Ôn chương 7 - Toán 11
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 7 - Toán 11 — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm Chương VII
- Hai đường thẳng vuông góc: $(a, b) = 90^\circ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
- Đường thẳng vuông góc mặt phẳng: $d \perp a, d \perp b$ ($a \cap b = \{O\}$) $\Rightarrow d \perp (P)$.
- Hai mặt phẳng vuông góc: $(P)$ chứa $d \perp (Q) \Rightarrow (P) \perp (Q)$. Định lí ba đường vuông góc.
- Góc: Góc giữa ĐT & MP $\in [0^\circ; 90^\circ]$, góc giữa 2 MP $\in [0^\circ; 90^\circ]$.
- Khoảng cách & Thể tích: $d(M, (P))$, $d(a, b)$, $V_{\text{chóp}} = \dfrac{1}{3} Bh$, $V_{\text{lăng trụ}} = Bh$.
II. Tổng hợp các định lí & công thức quan trọng
| Đối tượng | Công thức / Phương pháp |
|---|---|
| $d(A, (SBC))$ từ chân ĐC | $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AI^2}$ (2 nét vẽ) |
| Tỉ số khoảng cách | $\dfrac{d(M, (P))}{d(N, (P))} = \dfrac{MI}{NI}$ (với $MN \cap (P) = I$) |
| Thể tích chóp | $V = \dfrac{1}{3} B \cdot h$ |
| Thể tích lăng trụ | $V = B \cdot h$ |
| Tứ diện đều cạnh $a$ | $V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$ |
🔷 Dạng 1: Chứng minh quan hệ vuông góc
Áp dụng các định lí $d \perp (P) \Rightarrow d \perp a$ và $d \subset (Q) \Rightarrow (Q) \perp (P)$.
Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $BD \perp (SAC)$.
Xem lời giải
$BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC)$.
Từ ví dụ 1 suy ra $(SBD) \perp (SAC)$.
Xem lời giải
Vì $BD \subset (SBD)$ mà $BD \perp (SAC) \Rightarrow (SBD) \perp (SAC)$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Cho $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $\triangle ABC$ vuông tại $B$. Chứng minh $BC \perp (SAB)$.
Xem lời giải
$BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB)$.
Cho tứ diện $OABC$ có $OA, OB, OC$ đôi một vuông góc. Chứng minh $OA \perp (OBC)$.
Xem lời giải
$OA \perp OB, OA \perp OC \Rightarrow OA \perp (OBC)$.
🔷 Dạng 2: Tính góc trong không gian
- Góc giữa Cạnh bên và Đáy: $\widehat{SAH}$ với $SH \perp \text{đáy}$.
- Góc giữa Mặt bên và Đáy: Góc phẳng nhị diện tại giao tuyến.
Cho $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $SA = a\sqrt{3}$, $\triangle ABC$ vuông tại $B, AB = a$. Tính góc giữa $SB$ và $(ABC)$.
Xem lời giải
Góc $\widehat{SBA} = 60^\circ$ (do $\tan \widehat{SBA} = \sqrt{3}$).
Tính góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ ở Ví dụ 1.
Xem lời giải
Chính là góc $\widehat{SBA} = 60^\circ$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a, SA \perp (ABCD), SA = a$. Tính góc giữa $SC$ và $(ABCD)$.
Xem lời giải
$\tan \alpha = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha \approx 35.26^\circ$.
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $A'C$ và $(ABCD)$.
Xem lời giải
$\arctan(\sqrt{2}/2) \approx 35.26^\circ$.
🔷 Dạng 3: Tính khoảng cách
Dùng công thức 2 nét vẽ $AH = \dfrac{SA \cdot AI}{\sqrt{SA^2 + AI^2}}$ tính $d(A, (SBC))$.
Cho $S.ABC$ có $SA \perp (ABC), SA = a, AB = a, \triangle ABC$ vuông tại $B$. Tính $d(A, (SBC))$.
Xem lời giải
$AH = \dfrac{a \cdot a}{\sqrt{a^2 + a^2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a, SA \perp (ABCD), SA = a$. Tính $d(SA, BD)$.
Xem lời giải
Đoạn vuông góc chung $AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a, SA \perp (ABCD), SA = a\sqrt{3}$. Tính $d(A, (SCD))$.
Xem lời giải
$AH = \dfrac{a\sqrt{3} \cdot a}{\sqrt{3a^2 + a^2}} = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.
Cho hình lập phương cạnh $a$. Khoảng cách từ $A$ đến $(A'BD)$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Bằng $\dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.
🔷 Dạng 4: Tính thể tích khối đa diện
Chóp: $V = \dfrac{1}{3} Bh$. Lăng trụ: $V = Bh$. Tứ diện đều: $V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Cho $S.ABC$ có $SA \perp (ABC), SA = a\sqrt{3}$, $\triangle ABC$ vuông tại $B, AB = a, BC = a\sqrt{2}$. Tính $V$.
Xem lời giải
$B = a^2\sqrt{2}/2, h = a\sqrt{3} \Rightarrow V = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$.
Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $2a$.
Xem lời giải
$V = \dfrac{(2a)^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{2a^3\sqrt{2}}{3}$.
📝 Thực hành — Dạng 4
Cho lăng trụ đứng $ABC.A'B'C'$ đáy $\triangle ABC$ đều cạnh $a, AA' = a\sqrt{3}$. Tính $V$.
Xem lời giải
$B = a^2\sqrt{3}/4, h = a\sqrt{3} \Rightarrow V = \dfrac{3a^3}{4}$.
Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a, SA = a\sqrt{2}, SA \perp (ABCD)$. Tính $V$.
Xem lời giải
$V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$.
📝 Bài tập tự luận — Ôn tập tổng hợp
Bài 1. Nêu điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Xem lời giải
Vuông góc với 2 đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
Bài 2. Cho $S.ABC$ có $SA \perp (ABC)$, $\triangle ABC$ vuông tại $B$. Chứng minh $BC \perp SB$.
Xem lời giải
$BC \perp AB$ và $BC \perp SA \Rightarrow BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp SB$.
Bài 3. Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông, $SA \perp (ABCD)$. Chứng minh $(SAC) \perp (SBD)$.
Xem lời giải
$BD \perp AC$ và $BD \perp SA \Rightarrow BD \perp (SAC) \Rightarrow (SBD) \perp (SAC)$.
Bài 4. Tính góc giữa đường chéo hình lập phương và mặt phẳng đáy.
Xem lời giải
$\tan \alpha = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \alpha \approx 35.26^\circ$.
Bài 5. Cho $S.ABCD$ đáy hình vuông cạnh $a, SA \perp (ABCD), SA = a$. Tính $d(A, (SCD))$.
Xem lời giải
$AH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.
Bài 6. Tính thể tích khối tứ diện đều cạnh $a$.
Xem lời giải
$V = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.
Bài 7. Tính thể tích khối lăng trụ đứng tam giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.
Xem lời giải
$V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$.
Bài 8. Nêu công thức tính thể tích chóp cụt.
Xem lời giải
$V = \dfrac{1}{3} h (B + B' + \sqrt{BB'})$.
Bài 9. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng $AA'$ và $CC'$ trong hình lập phương cạnh $a$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
$a\sqrt{2}$.
Bài 10. Nếu $(P) \perp (Q)$ theo giao tuyến $c$, $a \subset (P)$ và $a \perp c$ thì $a$ có vị trí thế nào với $(Q)$?
Xem lời giải
$a \perp (Q)$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Chương VII. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương VII
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →