Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 22: Hai đường thẳng vuông góc — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$ nếu giá của $\vec{u}$ song song hoặc trùng với $d$.
Nếu $\vec{u}$ là VTCP của $d$ thì $k\vec{u}$ ($k \ne 0$) cũng là VTCP của $d$.
II. Góc giữa hai đường thẳng trong không gian
Góc giữa hai đường thẳng $a$ và $b$ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng $a'$ và $b'$ cùng đi qua một điểm $O$ và lần lượt song song với $a$ và $b$. Kí hiệu $(a, b)$.
Giả sử $\vec{u}, \vec{v}$ lần lượt là VTCP của $a$ và $b$:
$$\cos(a, b) = |\cos(\vec{u}, \vec{v})| = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$$Chú ý: $0^\circ \le (a, b) \le 90^\circ$.
III. Hai đường thẳng vuông góc
Hai đường thẳng $a$ và $b$ gọi là vuông góc với nhau, kí hiệu $a \perp b$, nếu góc giữa chúng bằng $90^\circ$.
$$a \perp b \Leftrightarrow (a, b) = 90^\circ \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0$$🔷 Dạng 1: Tính góc giữa hai đường thẳng
- Từ một điểm thích hợp, vẽ các đường song song với 2 đường thẳng ban đầu để đưa về góc giữa hai đường thẳng cắt nhau trong 1 mặt phẳng.
- Dùng định lí cosin trong tam giác để tính góc.
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $A'D$.
Xem lời giải
• Ta có $A'D // B'C \Rightarrow (AC, A'D) = (AC, B'C)$.
• Xét tam giác $ACB'$ có 3 cạnh $AC, CB', AB'$ đều là đường chéo của các hình vuông bằng nhau cạnh $a$.
Do đó $AC = CB' = AB' = a\sqrt{2} \Rightarrow \triangle ACB'$ là **tam giác đều**.
Suy ra $\widehat{ACB'} = 60^\circ \Rightarrow (AC, A'D) = 60^\circ$.
Cho tứ diện đều $ABCD$. Tính góc giữa $AB$ và $CD$.
Xem lời giải
• Xét tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
• Do $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $\vec{AB} \cdot \vec{AD} = a^2 \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$ và $\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \dfrac{a^2}{2}$.
Suy ra $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \Rightarrow AB \perp CD \Rightarrow (AB, CD) = 90^\circ$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AB$ và $B'C$.
Xem lời giải
$AB // A'B' \Rightarrow (AB, B'C) = (A'B', B'C) = 45^\circ$ (đường chéo hình vuông $A'B'CB$).
Cho hình chóp $S.ABC$ có $SA = SB = SC = AB = AC = a, BC = a\sqrt{2}$. Tính góc giữa $SA$ và $BC$.
Xem lời giải
$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = \vec{SA} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = \vec{SA} \cdot \vec{AC} - \vec{SA} \cdot \vec{AB} = 0 \Rightarrow (SA, BC) = 90^\circ$.
🔷 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc
- Chứng minh góc giữa hai đường thẳng bằng $90^\circ$.
- Hoặc chứng minh tích vô hướng của hai VTCP bằng 0: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
- Hoặc sử dụng định lí đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình vuông. Biết $SA \perp AB$ và $SA \perp AD$. Chứng minh $SA \perp CD$.
Xem lời giải
• Do $ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow CD // AB$.
• Ta có $SA \perp AB$. Vì $CD // AB \Rightarrow SA \perp CD$ (ĐPCM).
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB \perp CD$ và $AC \perp BD$. Chứng minh $AD \perp BC$.
Xem lời giải
• $\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0 \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = 0 \Leftrightarrow \vec{AB} \cdot \vec{AD} = \vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
• tương tự $\vec{AC} \cdot \vec{BD} = 0 \Leftrightarrow \vec{AC} \cdot \vec{AD} = \vec{AC} \cdot \vec{AB}$.
Suy ra $\vec{AD} \cdot (\vec{AC} - \vec{AB}) = 0 \Leftrightarrow \vec{AD} \cdot \vec{BC} = 0 \Rightarrow AD \perp BC$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $AB \perp B'C'$.
Xem lời giải
$B'C' // BC$. Mà $AB \perp BC \Rightarrow AB \perp B'C'$.
Trong tứ diện đều $ABCD$, chứng minh các cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau.
Xem lời giải
Đã chứng minh ở Ví dụ 2 Dạng 1: $AB \perp CD, AC \perp BD, AD \perp BC$.
