Bài 24: Phép chiếu vuông góc. Góc

• Hình chiếu của $S$ trên $(ABC)$ là điểm $A$ (do $SA \perp (ABC)$).

• Hình chiếu của $B$ trên $(ABC)$ là điểm $B$ (do $B \in (ABC)$).

Do đó hình chiếu vuông góc của đoạn thẳng $SB$ trên $(ABC)$ là đoạn thẳng $AB$.

Hình chiếu của $S$ là $O$, $A$ là $A \Rightarrow$ Hình chiếu của $SA$ trên $(ABCD)$ là $OA$.

Chính là đoạn thẳng $AC$ (vì $A'A \perp (ABCD)$ và $C \in (ABCD)$).

Chính là tam giác $ABC$.

• Hình chiếu của $SB$ trên $(ABC)$ là $AB \Rightarrow \alpha = \widehat{(SB, (ABC))} = \widehat{SBA}$.

• Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$:

$$\tan \widehat{SBA} = \dfrac{SA}{AB} = \dfrac{a\sqrt{3}}{a} = \sqrt{3} \Rightarrow \widehat{SBA} = 60^\circ$$

• Gọi $O = AC \cap BD \Rightarrow SO \perp (ABCD) \Rightarrow$ Góc là $\widehat{SAO}$.

• $AO = \dfrac{1}{2} AC = \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$.

• $\cos \widehat{SAO} = \dfrac{AO}{SA} = \dfrac{a\sqrt{2}/2}{a\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \widehat{SAO} = 60^\circ$.

$\tan \alpha = SA/AB = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

$\tan \widehat{SCA} = \dfrac{a\sqrt{6}}{2a} = \dfrac{\sqrt{6}}{2} \Rightarrow \widehat{SCA} = \arctan\left(\dfrac{\sqrt{6}}{2}\right) \approx 50.77^\circ$.

• Do $BC \perp (SAB) \Rightarrow$ Hình chiếu của $SC$ trên $(SAB)$ là $SB$.

• Vậy góc giữa $SC$ và $(SAB)$ là $\widehat{CSB}$.

• $\tan \widehat{CSB} = \dfrac{BC}{SB}$.

• $AD \perp (SAB) \Rightarrow$ Hình chiếu của $SD$ trên $(SAB)$ là $SA \Rightarrow$ Góc là $\widehat{DSA}$.

• $\tan \widehat{DSA} = \dfrac{AD}{SA} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.

Là đường thẳng $SC$ (do $BC \perp (SAC)$).

$SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = a\sqrt{3} \Rightarrow \sin \widehat{DSA} = \dfrac{AD}{SD} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.

• Hình chiếu của $A'C$ trên $(ABCD)$ là $AC \Rightarrow$ Góc là $\widehat{A'CA}$.

• Cạnh hình vuông bằng $a \Rightarrow AC = a\sqrt{2}, A'A = a$.

• $\tan \widehat{A'CA} = \dfrac{A'A}{AC} = \dfrac{a}{a\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow \widehat{A'CA} = \arctan\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) \approx 35.26^\circ$.

• Do $CA \perp (AA'B'B) \Rightarrow$ Hình chiếu của $B'C$ trên $(AA'B'B)$ là $B'A \Rightarrow$ Góc là $\widehat{CB'A}$.

• $B'A = \sqrt{AA'^2 + AB^2} = \sqrt{2a^2 + a^2} = a\sqrt{3}$.

• $\tan \widehat{CB'A} = \dfrac{AC}{B'A} = \dfrac{a}{a\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \Rightarrow \widehat{CB'A} = 30^\circ$.

Đường chéo mặt đáy $d = a\sqrt{2}$. Chiều cao $h = a\sqrt{2} \Rightarrow \tan \alpha = \dfrac{a\sqrt{2}}{a\sqrt{2}} = 1 \Rightarrow \alpha = 45^\circ$.

Bằng $\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right) \approx 35.26^\circ$.