên, hai biến cố trên có thiết lập tính chất độc lập không?

💡 Xem lời giải

Hai trận đấu diễn ra trong hai bối cảnh lịch trình độc lập, với các yếu tố khách quan không tác động qua lại với nhau. Kết quả đội tuyển Việt Nam giành chiến thắng hay thất bại đều không mang ảnh hưởng đến sự thành bại của đội tuyển Tây Ban Nha. Nên trong logic xác suất, đây là 2 biến cố hoàn toàn độc lập.

🔍 Ví dụ 14 — (Mức độ 2) Tính chất độc lập giữa các biến cố đối

Trong một phép thử gieo đồng thời ba con xúc xắc. Gọi $M_1$ : “Con xúc xắc đầu tiên ra số chấm là số lẻ”, $M_2$ : “Con xúc xắc thứ hai ra số chấm là số chẵn”. Xét tính chất độc lập trong hệ của biến cố đổi $\overline{M_1}$ và biến cố $M_2$ .

💡 Xem lời giải

Các con xúc xắc được gieo tự do không giao diện cho nhau nên trạng thái xuất hiện mặt của viên này không chi phối trạng thái của viên liền kề. Điều này nghĩa là $M_1$ và $M_2$ là hai sự kiện độc lập. Theo như định lý về hệ tính chất của các biến cố: Nếu $M_1$ và $M_2$ là các biến cố độc lập tự nhiên thì sự kiện đối của nó là $\overline{M_1}$ và biến cố $M_2$ cũng sở hữu tính chất độc lập với nhau.

🔍 Ví dụ 15 — (Mức độ 3) Phân bố của hiện tượng tự nhiên

Cặp vợ chồng quyết định sinh con dự định mang thai 2 lần. Xét biến cố $C$ : “Con sinh ra ở lần thứ nhất là con gái”. Xét biến cố $D$ : “Con sinh ra ở lần thứ hai là con trai”. Hai biến cố này có tương quan độc lập hay không?

💡 Xem lời giải

Cơ chế sinh học định hướng xác suất sinh con trai hay con gái tuân theo sự phân li tự do ở mỗi lần thụ thai, độc lập không liên quan qua các lần tiếp theo. Giới tính đứa con đầu lòng hoàn toàn không tác động đến yếu tố hình thành giới tính mang mặt xác suất của đứa con thứ hai. $\implies$ Hai sự kiện có tính chất hoàn toàn độc lập tự nhiên.

📌 Dạng 4: Bài tập hệ số đếm phần tử kết hợp

Dấu hiệu: Bài toán vận dụng việc đếm số phần tử của tập hợp $A \cup B$ , tính chất loại trừ của các cặp biến cố từ công thức cộng mở rộng. Phương pháp giải: Sử dụng chính xác nguyên lý đếm lượng $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(AB)$ . Đối phó với bài toán các biến cố xảy ra với nhiều thành phần giao chéo phức tạp, vẽ sơ đồ khối lượng biểu đồ Venn là định hình chuẩn nhất.

🔍 Ví dụ 16 — (Mức độ 1) Tính số lượng bằng tính chất điểm giao cắt

Một lớp thể thao có 40 học sinh. Thống kê câu lạc bộ của trường: có 15 học sinh tham gia sinh hoạt môn kéo co (Biến cố $K$ ), 20 học sinh tham gia sinh hoạt môn cờ vua (Biến cố $V$ ). Ngoài ra chứng nhận, có 5 học sinh hiện đang tham gia cả hai môn học ngoại khóa này. Chọn ngẫu nhiên một bạn trong lớp. Xác định kích thước tính lượng kết quả thuận lợi cho tập $K \cup V$ .

💡 Xem lời giải

Biến cố $K \cup V$ được hiệu đính về mặt ngôn ngữ là: “Học sinh có tham gia Cờ vua HOẶC Kéo co (tham gia ít nhất 1 môn học)”. Số lượng phần tử lượng biểu diễn: $n(K) = 15$ , $n(V) = 20$ , $n(KV) = 5$ . Áp dụng công thức số quy hồi tổ hợp: $n(K \cup V) = n(K) + n(V) - n(KV) = 15 + 20 - 5 = 30 \text{ học sinh.}$ Hệ biến cố có tập hợp bao gồm quy mô đại diện 30 bạn.

🔍 Ví dụ 17 — (Mức độ 2) Tính số lượng sự kiện giao đồng thời

Một khảo sát tập hợp cơ sở xác suất mang kết quả lượng: $n(A) = 30$ , $n(B) = 45$ . Nếu hệ biến cố Hợp nhận số lượng định lượng $n(A \cup B) = 60$ . Yêu cầu tính tổng số phân tử thuộc trong diện mặt cắt điểm giao $n(AB)$ .

💡 Xem lời giải

Dựa trên kiến thức định lý mở rộng cho tính chất Hợp biến phân lớp: $n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(AB).$ Thay quy mô toán học dữ liệu hiện có vào phương trình đại số: $60 = 30 + 45 - n(AB) \implies n(AB) = 75 - 60 = 15.$ Kết luận, biến cố giao là lượng phần tử chứa 15 phân lớp.

🔍 Ví dụ 18 — (Mức độ 2) Khái niệm sự kiện biến cố xung khắc

Việc kiểm tra kho thiết bị 100 sản phẩm theo tiêu chí: Biến cố $L$ : “Sản phẩm thiết bị sở hữu lỗi màu sắc”, biến cố $T$ : “Sản phẩm thiết bị sở hữu lỗi nút bấm”. Hai biến cố trên có được xem là tập biến cố xung khắc không?

💡 Xem lời giải

Xung khắc có nghĩa là tính tương hỗ giữa hai biến tạo tập rỗng ( $LT = \emptyset$ ), tức là chúng không bao giờ xảy ra cùng lúc ở kết quả chung một phép thử ngẫu nhiên. Tuy nhiên, trong quá trình sai phạm thực tiễn, việc bắt gặp một sản phẩm vừa gặp lỗi màu sắc đồng thời lại có cả lỗi chức năng nút bấm là hoàn toàn có thể xảy ra. Do đó $LT \neq \emptyset$ . Suy ra $L$ và $T$ không được gọi là hai biến cố xung khắc. (Chúng là hai biến cố giao nhau).

🔍 Ví dụ 19 — (Mức độ 3) Giá trị cấu trúc biến cố nghịch

Chuyên đề khảo sát 100 sinh viên. Cấu trúc gồm 30 sinh viên giỏi Tiếng Anh (Biến cố $E$ ), 40 sinh viên giỏi học vấn Tiếng Trung (Biến cố $C$ ). Thêm vào đó, thông số xác định 10 sinh viên nằm trong phần giao (giỏi cả hai môn, $EC$ ). Mô tả số loại kết quả số sinh viên có năng lực bị đánh giá không tốt ở cả phương diện 2 môn ngoại ngữ?

💡 Xem lời giải

Yêu cầu cấu trúc đại số toán học: “Không giỏi Tiếng Anh VÀ KHÔNG giỏi Tiếng Trung”. Kết cấu giao đồng thời hai điều kiện ngược: $\overline{E} \cap \overline{C}$ (hoặc viết là $\overline{E}\overline{C}$ ).
Theo định lý De Morgan: Phép giao hai biến bù lùi $\overline{E} \cap \overline{C}$ sẽ trực tiếp đồng cấp với phần biến bộ phận tính lật ngược của tập tổ hợp dòng Hợp $(\overline{E \cup C})$ . Ta tính số sinh viên “Giỏi ít nhất $1$ ngoại ngữ” theo giá trị: $n(E \cup C) = n(E) + n(C) - n(EC) = 30 + 40 - 10 = 60 \text{ sinh viên}.$ $\implies$ Lượng sinh viên thuộc diện còn lại là: $100 - 60 = 40$ người.

