Bài 27: Thể tích

• Diện tích đáy $\triangle ABC$: $B = S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} AB \cdot BC = \dfrac{1}{2} \cdot a \cdot a\sqrt{2} = \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2}$.

• Chiều cao $h = SA = a\sqrt{3}$.

• Thể tích:

$$V = \dfrac{1}{3} B \cdot h = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{2}}{2} \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^3\sqrt{6}}{6}$$

• Góc giữa $SC$ và $(ABCD)$ là $\widehat{SCA} = 45^\circ$.

• $AC = a\sqrt{2} \Rightarrow SA = AC \tan 45^\circ = a\sqrt{2}$.

• $B = a^2 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot a\sqrt{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{3}$.

$B = a^2\sqrt{3}/4 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot 2a = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

$B = 2a^2 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3} (2a^2) a = \dfrac{2a^3}{3}$.

• Diện tích đáy $\triangle BCD$: $B = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4}$.

• Gọi $O$ là trọng tâm $\triangle BCD \Rightarrow AO \perp (BCD)$. $BO = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} = \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$.

• Chiều cao $h = AO = \sqrt{AB^2 - BO^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{3}} = \dfrac{a\sqrt{6}}{3}$.

• Thể tích: $V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{6}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{12}$.

• $B = a^2$. Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• Chiều cao $SO = \sqrt{SA^2 - AO^2} = \sqrt{a^2 - \dfrac{a^2}{2}} = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• $V = \dfrac{1}{3} a^2 \cdot \dfrac{a\sqrt{2}}{2} = \dfrac{a^3\sqrt{2}}{6}$.

$V = \dfrac{(2a)^3 \sqrt{2}}{12} = \dfrac{8a^3\sqrt{2}}{12} = \dfrac{2a^3\sqrt{2}}{3}$.

$AO = a\sqrt{3}/3 \Rightarrow SO = \sqrt{2a^2 - a^2/3} = a\sqrt{15}/3 \Rightarrow V = \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot \dfrac{a\sqrt{15}}{3} = \dfrac{a^3\sqrt{5}}{12}$.

• $B = S_{\triangle ABC} = \dfrac{1}{2} a \cdot a\sqrt{3} = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

• $h = AA' = 2a$.

• $V = B \cdot h = \dfrac{a^2\sqrt{3}}{2} \cdot 2a = a^3\sqrt{3}$.

$V = a \times 2a \times 3a = 6a^3$.

$B = a^2\sqrt{3}/4, h = a \Rightarrow V = \dfrac{a^3\sqrt{3}}{4}$.

Cạnh $x = \sqrt[3]{8a^3} = 2a \Rightarrow$ Đường chéo $D = 2a\sqrt{3}$.

$$\dfrac{V_{S.MNC}}{V_{S.ABC}} = \dfrac{SM}{SA} \cdot \dfrac{SN}{SB} \cdot \dfrac{SC}{SC} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot 1 = \dfrac{1}{4}$$

Suy ra $V_{S.MNC} = \dfrac{1}{4} \times 24 = 6$.

$$V = \dfrac{1}{3} \cdot 6 \cdot \left(4 + 9 + \sqrt{4 \times 9}\right) = 2 \cdot (13 + 6) = 38 \text{ cm}^3$$

Phần trên $= 1/8$, phần dưới $= 7/8 \Rightarrow$ Tỉ số là $\dfrac{1}{7}$.

$V = \dfrac{1}{3} (3) (1 + 4 + 2) = 7$.