Bài 21: PT, BPT mũ và lôgarit

Ta có $16 = 2^4$:

$$2^{x^2 - 3x} = 2^4 \Leftrightarrow x^2 - 3x = 4 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$$ $$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x = -1 \\ x = 4 \end{bmatrix}$$

Tập nghiệm $S = \{-1; 4\}$.

ĐK: $\begin{cases} x - 1 > 0 \\ x + 1 > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x > 1$.

$$\log_2 [(x-1)(x+1)] = 3 \Leftrightarrow (x-1)(x+1) = 2^3 = 8$$ $$x^2 - 1 = 8 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3 \text{ (do } x > 1\text{)}.$$

Nghiệm $x = 3$.

$3^{2x-1} = 3^3 \Leftrightarrow 2x - 1 = 3 \Leftrightarrow 2x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.

ĐK $x > -1/2$. $2x + 1 = 3^2 = 9 \Leftrightarrow 2x = 8 \Leftrightarrow x = 4$.

Đặt $t = 2^x$ ($t > 0$), phương trình trở thành:

$$t^2 - 5t + 4 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = 1 \\ t = 4 \end{bmatrix}$$

• Với $t = 1 \Rightarrow 2^x = 1 \Leftrightarrow x = 0$.

• Với $t = 4 \Rightarrow 2^x = 4 \Leftrightarrow x = 2$.

Tập nghiệm $S = \{0; 2\}$.

ĐK: $x > 0$. Đặt $t = \log_2 x$:

$$t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} t = 1 \\ t = 2 \end{bmatrix}$$

• $t = 1 \Rightarrow \log_2 x = 1 \Leftrightarrow x = 2$.

• $t = 2 \Rightarrow \log_2 x = 2 \Leftrightarrow x = 4$.

Tập nghiệm $S = \{2; 4\}$.

Đặt $t = 3^x > 0 \Rightarrow t^2 - 3t + 2 = 0 \Leftrightarrow t = 1$ hoặc $t = 2$. Nghiệm $x = 0$ hoặc $x = \log_3 2$.

Đặt $t = \lg x \Rightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \text{ hoặc } t = 3 \Rightarrow x = 10 \text{ hoặc } x = 1000$.

Ta có $\dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$. Cơ số $a = \dfrac{1}{2} < 1$ nên đổi chiều BPT:

$$2x - 1 \le 3 \Leftrightarrow 2x \le 4 \Leftrightarrow x \le 2$$

Tập nghiệm $S = (-\infty; 2]$.

Cơ số $2 > 1$:

$$0 < 3x - 1 < 2^3 = 8 \Leftrightarrow 1 < 3x < 9 \Leftrightarrow \dfrac{1}{3} < x < 3$$

Tập nghiệm $S = \left(\dfrac{1}{3}; 3\right)$.

$5^{3x-2} > 5^2 \Leftrightarrow 3x - 2 > 2 \Leftrightarrow 3x > 4 \Leftrightarrow x > 4/3$.

Cơ số $1/3 < 1 \Rightarrow 0 < x + 2 \le (1/3)^{-1} = 3 \Leftrightarrow -2 < x \le 1$. Tập nghiệm $S = (-2; 1]$.

Đặt $t = 2^x > 0$. PT thành: $t^2 - 2t + m = 0 \Leftrightarrow m = -t^2 + 2t = f(t)$.

Lập bảng biến thiên $f(t) = -t^2 + 2t$ trên $(0; +\infty)$:

Đỉnh parabal tại $t = 1 \Rightarrow f(1) = 1$. Giá trị $f(t)$ thuộc $(-\infty; 1]$. Vì $t > 0$ nên $f(t)$ có tập giá trị là $(0; 1]$.

Để PT có nghiệm $t > 0$ thì $m \le 1$.

Đặt $t = \log_3 x$ ($t \in \mathbb{R}$). PT thành: $t^2 - mt + 1 = 0$.

Để PT ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $x > 0 \Leftrightarrow$ PT theo $t$ có 2 nghiệm phân biệt:

$$\Delta = m^2 - 4 > 0 \Leftrightarrow m < -2 \text{ hoặc } m > 2$$

Đặt $t = 3^x > 0 \Rightarrow t^2 - 2t + m = 0$ phải có 2 nghiệm dương phân biệt. Điều kiện: $\begin{cases} \Delta' = 1 - m > 0 \\ S = 2 > 0 \\ P = m > 0 \end{cases} \Leftrightarrow 0 < m < 1$.

$m > 0$.