🔍 Ví dụ 20 — (Mức độ 3) Bài toán tổ hợp giao đa thức

Túi chứa 10 tấm phiếu đánh mã xác suất từ 1 đến 10. Các biến cố rút nhận định: $X$ rút thẻ chẵn; $Y$ rút thẻ ghi số phân chia hết cho 3; $Z$ lấy trạng thái ghi chia hết 4. Mô tả quy mô định lượng liên hệ biến cố chập $H = X \cup Y \cup Z$ .

💡 Xem lời giải

Liệt kê tập hợp các chi tiết thuận lợi quy ẩn số nguyên: $X = \{2, 4, 6, 8, 10\}$ $Y = \{3, 6, 9\}$ $Z = \{4, 8\}$
Ta nhận thấy, mọi số chia hết cho 4 đều chia hết cho 2, nên tập đặc tính $Z$ là bộ tập con của không gian điều kiện thuộc tập $X$ ( $Z \subset X$ ). Hợp quy nạp của đặc tính là $X \cup Z = X$ . Do vậy tính cấu trúc tập hệ $H$ , ta giản quy mô hợp còn phép lai cặp biến cơ sở $H = X \cup Y = \{2, 4, 6, 8, 10\} \cup \{3, 6, 9\}$ .
Lấy kết giao tổng các phân dải số nguyên: $H = \{2, 3, 4, 6, 8, 9, 10\}$ Hiệu lực lượng $n(H)$ là 7 phần tử liên kết mạch định cấu.

III. Bài tập Trắc nghiệm

Câu 1:Cho hai biến cố $A$ và $B$. Biến cố hợp của $A$ và $B$ xảy ra khi:

Câu 2:Nếu $A$ và $B$ là hai biến cố độc lập thì khẳng định nào sau đây ĐÚNG?

Câu 3:Kí hiệu nào sau đây chỉ phần thể hiện đồng thời cả hai điều kiện của A và B chập lại với nhau?

Câu 4:Chọn mệnh đề SAI về hai biến cố độc lập?

Câu 5:Cho $A$ là biến cố học sinh giỏi Toán, $B$ là biến cố học sinh giỏi Văn. Mệnh đề nào tương ứng với biến cố 'Học sinh được chọn KHÔNG giỏi Toán nhưng CÓ giỏi Văn'?

Câu 6:Rút tuần tự ngẫu nhiên 2 lá bài từ cỗ 52 lá. Nếu hoàn lại lá bài thứ nhất rồi mới rút lá bài thứ 2. Hỏi sự kiện rút lá 2 có bị tác động gì từ kết quả màu lá 1 không?

Câu 7:Gieo một con xúc xắc cân đối. Đặt biến cố X: 'Xuất hiện mặt chẵn'; Y: 'Xuất hiện mặt nhỏ hơn 3'. Số lượng phần tử của tích giao $XY$ là bao nhiêu?

Câu 8:Phân lô hàng có 3 sản phẩm. Gọi biến cố $N_i$ : 'Sản phẩm thứ i bị lỗi'. Lập công thức biến cố K: 'Cả 3 sản phẩm đều không mắc lỗi'.

Đúng / Sai

Câu 9Kiểm tra tương tác của các phép thử ngẫu nhiên. Đánh giá tính độc lập hợp lý của các mệnh đề sau:

a)Sự kiện thời tiết hôm nay trời mưa và ngày mai cậu bé A mua sách là 2 biến cố độc lập do khác biệt bối cảnh ngẫu nhiên.

b)Hai biến cố có tập hợp giao bằng Tập rỗng luôn luôn auto là hai biến cố độc lập.

c)Lấy 1 viên bi trong hộp ngẫu nhiên rồi xóc mạnh, sau đó bốc viên thứ hai (KHÔNG HOÀN LẠI) là 2 sự kiện độc lập.

d)Nếu A và B độc lập thì sự kiện đối của A (Không A) và sự kiện B cũng luôn có tính chất độc lập.

Đúng / Sai

Câu 10Kiểm tra lý thuyết đếm phần tử tập hợp trong không gian mẫu 30 kết quả. Phân tích các phát biểu cho tập A (cỡ 15) và B (cỡ 20).

a)Nếu A và B là 2 tập xung khắc, số lượng phần tử của A ∪ B sẽ bằng 35 phần tử.

b)Số lượng phần tử chung điểm của giao AB có thể tồn tại kết quả bằng 0 trong cấu trúc này.

c)Nếu B là tập hợp chứa hoàn toàn tập A, thì giao AB bằng kích cỡ của B.

d)Nếu phần giao lập chồng đúng 5 phần tử chung điểm. Kích cỡ hợp của khối A ∪ B đạt giá trị là 30.

Câu 11:Một hộp quà có chứa 15 tấm thẻ được đánh số danh mục từ 1 tới 15. Ký hiệu $A$: 'Rút được thẻ chia hết cho 3'. Số lượng phần tử thuận lợi cho khối biến cố A bằng bao nhiêu?

Câu 12:Một thống kê có kết cấu $n(X) = 22$, $n(Y)= 30$. Phân vùng hợp đếm quy luật nhận kết quả $n(X \cup Y) = 45$. Số lượng kết quả của tập phân tử giao $XY$ nhận giá trị bao nhiêu?

IV. Bài tập tự luận tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp

Bài 1. Biểu diễn Hợp - Giao cơ bản: Sĩ số lớp là 45 học sinh. Gọi biến cố học sinh thỏa tính chất R: “Đi học bằng xe đạp”, W: “Đi học bằng xe bus”. a) Mô tả rõ hiện tượng sự kiện của hợp $R \cup W$ bằng lời.

b) Mô tả sự giao cắt của phủ định $\overline{R}\overline{W}$ . Liệt kê một loại phương tiện minh họa khác trong thực tế để đáp ứng sự hiện diện của không gian này.

Bài 2. Xác định cấu trúc không gian mẫu bộ đôi: Tung một con xúc xắc. Nhận dạng biến cố $A$ : “Mặt nhỏ hơn 4”, biến cố $B$ : “Mặt chẵn”. a) Liệt kê cụ thể từng giới hạn kết quả của A và B.

b) Tính số lượng phần tử của cả khối biến cố hợp $A \cup B$ và biến cố giao cắt $AB$ .

Bài 3. Ngôn ngữ Hợp Giao trong vấn đề thực tiễn: Hai tổ thợ xây P và Q thực hiện tiến độ xây dựng riêng biệt độc lập. Trọng tâm biến cố đánh giá: “Hoàn thiện xong kết cấu sớm tiến độ”. a) Hãy phát biểu ý nghĩa thành lời mệnh đề quy hợp $P \cup Q$ .

b) Đọc cấu trúc mệnh đề tương tác giao đoạn $P \cdot \overline{Q}$ .

Bài 4. Nhận diện tính linh hoạt Độc lập: Quay thưởng vòng quay trò chơi 2 lần lần lượt liên tiếp (chạy số từ 0 đến 9). M: “Vòng đầu ra số 9”; N: “Vòng sau ra số 9”. a) Liệu biến cố M ở vòng 1 có tác động phụ thuộc xác suất đối với biến kết quả ở vòng 2 không?

b) Mệnh đề $M$ và $\overline{N}$ có giữ được trạng thái truyền dẫn độc lập không?

Bài 5. Đánh giá tính bảo toàn phụ thuộc rút ngẫu nhiên: Trong 1 thùng hộp kín chứa $5$ tờ trắng và $3$ tờ đỏ. Người ta lần lượt rút ngẫu nhiên liên tiếp 2 tờ bằng cách lôi từng tờ nhưng (KHÔNG HOÀN LẠI), rút ra đưa giữ bên ngoài. a) Cho $B$ : “Tờ thứ nhất màu đỏ”; $C$ : “Tờ thứ hai màu đỏ”. B có chi phối xác suất độc lập đối với C không? Giải thích rõ.

b) Nếu điều kiện thay đổi thành (HOÀN LẠI), thì tính chất kết cấu hai sự kiện sẽ biến dạng thành thế nào?

Bài 6. Đếm bù trừ sơ đồ khối: Một lớp học sinh tham gia sinh hoạt ghi nhận 12 bạn đăng ký khóa học Lý, 18 bạn đăng ký khóa học Hóa. Đặc biệt thống kê có 6 bạn đăng ký tham gia giao thoa đồng thời cả hai giáo trình. a) Hãy tính toán số học sinh tham gia đăng ký tối thiểu quy chuẩn 1 môn học.

b) Được biết trong sinh hoạt lớp có 4 bạn không đăng ký khóa học nào. Cập nhật tổng sĩ số tính tổng cho toàn bộ học sinh lớp đó.

Bài 7. Đếm giao kết xúc xắc ngẫu nhiên: Tung cùng lúc hai hạt xúc xắc tự nhiên vào thể hiện trạng thái trên bàn. Sự kiện $T$ : “Kết quả hai mặt số giống nhau”. Bối cảnh $K$ : “Hiệu của hai mặt xu ra là một số lẻ”. a) Nếu tiến hành liệt kê không gian số lượng, số lượng tập giao thoa cắt điểm của hai biến cố trên là bao nhiêu?

b) Đánh giá tại sao biến cố T và K thuộc trạng thái xung khắc nhau tự nhiên?

Bài 8. Đại số tập hợp cơ bản: Cho định lượng không gian số tập $n(V_1)=10$ , $n(V_2)=20$ . Hệ chứa kết cấu tổng toàn cục gộp hai khối nhận giá trị $n(V_1 \cup V_2)= 25$ . a) Số lượng phần tử thuộc hệ nằm chung tại khoảng giao điểm cắt của hai tập?

b) Tính tính kích thước chứa phân nhánh đại diện thuộc phần riêng tư $V_1$ . (Chỉ duy nhất $V_1$ ).

Bài 9. Sự kiện đa phân chia trạng thái: Trên trung tâm thi đấu có ba vận động viên lần lượt bắn loạt đạn cung là $L_1, L_2, L_3$ vào cùng bia mục tiêu một cách độc lập không tác động ngoại cảnh. a) Hiện thực hóa sự kiện trên thành ngôn ngữ biến đại số với biểu thị: “Chỉ có duy nhất một vận động viên 1 ngắm chính tâm đích”.

b) Thiết lập định dạng biến cố tương tác đối nghịch cho hiện trạng mệnh đề: “Ít nhất có một vận động viên hiện hữu ghi kết quả điểm số”.

Bài 10. Gieo kết quả học thuật: $A_i$ : “Lan vượt qua bài thi chuẩn đầu ra của môn thứ $i$ ( $i \in \{1, 2, 3\}$ )”. a) Giải thích ngôn ngữ cấu trúc biểu đồ sự kiện cho hệ hợp quy $A_1 \cup A_2 \cup A_3$ .

b) Phân tích định nghĩa cho quy hoạch biểu thức: $A_1\overline{A_2}A_3$ . Kết quả kì thi môn thứ nhất có tham chiếu ảnh hưởng tỷ lệ lên tính chất ngẫu nhiên độc lập đối với kết quả qua môn thứ 2 và thứ 3 không?

💡 Đóng/Mở Đáp án chi tiết

Bài 1: a) $R \cup W$ : “Học sinh được chọn sử dụng xe đạp HOẶC đi bằng hệ thống xe bus công cộng để đến trường.” b) $\overline{R}\overline{W}$ : “Học sinh KHÔNG đi xe đạp, ĐỒNG THỜI cũng không sử dụng xe bus công cộng.” Minh họa: Các bạn có thể có người thân chở bằng phương tiện cá nhân hoặc đi bộ.

Bài 2: a) $A = \{1, 2, 3\}$ ; $B = \{2, 4, 6\}$ . b) Biến hợp $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 6\}$ (Số lượng phần tử = 5). Biến giao $AB = \{2\}$ (Số lượng phần tử = 1).

Bài 3: a) Có ít nhất một tổ thợ xây có tiến trình hoàn thành kết cấu sớm tiến độ. b) Tổ thợ xây $P$ hoàn thiện sớm kết cấu NHƯNG tổ thợ $Q$ hoàn thiện chậm tiến độ chuẩn.

Bài 4: a) Không bị chi phối biến cục, kết quả vòng 2 luôn ngẫu nhiên và độc lập so với quá trình vòng quay trước (Là sự kiện biến cố Độc Lập). b) Bảo toàn thuộc tính của tính độc lập quy chuẩn. Nếu M và N độc lập, thì kiện hợp bổ đối M và $\overline{N}$ đương nhiên cũng được kế thừa thiết thức độc lập.

Bài 5: a) Biến $B$ và $C$ Không Độc Lập vì người lấy phiếu không hoàn trả phiếu gốc. Thao tác đó đẩy bộ phiếu bị suy giảm hệ quy mẫu và số lượng phân kì thẻ đỏ bị thay đổi xác suất ở bước rút thứ 2. b) Phép thử lúc này sẽ xoay đổi trở về dạng quy hồi CÓ HOÀN LẠI: Là 2 biến cố hoàn toàn chuẩn độc lập.

Bài 6: a) Số lượng học sinh tham gia tối thiểu đăng ký 1 nhánh môn học: $n(L \cup H) = 12 + 18 - 6 = 24$ . b) Sĩ số học sinh cả lớp đầy đủ thống kê = Số học sinh tham gia ngoại khóa (24 bạn) + Phân nhánh số học sinh không đăng ký (4 bạn) = $28$ bạn học sinh.

Bài 7: a) Giao điểm của hai tính chất không tồn tại trên thực tế cơ sở $\implies Giao = \emptyset$ . b) Hai hạt đổ ra rơi số tự y hệt thì hiệu của hai mặt xúc xắc tương tự nhau buộc phải bằng $0$ . Tuy nhiên biến cố K yêu cầu mang giá trị sai số là số lẻ. Do vậy hệ 2 trạng thái mệnh đề này xung khắc.

Bài 8: a) Lực lượng giao đếm số tự chung kết cấu bù trừ: $n(V_1 \cdot V_2) = 10 + 20 - 25 = 5$ . b) Kích thước hệ bảo lưu chỉ chứa mảng nguyên mẫu phụ thuộc của lượng riêng rẽ $V_1$ : Áp dụng quy tắc tính hiệu $n(V_1) - n(AB) = 10 - 5 = 5$ .

Bài 9: a) Khối đại số $\implies L_1\overline{L_2}\overline{L_3}$ . b) Sự kiện bổ khuyết “Ít nhất 1 xạ thủ ghi kết quả điểm trúng” mang bộ tính chất đối ngược hoàn toàn lại là: “Tất cả các xạ thủ đánh rơi kết quả bắn trượt mục tiêu định sẵn”. Kí hiệu biến giao $\implies \overline{L_1}\overline{L_2}\overline{L_3}$ .

Bài 10: a) Lan hoàn tất và nhận vượt qua trạng thái môn thi của ít nhất 1 bài thi môn ngẫu nhiên. b) Lan vượt qua kì thi môn thứ 1, nhưng trượt kì đánh giá môn 2, và rướn sức đạt điểm qua điều kiện môn 3. Theo logic thực tế hệ thống đào tạo, kết quả bài thi một môn này không ảnh hưởng trạng thái xác suất đối tượng kiểm định điểm số khác $\implies$ Đây là hệ thống chuỗi những sự kiện độc lập trong khoa học xác suất phân kì.

💬 Tham gia Group Facebook thảo luận bài tập →

🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Không giới hạn lần làm