Ôn chương 5 - Toán 11
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 5 - Toán 11 — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm Chương V
- Giới hạn dãy số: $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$, giới hạn dãy phân thức, dãy chứa mũ $q^n$ và tổng cấp số nhân lùi vô hạn $S = \dfrac{u_1}{1-q}$.
- Giới hạn hàm số: Giới hạn tại $x_0$, giới hạn 1 bên ($x_0^+, x_0^-$), giới hạn tại vô cực ($+\infty, -\infty$).
- Hàm số liên tục: $f(x)$ liên tục tại $x_0 \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Định lí giá trị trung gian: $f(a)f(b) < 0 \Rightarrow f(x)=0$ có nghiệm trong $(a; b)$.
II. Tổng hợp các dạng vô định thường gặp
| Dạng vô định | Biểu thức | Phương pháp khử |
|---|---|---|
| $\dfrac{0}{0}$ | $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ | Phân tích nhân tử $(x-x_0)$ hoặc nhân liên hợp. |
| $\dfrac{\infty}{\infty}$ | $\lim \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ hoặc $\lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{g(x)}$ | Chia cả tử và mẫu cho $x^k$ hay $n^k$ có bậc cao nhất ở mẫu. |
| $\infty - \infty$ | $\lim (\sqrt{A} - \sqrt{B})$ | Nhân liên hợp hoặc rút luỹ thừa bậc cao nhất ra ngoài. |
| $0 \cdot \infty$ | $\lim [f(x) \cdot g(x)]$ | Đưa về dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$. |
🔷 Dạng 1: Tính giới hạn của dãy số
- Chia bậc cao nhất ở mẫu.
- Cấp số nhân lùi vô hạn: $S = \dfrac{u_1}{1 - q}$.
Tính $L = \lim \dfrac{4n^2 - n + 2}{3n^2 + 5}$.
Xem lời giải
Chia cả tử và mẫu cho $n^2$: $L = \dfrac{4}{3}$.
Tính tổng $S = 3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots + \dfrac{3}{3^n} + \dots$
Xem lời giải
$u_1 = 3, q = 1/3 \Rightarrow S = \dfrac{3}{1 - 1/3} = \dfrac{9}{2}$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Tính $L = \lim \dfrac{2^n + 5^n}{3 \cdot 5^n - 4^n}$.
Xem lời giải
Chia cho $5^n$: $L = \dfrac{1}{3}$.
Tính $L = \lim \left(\sqrt{n^2 + 5n} - n\right)$.
Xem lời giải
$L = \dfrac{5}{2}$.
🔷 Dạng 2: Khử dạng vô định $0/0$ và $\infty/\infty$
- Dạng $0/0$: Phân tích nhân tử $(x-x_0)$ hoặc nhân liên hợp.
- Dạng $\infty/\infty$: Chia cho bậc cao nhất.
Tính $L = \lim_{x \to 4} \dfrac{x^2 - 16}{\sqrt{x} - 2}$.
Xem lời giải
$$L = \lim_{x \to 4} \dfrac{(x-4)(x+4)(\sqrt{x}+2)}{x-4} = \lim_{x \to 4} (x+4)(\sqrt{x}+2) = (8)(4) = 32$$
Tính $L = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + 5}}{x - 1}$.
Xem lời giải
Do $x \to -\infty$ nên $\sqrt{x^2} = -x$. $L = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x\sqrt{4 + 5/x^2}}{x(1 - 1/x)} = -2$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Tính $L = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 8}{x - 2}$.
Xem lời giải
$\lim_{x \to 2} (x^2 + 2x + 4) = 12$.
Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.
Xem lời giải
$L = \dfrac{1}{2}$.
🔷 Dạng 3: Xét tính liên tục tại điểm & trên tập
- Kiểm tra điều kiện $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.
- Hoặc $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$.
Tìm $a$ để hàm số $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \ne 2 \\ a + 1 & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục tại $x_0 = 2$.
Xem lời giải
$\lim_{x \to 2} f(x) = 4$. $f(2) = a + 1 \Rightarrow a + 1 = 4 \Rightarrow a = 3$.
Hàm số $y = \sqrt{x - 1}$ liên tục trên tập hợp nào?
Xem lời giải
Liên tục trên nửa khoảng $[1; +\infty)$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Hàm số $y = \dfrac{x}{x^2 + 1}$ có liên tục trên $\mathbb{R}$ không?
Xem lời giải
Có, vì mẫu $x^2 + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Tìm $m$ để $f(x) = \begin{cases} m x & \text{khi } x \le 1 \\ 3 & \text{khi } x > 1 \end{cases}$ liên tục tại $x_0 = 1$.
Xem lời giải
$m(1) = 3 \Rightarrow m = 3$.
🔷 Dạng 4: Chứng minh phương trình có nghiệm
- Chứng minh $f(x)$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a) \cdot f(b) < 0$.
Chứng minh phương trình $2x^3 - 6x + 1 = 0$ có ít nhất một nghiệm thuộc $(-2; 0)$.
Xem lời giải
$f(-2) = -3, f(0) = 1 \Rightarrow f(-2)f(0) = -3 < 0$. $f(x)$ liên tục trên $[-2; 0] \Rightarrow$ ĐPCM.
Chứng minh phương trình $x^4 - 3x - 1 = 0$ có nghiệm thuộc khoảng $(1; 2)$.
Xem lời giải
$f(1) = -3$, $f(2) = 16 - 6 - 1 = 9 \Rightarrow f(1)f(2) = -27 < 0 \Rightarrow$ ĐPCM.
📝 Thực hành — Dạng 4
Phương trình $x^3 + 3x - 1 = 0$ có bao nhiêu nghiệm thực trên $(0; 1)$?
Xem lời giải
$f(0) = -1, f(1) = 3$. Đồ thị đồng biến nên có đúng 1 nghiệm duy nhất.
Nếu $f(a) \cdot f(b) > 0$ thì phương trình $f(x) = 0$ chắc chắn vô nghiệm trên $(a; b)$ đúng hay sai?
Xem lời giải
Sai, nó vẫn có thể có nghiệm (ví dụ 2 nghiệm hoặc số chẵn nghiệm).
📝 Bài tập tự luận — Ôn tập tổng hợp
Bài 1. Tính $L = \lim \dfrac{3n^2 + 2n}{n^2 - 1}$.
Xem lời giải
$L = 3$.
Bài 2. Tính $L = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$.
Xem lời giải
$\lim_{x \to 1} (x - 2) = -1$.
Bài 3. Tính $L = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+3x} - 1}{x}$.
Xem lời giải
$\lim_{x \to 0} \dfrac{3}{\sqrt{1+3x} + 1} = \dfrac{3}{2}$.
Bài 4. Tính $L = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x + 1}{x - 2}$.
Xem lời giải
$+\infty$.
Bài 5. Tìm $m$ để $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{khi } x \ne 2 \\ m & \text{khi } x = 2 \end{cases}$ liên tục tại $x_0 = 2$.
Xem lời giải
$m = 4$.
Bài 6. Tính tổng $S = 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots + \dfrac{1}{3^n} + \dots$
Xem lời giải
$S = \dfrac{1}{1 - 1/3} = \dfrac{3}{2}$.
Bài 7. Chứng minh phương trình $x^3 - 3x + 1 = 0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Xem lời giải
Xét $f(-2)=-1, f(0)=1, f(1)=-1, f(2)=3$. Sử dụng định lý giá trị trung gian trên 3 khoảng.
Bài 8. Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{3x - 5}$.
Xem lời giải
$\dfrac{2}{3}$.
Bài 9. Hàm số $y = \sqrt{x^2 - 9}$ liên tục trên những khoảng nào?
Xem lời giải
$(-\infty; -3]$ và $[3; +\infty)$.
Bài 10. Tính $\lim_{n \to +\infty} \left(\sqrt{n^2 + 2n} - n\right)$.
Xem lời giải
$1$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Chương V. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương V
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →