Bài 26: Khoảng cách

• Do $\triangle ABC$ vuông tại $B \Rightarrow AB \perp BC$ (Nét 1 có sẵn điểm $I \equiv B$).

• Kẻ $AH \perp SB$ tại $H$ (Nét 2). Vì $BC \perp (SAB) \Rightarrow BC \perp AH \Rightarrow AH \perp (SBC)$.

• Trong tam giác vuông $SAB$ ($SA = a, AB = a$):

$$\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AB^2} = \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{2}{a^2} \Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$$

• Nét 1: $AD \perp CD$ tại $D$. Nét 2: Kẻ $AH \perp SD$ tại $H \Rightarrow d(A, (SCD)) = AH$.

• $\dfrac{1}{AH^2} = \dfrac{1}{SA^2} + \dfrac{1}{AD^2} = \dfrac{1}{3a^2} + \dfrac{1}{a^2} = \dfrac{4}{3a^2} \Rightarrow AH = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}$.

Đường cao $AI = a\sqrt{3}/2$. $1/AH^2 = 1/a^2 + 4/(3a^2) = 7/(3a^2) \Rightarrow AH = a\sqrt{21}/7$.

$1/AH^2 = 1/(2a^2) + 1/a^2 = 3/(2a^2) \Rightarrow AH = a\sqrt{6}/3$.

• Do $AB // CD \Rightarrow AB // (SCD) \Rightarrow d(M, (SCD)) = d(A, (SCD))$.

• Tính $d(A, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2} \Rightarrow d(M, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Đường thẳng $CC'$ cắt $(SAB)$ tại $S$. Ta có $\dfrac{d(C', (SAB))}{d(C, (SAB))} = \dfrac{SC'}{SC} = \dfrac{1}{2}$.

$AO$ cắt $(SCD)$ tại $C$, $CO/CA = 1/2 \Rightarrow d(O, (SCD)) = \dfrac{1}{2} d(A, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{2}}{4}$.

Bằng $\dfrac{1}{3}$.

Do $AB // CD \Rightarrow AB // (SCD) \Rightarrow d(AB, (SCD)) = d(A, (SCD)) = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

$d((ABC), (A'B'C')) = AA' = 5$.

Bằng $d(A, (SCD))$.

Bằng $a$.

• Gọi $O = AC \cap BD$. Ta có $AO \perp BD$ và $AO \perp SA$ (do $SA \perp (ABCD)$).

• Vậy $AO$ là đoạn vuông góc chung của $SA$ và $BD \Rightarrow d(SA, BD) = AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• Vì $CD // AB \Rightarrow CD // (SAB)$.

• Do đó $d(SB, CD) = d(CD, (SAB)) = d(D, (SAB)) = AD = a$.

Đoạn vuông góc chung $AO = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

Bằng $AC = a\sqrt{2}$.