Bài 16: Giới hạn của hàm số

I. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

📌 Định nghĩa Giới hạn tại một điểm

Cho khoảng $K$ chứa điểm $x_0$ và hàm số $y = f(x)$ xác định trên $K$ (có thể trừ điểm $x_0$).

Hàm số $y = f(x)$ có giới hạn là số $L$ khi $x$ dần tới $x_0$ nếu với mọi dãy số $(x_n)$ trong $K \setminus \{x_0\}$ mà $x_n \to x_0$ thì $f(x_n) \to L$. Kí hiệu:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L$$

⚡ Định lí về giới hạn hữu hạn

Giả sử $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$. Khi đó:

$\lim_{x \to x_0} [f(x) \pm g(x)] = L \pm M$
$\lim_{x \to x_0} [f(x) \cdot g(x)] = L \cdot M$
$\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{L}{M}$ (với $M \ne 0$)

II. Giới hạn một bên

📌 Giới hạn bên bên phải $x_0^+$ và bên trái $x_0^-$

Giới hạn bên phải: $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = L$ (chỉ xét $x > x_0$).
Giới hạn bên trái: $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$ (chỉ xét $x < x_0$).

Điều kiện tồn tại giới hạn:

$$\lim_{x \to x_0} f(x) = L \Leftrightarrow \lim_{x \to x_0^+} f(x) = \lim_{x \to x_0^-} f(x) = L$$

III. Giới hạn hữu hạn tại vô cực

📌 Giới hạn khi $x \to +\infty$ và $x \to -\infty$

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{c}{x^k} = 0$ với $k > 0$.
$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{c}{x^k} = 0$ với $k > 0$.

IV. Giới hạn vô cực của hàm số

📋 Quy tắc tìm giới hạn của tích và thương

Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L > 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (với $g(x) > 0$) thì $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = +\infty$.
Nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = L > 0$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = 0$ (với $g(x) < 0$) thì $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)} = -\infty$.

🔷 Dạng 1: Giới hạn xác định (thay số trực tiếp)

📌 Phương pháp giải

Nếu hàm số $f(x)$ xác định tại $x = x_0$ thì $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Thay $x = x_0$ trực tiếp vào biểu thức.

🔍 Ví dụ 1

Tính $L = \lim_{x \to 1} (2x^2 - 3x + 4)$.

💡 Xem lời giải

Thay $x = 1$: $L = 2(1)^2 - 3(1) + 4 = 2 - 3 + 4 = 3$.

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim_{x \to 2} \dfrac{x + 3}{x + 1}$.

💡 Xem lời giải

Thay $x = 2$: $L = \dfrac{2 + 3}{2 + 1} = \dfrac{5}{3}$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Tính $L = \lim_{x \to 0} (x^3 + 5x - 2)$.

💡 Xem lời giải

$L = 0^3 + 5(0) - 2 = -2$.

✏️ Bài tập 1.2

Tính $L = \lim_{x \to 3} \sqrt{x^2 + 7}$.

💡 Xem lời giải

$L = \sqrt{3^2 + 7} = \sqrt{16} = 4$.

🔷 Dạng 2: Khử dạng vô định 0/0

📌 Phương pháp giải

Nếu $f(x_0) = 0$ và $g(x_0) = 0$, phân tích tử và mẫu thành nhân tử chứa $(x - x_0)$ rồi rút gọn.
Nếu chứa căn thức: Nhân liên hợp để làm xuất hiện nhân tử $(x - x_0)$.

🔍 Ví dụ 1 (Phân tích đa thức)

Tính $L = \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.

💡 Xem lời giải

Phân tích $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$:

$$L = \lim_{x \to 2} \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x \to 2} (x+2) = 2 + 2 = 4$$

🔍 Ví dụ 2 (Nhân liên hợp)

Tính $L = \lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x+3} - 2}{x - 1}$.

💡 Xem lời giải

Nhân liên hợp với $\sqrt{x+3} + 2$:

$$L = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x+3) - 4}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{x-1}{(x-1)(\sqrt{x+3} + 2)}$$ $$= \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt{x+3} + 2} = \dfrac{1}{2 + 2} = \dfrac{1}{4}$$

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Tính $L = \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x^2 - 5x + 6}$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim_{x \to 3} \dfrac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-2)} = \lim_{x \to 3} \dfrac{x+3}{x-2} = \dfrac{6}{1} = 6$.

✏️ Bài tập 2.2

Tính $L = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1 + 2x} - 1}{x}$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim_{x \to 0} \dfrac{2x}{x(\sqrt{1+2x} + 1)} = \lim_{x \to 0} \dfrac{2}{\sqrt{1+2x} + 1} = \dfrac{2}{2} = 1$.

🔷 Dạng 3: Giới hạn một bên $x \to x_0^+$ và $x \to x_0^-$

📌 Phương pháp giải

Xét dấu của tử và mẫu khi $x > x_0$ hoặc $x < x_0$.
So sánh giới hạn bên trái và bên phải để kiểm tra sự tồn tại của giới hạn $\lim_{x \to x_0} f(x)$.

🔍 Ví dụ 1

Cho hàm số $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{khi } x \ge 1 \\ 2x & \text{khi } x < 1 \end{cases}$. Tính $\lim_{x \to 1^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 1^-} f(x)$. Từ đó kết luận về $\lim_{x \to 1} f(x)$.

💡 Xem lời giải

• $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 + 1) = 1^2 + 1 = 2$.

• $\lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} (2x) = 2(1) = 2$.

Vì $\lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^-} f(x) = 2 \Rightarrow \lim_{x \to 1} f(x) = 2$.

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim_{x \to 3^+} \dfrac{2x - 1}{x - 3}$.

💡 Xem lời giải

• Tử số $\lim_{x \to 3^+} (2x - 1) = 5 > 0$.

• Mẫu số $x - 3 > 0$ khi $x \to 3^+$.

Do đó $L = +\infty$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Tính $L = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x + 1}{x - 2}$.

💡 Xem lời giải

Tử số $\to 3 > 0$, mẫu $x - 2 < 0$ khi $x \to 2^- \Rightarrow L = -\infty$.

✏️ Bài tập 3.2

Cho $f(x) = \dfrac{|x - 2|}{x - 2}$. Tính $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ và $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.

💡 Xem lời giải

• $\lim_{x \to 2^+} f(x) = 1$.

• $\lim_{x \to 2^-} f(x) = -1$.

🔷 Dạng 4: Giới hạn tại vô cực & Dạng $\infty - \infty$

📌 Phương pháp giải

Khi $x \to \pm\infty$, rút lũy thừa cao nhất của $x$ ra ngoài làm nhân tử chung.
Lưu ý: $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ khi $x \to -\infty$.

🔍 Ví dụ 1 (Lưu ý x → -∞)

Tính $L = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{2x - 3}$.

💡 Xem lời giải

Vì $x \to -\infty$ nên $\sqrt{x^2} = -x$:

$$L = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{x\left(2 - \dfrac{3}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{2 - \dfrac{3}{x}} = -\dfrac{1}{2}$$

🔍 Ví dụ 2

Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 4x} - x\right)$.

💡 Xem lời giải

Nhân liên hợp:

$$L = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x}{\sqrt{x^2 + 4x} + x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{4}{\sqrt{1 + \dfrac{4}{x}} + 1} = \dfrac{4}{2} = 2$$

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Tính $L = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x + 2}{x^2 + 5}$.

💡 Xem lời giải

$L = 3$.

✏️ Bài tập 4.2

Tính $L = \lim_{x \to -\infty} (2x^3 - x + 1)$.

💡 Xem lời giải

$L = \lim_{x \to -\infty} x^3\left(2 - \dfrac{1}{x^2} + \dfrac{1}{x^3}\right) = -\infty$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Giới hạn của hàm số (10 bài)

Bài 1. Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2}$.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to 2} (x - 3) = -1$.

Bài 2. Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^3 - 1}{x - 1}$.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3$.

Bài 3. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x+4} - 2}{x}$.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+4} + 2} = \dfrac{1}{4}$.

Bài 4. Tính $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.

💡 Xem lời giải

Tử $\to 3$, mẫu $x-1 > 0 \Rightarrow +\infty$.

Bài 5. Tính $\lim_{x \to 1^-} \dfrac{2x + 1}{x - 1}$.

💡 Xem lời giải

Tử $\to 3$, mẫu $x-1 < 0 \Rightarrow -\infty$.

Bài 6. Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x - 2}{x + 1}$.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3 - 2/x}{1 + 1/x} = 3$.

Bài 7. Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{2x^2 + 1}{x^2 - 3}$.

💡 Xem lời giải

$2$.

Bài 8. Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right)$.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x}{\sqrt{x^2+2x} + x} = 1$.

Bài 9. Cho $f(x) = \begin{cases} m x + 1 & \text{khi } x \le 2 \\ 3x - 1 & \text{khi } x > 2 \end{cases}$. Tìm $m$ để $\lim_{x \to 2} f(x)$ tồn tại.

💡 Xem lời giải

$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 5$, $\lim_{x \to 2^-} f(x) = 2m + 1$. Do đó $2m + 1 = 5 \Rightarrow m = 2$.

Bài 10. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$.

💡 Xem lời giải

Nhân liên hợp: $\lim_{x \to 0} \dfrac{2x}{x(\sqrt{1+x} + \sqrt{1-x})} = \dfrac{2}{2} = 1$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Giới hạn của hàm số. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn $\lim_{x \to 5} (4 x + 2).$

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn dạng $\frac{0}{0}$: $\lim_{x \to 4} \frac{x^2 - {4}^2}{x - 4}$.

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn vô cực $\lim_{x \to +\infty} \frac{6 x + 1}{2 x - 3}$.

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Giới hạn một bên $\lim_{x \to 1^+} \frac{x + 2}{x - 1}$ bằng bao nhiêu?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ và $\lim_{x \to x_0} g(x) = M$ (với $M \ne 0$). Khi đó $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}$ bằng:

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn $\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x + 3} - \sqrt{3}}{x}$.

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Giới hạn tồn tại $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$ khi và chỉ khi:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn $\lim_{x \to -\infty} (x^3 + 3 x^2 - 1)$.

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Tính giới hạn vô cực $\lim_{x \to +\infty} (\sqrt{x^2 + 2 x} - x)$.

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Giới hạn $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x^2 - 3x + 2}$ bằng bao nhiêu?

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Giới hạn hàm số

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới