Ôn chương 4 - Toán 11 — Sách Toán THPT

I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm Chương IV

📌 Các quan hệ song song chính

Hai đường thẳng song song: Cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.
Đường thẳng song song mặt phẳng: Đường thẳng không nằm trong MP và song song với 1 đường thẳng nằm trong MP đó.
Hai mặt phẳng song song: MP thứ nhất chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với MP thứ hai.
Phép chiếu song song: Phép chiếu theo phương $\Delta$ lên MP $(P)$ bảo toàn tính thẳng hàng, song song và tỉ số các đoạn thẳng song song.

II. Sơ đồ hệ thống quan hệ song song

📋 Các định lí quan trọng nhất

Định lí 3 giao tuyến: Ba MP cắt nhau từng đôi một theo 3 giao tuyến thì 3 giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song.
Giao tuyến song song: $\begin{cases} a // b \\ a \subset (P), b \subset (Q) \\ (P) \cap (Q) = d \end{cases} \Rightarrow d // a // b$.
MP cắt 2 MP song song: $\begin{cases} (P) // (Q) \\ (R) \cap (P) = a \\ (R) \cap (Q) = b \end{cases} \Rightarrow a // b$.

Định lí Ta-lét không gian: 3 mặt phẳng song song chắn trên 2 cát tuyến các đoạn tương ứng tỉ lệ.

🔷 Dạng 1: Chứng minh ĐT // ĐT và ĐT // MP

📌 Phương pháp giải

Để $a // b$: Dùng đường trung bình, Ta-lét phẳng, hoặc tính chất bắc cầu $a // c, b // c$.

Để $a // (P)$: Chứng minh $a \not\subset (P)$ và $a // b \subset (P)$.

🔍 Ví dụ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $SA, SD$. Chứng minh $MN // (SBC)$.

💡 Xem lời giải

• Trong $\triangle SAD$, $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN // AD$.

• $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow AD // BC \Rightarrow MN // BC$.

Vì $BC \subset (SBC)$ và $MN \not\subset (SBC) \Rightarrow MN // (SBC)$.

🔍 Ví dụ 2

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $G$ là trọng tâm $\triangle ACD$, $M$ trên $AB$ sao cho $AM = \dfrac{1}{3}AB$. Chứng minh $MG // (BCD)$.

💡 Xem lời giải

Dùng Ta-lét trong mặt phẳng trung tuyến chứng minh $MG // CD \subset (BCD) \Rightarrow MG // (BCD)$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $I, J$ là trung điểm $AB, AC$. Chứng minh $IJ // (BCD)$.

💡 Xem lời giải

$IJ // BC \subset (BCD) \Rightarrow IJ // (BCD)$.

✏️ Bài tập 1.2

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành tâm $O$. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Chứng minh $OM // (SAD)$.

💡 Xem lời giải

$OM // SA \subset (SAD) \Rightarrow OM // (SAD)$.

🔷 Dạng 2: Chứng minh hai MP song song

📌 Phương pháp giải

Chứng minh MP $(\alpha)$ chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với MP $(\beta)$.

🔍 Ví dụ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ là trung điểm $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh $(MNPQ) // (ABCD)$.

💡 Xem lời giải

• $MN // AB \subset (ABCD) \Rightarrow MN // (ABCD)$.

• $MQ // AD \subset (ABCD) \Rightarrow MQ // (ABCD)$.

Vì $MN \cap MQ = \{M\} \Rightarrow (MNPQ) // (ABCD)$.

🔍 Ví dụ 2

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(ACD') // (A'C'B)$.

💡 Xem lời giải

$AC // A'C' \subset (A'C'B)$ và $AD' // BC' \subset (A'C'B) \Rightarrow (ACD') // (A'C'B)$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $AB, AC, AD$. Chứng minh $(MNP) // (BCD)$.

💡 Xem lời giải

$MN // BC$ và $MP // BD \Rightarrow (MNP) // (BCD)$.

✏️ Bài tập 2.2

Hai mặt phẳng $(\alpha) // (\beta)$. Nếu $d \subset (\alpha)$ thì $d$ và $(\beta)$ có điểm chung không?

💡 Xem lời giải

Không có điểm chung nào.

🔷 Dạng 3: Giao tuyến, Giao điểm & Thiết diện

📌 Phương pháp giải

Dùng các quy tắc giao tuyến song song, giao điểm bằng MP phụ và liên tiếp cắt các mặt tạo đa giác thiết diện.

🔍 Ví dụ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. MP $(\alpha)$ qua $M \in SA$ song song với $AB, AD$. Xác định thiết diện.

💡 Xem lời giải

Kẻ $MN // AB, MQ // AD, NP // BC, PQ // CD$. Thiết diện là hình bình hành $MNPQ$.

🔍 Ví dụ 2

Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ của hình chóp $S.ABCD$ đáy hình thang ($AB // CD$).

💡 Xem lời giải

Đường thẳng $Sx$ đi qua $S$ và $Sx // AB // CD$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Thiết diện của hình chóp ngũ giác cắt bởi một mặt phẳng có tối đa bao nhiêu cạnh?

💡 Xem lời giải

Tối đa 6 cạnh (Lục giác).

✏️ Bài tập 3.2

Cho tứ diện $ABCD$. MP $(\alpha)$ qua $AB$ cắt $CD$ tại $M$ có tồn tại không?

💡 Xem lời giải

Có (mặt phẳng chứa $AB$ và điểm $M \in CD$).

🔷 Dạng 4: Phép chiếu song song & Tỉ số đoạn thẳng

📌 Phương pháp giải

Sử dụng các tính chất giữ nguyên tỉ số và song song của phép chiếu song song để tính độ dài, tỉ số.

🔍 Ví dụ 1

Cho $P // Q // R$ cắt $d_1$ tại $A, B, C$ và $d_2$ tại $D, E, F$. Biết $AB = 3, BC = 6, EF = 8$. Tính $DE$.

💡 Xem lời giải

Theo Ta-lét: $\dfrac{DE}{EF} = \dfrac{AB}{BC} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow DE = 4$.

🔍 Ví dụ 2

Hình chiếu song song của tam giác đều là hình gì?

💡 Xem lời giải

Là một tam giác bất kì.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Hình chiếu song song có biến 2 đường thẳng song song thành 2 đường thẳng cắt nhau không?

💡 Xem lời giải

Không bao giờ (chỉ thành 2 ĐT song song hoặc trùng nhau).

✏️ Bài tập 4.2

Phép chiếu song song giữ nguyên tỉ số nào?

💡 Xem lời giải

Tỉ số độ dài hai đoạn thẳng cùng thuộc một đường thẳng hoặc thuộc hai đường thẳng song song.

📝 Bài tập tự luận — Ôn tập tổng hợp

📝 Bài tập tự luận ôn tập tổng hợp Chương IV (10 bài)

Bài 1. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M, N$ là trung điểm $SA, SB$. Chứng minh $MN // (ABCD)$.

💡 Xem lời giải

$MN // AB \subset (ABCD) \Rightarrow MN // (ABCD)$.

Bài 2. Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $AB, AC, AD$. Chứng minh $(MNP) // (BCD)$.

💡 Xem lời giải

$MN // BC$ và $MP // BD \Rightarrow (MNP) // (BCD)$.

Bài 3. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Tìm giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$.

💡 Xem lời giải

Đường thẳng qua $S$ song song với $AB$ và $CD$.

Bài 4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $BD // (B'D'C)$.

💡 Xem lời giải

$BD // B'D' \subset (B'D'C) \Rightarrow BD // (B'D'C)$.

Bài 5. Phát biểu định lí Ta-lét trong không gian.

💡 Xem lời giải

Ba mặt phẳng song song chắn trên 2 cát tuyến các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

Bài 6. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M$ là trung điểm $SC$. Tìm giao điểm $SD$ với $(ABM)$.

💡 Xem lời giải

Kẻ qua $M$ đường $Mx // CD$ cắt $SD$ tại $N$ (trung điểm $SD$). $N$ là giao điểm.

Bài 7. Hình biểu diễn của hình tròn qua phép chiếu song song là hình gì?

💡 Xem lời giải

Là một hình elip.

Bài 8. Hai đường thẳng chéo nhau có bao nhiêu mặt phẳng song song chứa đường này và song song đường kia?

💡 Xem lời giải

Có đúng 1 mặt phẳng.

Bài 9. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì như thế nào?

💡 Xem lời giải

Song song với nhau.

Bài 10. Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Cặp mặt phẳng $(ABC)$ và $(A'B'C')$ có song song không?

💡 Xem lời giải

Có, hai mặt đáy của hình lăng trụ luôn song song với nhau.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Chương IV. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động
Trong không gian, qua 3 điểm phân biệt không thẳng hàng xác định được:
Câu 2:🎲 Câu hỏi động
Cho $a \parallel (P)$. Đường thẳng $b \subset (P)$ có thể có vị trí tương đối nào với $a$?
Câu 3:🎲 Câu hỏi động
Điều kiện để hai mặt phẳng $(P) \parallel (Q)$ là:
Câu 4:🎲 Câu hỏi động
Cho hai mặt phẳng song song $(P) \parallel (Q)$. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng là:
Câu 5:🎲 Câu hỏi động
Hình chiếu song song của hình thoi qua phép chiếu song song (mặt phẳng chứa hình thoi không song song phương chiếu) là:
Câu 6:🎲 Câu hỏi động
Trong hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình bình hành, giao tuyến của $(SAD)$ và $(SBC)$ là:
Câu 7:🎲 Câu hỏi động
Trong hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$, gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm $AA'$ và $BB'$. Mặt phẳng $(MNC'C)$ cắt lăng trụ theo thiết diện là hình gì?
Câu 8:🎲 Câu hỏi động
Số mặt bên của hình lăng trụ n-giác là:
Câu 9:🎲 Câu hỏi động
Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó:
Câu 10:🎲 Câu hỏi động
Cho hai đường thẳng chéo nhau $a$ và $b$. Có bao nhiêu cặp mặt phẳng song song $(P) \parallel (Q)$ lần lượt chứa $a$ và $b$?
🎯
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương IV
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Mở trong tab mới
←Bài trướcBài 14: Phép chiếu song song Bài tiếp theoBài 15: Giới hạn của dãy số→