Bài 17: Hàm số liên tục

• $f(1) = 2$.

• $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2$.

Vì $\lim_{x \to 1} f(x) = f(1) = 2 \Rightarrow$ Hàm số **liên tục** tại $x_0 = 1$.

• $f(2) = 3$.

• $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x+1) = 3$.

• $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (3) = 3$.

Vì $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = 3 \Rightarrow$ Hàm số **liên tục** tại $x_0 = 2$.

$\lim_{x \to 2} f(x) = 4 \ne f(2) = 5 \Rightarrow$ Hàm số **gián đoạn** tại $x_0 = 2$.

$\lim_{x \to 4} \sqrt{x-3} = 1 = f(4) \Rightarrow$ Hàm số **liên tục** tại $x_0 = 4$.

• $f(3) = m + 1$.

• $\lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6$.

Để hàm số liên tục tại $x_0 = 3$ thì:

$$\lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \Leftrightarrow m + 1 = 6 \Leftrightarrow m = 5$$

• $f(1) = m(1) + 2 = m + 2$.

• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = m + 2$.

• $\lim_{x \to 1^+} f(x) = 4(1) - 1 = 3$.

Để hàm liên tục tại $x_0 = 1 \Leftrightarrow m + 2 = 3 \Leftrightarrow m = 1$.

$\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \Rightarrow m = 2$.

$4a = 3(2) - 2 = 4 \Rightarrow a = 1$.

• ĐK: $x^2 - 4 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \pm 2$.

• Tập xác định $D = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; +\infty)$.

Đây là hàm phân thức hữu tỉ nên liên tục trên từng khoảng xác định: $(-\infty; -2)$, $(-2; 2)$ và $(2; +\infty)$.

ĐK: $9 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -3 \le x \le 3$.

Hàm số liên tục trên đoạn $[-3; 3]$.

Liên tục trên các khoảng $\left(-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right)$ với $k \in \mathbb{Z}$.

Gián đoạn tại điểm $x = 1$.

• Đặt $f(x) = x^3 - 3x + 1$. Hàm đa thức nên $f(x)$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

• Tính các giá trị:

• $f(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 1 = -1$
• $f(0) = 1$
• $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$
• $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$

• Ta có:

• $f(-2) \cdot f(0) = -1 < 0 \Rightarrow$ có 1 nghiệm $c_1 \in (-2; 0)$.
• $f(0) \cdot f(1) = -1 < 0 \Rightarrow$ có 1 nghiệm $c_2 \in (0; 1)$.
• $f(1) \cdot f(2) = -3 < 0 \Rightarrow$ có 1 nghiệm $c_3 \in (1; 2)$.

Vậy phương trình có ít nhất 3 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(-2; 2)$.

Xét $f(x) = x^5 - 5x - 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$.

$f(0) = -1$, $f(-1) = (-1)^5 - 5(-1) - 1 = 3$.

Vì $f(-1) \cdot f(0) = -3 < 0 \Rightarrow$ có ít nhất 1 nghiệm $c \in (-1; 0)$ (nghiệm âm).

$f(1) = -2$, $f(2) = 7 \Rightarrow f(1)f(2) = -14 < 0$. $f(x)$ liên tục trên $[1; 2] \Rightarrow$ có nghiệm thuộc $(1; 2)$.

Xét hàm nguyên hàm $F(x) = \dfrac{a}{3}x^3 + \dfrac{b}{2}x^2 + cx$. $F(0) = 0, F(1) = \dfrac{a}{3} + \dfrac{b}{2} + c = \dfrac{2a+3b+6c}{6} = 0$. Dùng định lí Rolle/Giá trị trung gian.