🔷 Dạng 3: Sử dụng tích vô hướng của hai vectơ
Phân tích hai vectơ chỉ phương theo ba vectơ không đồng phẳng để tính tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Cho tứ diện $ABCD$ có $AB = AC = AD = a$ và $\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^\circ$. Tính tích vô hướng $\vec{AB} \cdot \vec{CD}$.
Xem lời giải
$$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}$$ $$= a \cdot a \cos 60^\circ - a \cdot a \cos 60^\circ = 0$$
Vậy $AB \perp CD$.
Cho $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}| = 2, |\vec{v}| = 3$ và góc $(\vec{u}, \vec{v}) = 120^\circ$. Tính $\vec{u} \cdot \vec{v}$.
Xem lời giải
$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos 120^\circ = 2 \times 3 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -3$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Nếu $\vec{u} \cdot \vec{v} = -5$, góc giữa 2 đường thẳng chứa $\vec{u}, \vec{v}$ tính theo góc giữa 2 vectơ thế nào?
Xem lời giải
Góc giữa 2 ĐT $= 180^\circ - (\vec{u}, \vec{v})$.
Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$ nếu $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, (\vec{a}, \vec{b})=60^\circ$.
Xem lời giải
$3 \times 4 \times \cos 60^\circ = 6$.
🔷 Dạng 4: Góc trong tứ diện đều & hình lập phương
Áp dụng các đường chéo của mặt hình vuông hoặc hình chiếu trung điểm.
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AB'$ và $BC'$.
Xem lời giải
• $AB' // DC' \Rightarrow (AB', BC') = (DC', BC')$.
• $\triangle A'B'C$ hay $\triangle BDC'$ là tam giác đều $\Rightarrow$ góc bằng $60^\circ$.
Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M, N$ là trung điểm $AB, CD$. Tính góc giữa $MN$ và $AB$.
Xem lời giải
Do $MN$ là đường vuông góc chung nên $MN \perp AB \Rightarrow (MN, AB) = 90^\circ$.
📝 Thực hành — Dạng 4
Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tính góc giữa $AC$ và $B'C'$.
Xem lời giải
$B'C' // BC \Rightarrow (AC, BC) = 45^\circ$.
Góc giữa 2 đường chéo của 2 mặt kề nhau cùng xuất phát từ 1 đỉnh trong hình lập phương bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Bằng $60^\circ$ (tam giác tạo bởi 3 đường chéo là tam giác đều).
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp
Bài 1. Nêu công thức tính góc giữa hai đường thẳng qua góc giữa 2 VTCP.
Xem lời giải
$\cos(a, b) = \dfrac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.
Bài 2. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm góc giữa $AA'$ và $BC$.
Xem lời giải
$90^\circ$.
Bài 3. Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Tìm góc giữa $BD$ và $A'C'$.
Xem lời giải
$90^\circ$ (vì $A'C' // AC$ và $BD \perp AC$).
Bài 4. Cho tứ diện đều $ABCD$. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, CD$. Chứng minh $MN \perp CD$.
Xem lời giải
$\triangle ACD$ và $\triangle BCD$ cân $\Rightarrow AN \perp CD$ và $BN \perp CD \Rightarrow CD \perp (ABN) \Rightarrow CD \perp MN$.
Bài 5. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì có song song không?
Xem lời giải
Chưa chắc (trong không gian chúng có thể cắt nhau hoặc chéo nhau).
Bài 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình chữ nhật. $SA \perp AB, SA \perp AD$. Chứng minh $SA \perp BC$.
Xem lời giải
Do $BC // AD$ và $SA \perp AD \Rightarrow SA \perp BC$.
Bài 7. Cho $\vec{u}, \vec{v}$ có $|\vec{u}|=1, |\vec{v}|=2$ và $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1$. Tính góc giữa $a$ và $b$.
Xem lời giải
$\cos(\vec{u}, \vec{v}) = -1/2 \Rightarrow (\vec{u}, \vec{v}) = 120^\circ \Rightarrow (a, b) = 60^\circ$.
Bài 8. Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Gọi $S$ nằm ngoài $(ABC)$ sao cho $SA \perp AB$ và $SA \perp AC$. Tính góc $(SA, BC)$.
Xem lời giải
$SA \perp (ABC) \Rightarrow SA \perp BC \Rightarrow (SA, BC) = 90^\circ$.
Bài 9. Trong hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$, góc giữa $AB'$ và $C'D$ bằng bao nhiêu?
Xem lời giải
Do $C'D // B'A$ nên $(AB', C'D) = (AB', B'A) = 90^\circ$.
Bài 10. Nếu $a // b$ và $b \perp c$ thì mối quan hệ giữa $a$ và $c$ là gì?
Xem lời giải
$a \perp c$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Hai đường thẳng vuông góc. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →