Bài 18: Luỹ thừa với số mũ thực

• Tử số: $a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{-\frac{1}{3}} + a^{\frac{4}{3}} \cdot a^{\frac{2}{3}} = a^1 + a^2 = a(1 + a)$.

• Mẫu số: $a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{\frac{3}{4}} + a^{\frac{1}{4}} \cdot a^{-\frac{1}{4}} = a^1 + a^0 = a + 1$.

Do đó $A = \dfrac{a(1 + a)}{a + 1} = a$.

• $16^{0.75} = (2^4)^{\frac{3}{4}} = 2^3 = 8$.

• $27^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^2 = 9$.

• $25^{0.5} = (5^2)^{\frac{1}{2}} = 5$.

$P = 8 + 9 - 5 = 12$.

$81^{\frac{3}{4}} = 3^3 = 27$, $8^{\frac{4}{3}} = 2^4 = 16 \Rightarrow P = 27 - 16 = 11$.

Tử số $= x^{5/6}$, Mẫu số $= x^{1/6} \Rightarrow P = x^{5/6 - 1/6} = x^{4/6} = x^{2/3}$.

• Trong cùng: $x \cdot \sqrt[3]{x} = x \cdot x^{\frac{1}{3}} = x^{\frac{4}{3}}$.

• Căn bậc hai: $\sqrt{x^{\frac{4}{3}}} = \left(x^{\frac{4}{3}}\right)^{\frac{1}{2}} = x^{\frac{2}{3}}$.

• Nhân với $x$: $P = x \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{1 + \frac{2}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$.

$a^2 \sqrt{a} = a^2 \cdot a^{\frac{1}{2}} = a^{\frac{5}{2}}$.

$P = \sqrt[3]{a^{\frac{5}{2}}} = a^{\frac{5}{6}} \Rightarrow k = \dfrac{5}{6}$.

$P = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8}} = x^{\frac{7}{8}} \Rightarrow k = \dfrac{7}{8}$.

$P = x^{\frac{3}{4}}$.

• Cơ số $a = 0.5$ có $0 < 0.5 < 1$.

• Số mũ: $\sqrt{3} > \sqrt{2}$.

Vì cơ số nhỏ hơn 1 nên luỹ thừa đổi chiều $\Rightarrow (0.5)^{\sqrt{3}} < (0.5)^{\sqrt{2}}$, hay $A < B$.

• $a = 3^{200} = (3^2)^{100} = 9^{100}$.

• $b = 2^{300} = (2^3)^{100} = 8^{100}$.

Vì $9 > 8 \Rightarrow 9^{100} > 8^{100} \Rightarrow a > b$.

Vì cơ số $\pi \approx 3.14 > 1$ và $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1.4 \Rightarrow \pi^{\sqrt{2}} > \pi^{1.4}$.

Vì $\dfrac{1}{3} < \dfrac{1}{2}$ nhưng $a^{\frac{1}{3}} > a^{\frac{1}{2}} \Rightarrow 0 < a < 1$.

Áp dụng công thức lãi kép $T = A(1 + r)^N$ với $A = 100$, $r = 0.06$, $N = 3$:

$N = 1 \times (1 + 0.012)^5 = 1 \times (1.012)^5 \approx 1.0614 \text{ triệu người}$.

$T = 50 \times (1 + 0.005)^{12} \approx 53.08 \text{ triệu}$.

Lãi $= T - A = A[(1 + r)^N - 1]$.