Bài 19: Lôgarit
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 19: Lôgarit — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Khái niệm lôgarit
Cho hai số thực dương $a, b$ với $a \ne 1$. Số $\alpha$ thỏa mãn $a^\alpha = b$ được gọi là lôgarit cơ số $a$ của $b$, kí hiệu là $\log_a b$.
$$\alpha = \log_a b \Leftrightarrow a^\alpha = b$$Chú ý: Không có lôgarit của số âm và số 0 ($b > 0$). Cơ số $a > 0$ và $a \ne 1$.
Các tính chất cơ bản:
- $\log_a 1 = 0$
- $\log_a a = 1$
- $\log_a a^b = b$
- $a^{\log_a b} = b$
II. Tính chất của lôgarit
Cho $a > 0, a \ne 1$ và $x, y > 0$:
- Lôgarit của một tích: $\log_a (x \cdot y) = \log_a x + \log_a y$
- Lôgarit của một thương: $\log_a \left(\dfrac{x}{y}\right) = \log_a x - \log_a y$
- Lôgarit của luỹ thừa: $\log_a x^k = k \log_a x$ (với mọi $k \in \mathbb{R}$)
- $\log_a \sqrt[n]{x} = \dfrac{1}{n} \log_a x$
III. Công thức đổi cơ số
Cho $a, b, c > 0$ với $a \ne 1, c \ne 1$:
$$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$$Hệ quả:
- $\log_a b = \dfrac{1}{\log_b a}$ (với $b \ne 1$)
- $\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b$ (với $k \ne 0$)
IV. Lôgarit thập phân & Lôgarit tự nhiên
- Lôgarit thập phân: Lôgarit cơ số 10, kí hiệu $\log b$ hoặc $\lg b$.
- Lôgarit tự nhiên: Lôgarit cơ số $e \approx 2.71828$, kí hiệu $\ln b$.
🔷 Dạng 1: Tính giá trị & Rút gọn lôgarit
- Phân tích các số dưới dấu lôgarit về các thừa số nguyên tố.
- Dùng tính chất tích, thương, luỹ thừa để biến đổi.
Tính $A = \log_2 8 + \log_3 81 - \log_5 125$.
Xem lời giải
• $\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$.
• $\log_3 81 = \log_3 3^4 = 4$.
• $\log_5 125 = \log_5 5^3 = 3$.
$A = 3 + 4 - 3 = 4$.
Rút gọn $B = \log_2 3 \cdot \log_3 5 \cdot \log_5 8$.
Xem lời giải
Áp dụng công thức nối cơ số $\log_a b \cdot \log_b c = \log_a c$:
$$B = \log_2 5 \cdot \log_5 8 = \log_2 8 = \log_2 2^3 = 3$$📝 Thực hành — Dạng 1
Tính $P = \log_4 16 + \log_{\frac{1}{2}} 8$.
Xem lời giải
$\log_4 16 = 2$, $\log_{2^{-1}} 2^3 = -3 \Rightarrow P = 2 - 3 = -1$.
Rút gọn $P = 4^{\log_2 5}$.
Xem lời giải
$4^{\log_2 5} = (2^2)^{\log_2 5} = (2^{\log_2 5})^2 = 5^2 = 25$.
🔷 Dạng 2: Biểu diễn lôgarit theo a, b
- Phân tích số cần biểu diễn thành thừa số nguyên tố.
- Áp dụng quy tắc lôgarit để đưa về các $a = \log_x y, b = \log_x z$.
Cho $a = \log_2 3$ và $b = \log_2 5$. Biểu diễn $\log_2 60$ theo $a$ và $b$.
Xem lời giải
Phân tích $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$:
$$\log_2 60 = \log_2 (2^2 \cdot 3 \cdot 5) = \log_2 2^2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 2 + a + b$$Cho $\log_2 3 = a$. Biểu diễn $\log_{12} 18$ theo $a$.
Xem lời giải
Đổi về cơ số 2:
$$\log_{12} 18 = \dfrac{\log_2 18}{\log_2 12} = \dfrac{\log_2 (2 \cdot 3^2)}{\log_2 (2^2 \cdot 3)} = \dfrac{1 + 2\log_2 3}{2 + \log_2 3} = \dfrac{1 + 2a}{2 + a}$$📝 Thực hành — Dạng 2
Cho $\log_2 5 = a$. Tính $\log_2 40$ theo $a$.
Xem lời giải
$\log_2 40 = \log_2 (2^3 \cdot 5) = 3 + a$.
Cho $\lg 2 = a$. Tính $\lg 5$ theo $a$.
Xem lời giải
$\lg 5 = \lg \left(\dfrac{10}{2}\right) = \lg 10 - \lg 2 = 1 - a$.
🔷 Dạng 3: Áp dụng công thức đổi cơ số
- Dùng $\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$ hoặc $\log_{a^k} b = \dfrac{1}{k} \log_a b$.
Tính $P = \log_{\sqrt{2}} 8 + \log_9 27$.
Xem lời giải
• $\log_{2^{\frac{1}{2}}} 2^3 = 3 \cdot \dfrac{1}{1/2} = 6$.
• $\log_{3^2} 3^3 = \dfrac{3}{2}$.
$P = 6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}$.
Rút gọn $P = \log_a b^2 + \log_{a^2} b^4$.
Xem lời giải
$P = 2 \log_a b + \dfrac{4}{2} \log_a b = 2 \log_a b + 2 \log_a b = 4 \log_a b$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Tính $P = \log_{\sqrt{3}} 9$.
Xem lời giải
$\log_{3^{1/2}} 3^2 = 2 \times 2 = 4$.
Cho $a, b > 0, a \ne 1, b \ne 1$. Tính $P = \log_a b \cdot \log_b a$.
Xem lời giải
$P = 1$.
🔷 Dạng 4: So sánh các lôgarit
- Nếu $a > 1$: $\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow x > y > 0$.
- Nếu $0 < a < 1$: $\log_a x > \log_a y \Leftrightarrow 0 < x < y$.
So sánh $A = \log_2 5$ và $B = \log_2 7$.
Xem lời giải
Cơ số $a = 2 > 1$. Vì $5 < 7 \Rightarrow \log_2 5 < \log_2 7 \Rightarrow A < B$.
So sánh $A = \log_{0.5} 3$ và $B = \log_{0.5} 5$.
Xem lời giải
Cơ số $a = 0.5 < 1$. Vì $3 < 5 \Rightarrow \log_{0.5} 3 > \log_{0.5} 5 \Rightarrow A > B$.
📝 Thực hành — Dạng 4
So sánh $\log_3 10$ và $2$.
Xem lời giải
$2 = \log_3 9$. Vì $10 > 9 \Rightarrow \log_3 10 > 2$.
Biết $\log_a 2 < \log_a 3$. Tìm điều kiện của $a$.
Xem lời giải
Vì $2 < 3$ và giữ nguyên chiều $\Rightarrow a > 1$.
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp
Bài 1. Tính $A = \log_3 27 + \log_2 \dfrac{1}{8}$.
Xem lời giải
$3 - 3 = 0$.
Bài 2. Rút gọn $B = \log_a (a^3 \sqrt{a})$ với $a > 0, a \ne 1$.
Xem lời giải
$\log_a (a^{7/2}) = \dfrac{7}{2}$.
Bài 3. Cho $\log_2 3 = a$. Tính $\log_2 36$ theo $a$.
Xem lời giải
$\log_2 (4 \times 9) = \log_2 4 + \log_2 9 = 2 + 2a$.
Bài 4. Rút gọn $P = 9^{\log_3 4}$.
Xem lời giải
$(3^2)^{\log_3 4} = (3^{\log_3 4})^2 = 4^2 = 16$.
Bài 5. Tính $P = \log_2 3 \cdot \log_3 4 \cdot \log_4 5 \dots \log_{31} 32$.
Xem lời giải
$\log_2 32 = \log_2 2^5 = 5$.
Bài 6. So sánh $\log_{\frac{1}{3}} 4$ và $\log_{\frac{1}{3}} 5$.
Xem lời giải
Cơ số $1/3 < 1 \Rightarrow \log_{1/3} 4 > \log_{1/3} 5$.
Bài 7. Cho $\lg 2 = a, \lg 3 = b$. Tính $\lg 15$ theo $a, b$.
Xem lời giải
$\lg 15 = \lg (3 \times 5) = \lg 3 + \lg 5 = b + (1 - a) = 1 - a + b$.
Bài 8. Tính $P = \log_4 8$.
Xem lời giải
$\log_{2^2} 2^3 = \dfrac{3}{2}$.
Bài 9. Tìm điều kiện để biểu thức $\log_x (3 - x)$ có nghĩa.
Xem lời giải
$\begin{cases} x > 0, x \ne 1 \\ 3 - x > 0 \end{cases} \Leftrightarrow x \in (0; 3) \setminus \{1\}$.
Bài 10. Rút gọn $A = \ln (e^3 \cdot \sqrt{e})$.
Xem lời giải
$\ln (e^{7/2}) = \dfrac{7}{2}$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Lôgarit. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Lôgarit
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →