Bài 13: Hai mặt phẳng song song

I. Định nghĩa hai mặt phẳng song song

📌 Định nghĩa Hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung nào.

$$(\alpha) // (\beta) \Leftrightarrow (\alpha) \cap (\beta) = \varnothing$$

II. Điều kiện để hai mặt phẳng song song

⚡ Định lí 1 (Dấu hiệu nhận biết 2 MP song song)

Nếu mặt phẳng $(\alpha)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $a, b$ và $a, b$ cùng song song với mặt phẳng $(\beta)$ thì $(\alpha)$ song song với $(\beta)$.

$$\begin{cases} a \subset (\alpha), b \subset (\alpha) \\ a \cap b = \{I\} \\ a // (\beta) \\ b // (\beta) \end{cases} \Rightarrow (\alpha) // (\beta)$$

III. Tính chất của hai mặt phẳng song song

📋 Các tính chất cơ bản

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.
Cho hai mặt phẳng song song $(\alpha) // (\beta)$. Nếu mặt phẳng $(\gamma)$ cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $a$ và cắt $(\beta)$ theo giao tuyến $b$ thì $a // b$.
Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

IV. Định lí Ta-lét trong không gian

⚡ Định lí Ta-lét giữa ba mặt phẳng song song

Ba mặt phẳng đôi một song song chắn trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

$$\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2} = \dfrac{B_1C_1}{B_2C_2} = \dfrac{A_1C_1}{A_2C_2}$$

🔷 Dạng 1: Chứng minh hai mặt phẳng song song

📌 Phương pháp giải

Tìm trong mặt phẳng $(\alpha)$ hai đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại $I$.
Chứng minh $a // (\beta)$ và $b // (\beta)$.
Suy ra $(\alpha) // (\beta)$.

🔍 Ví dụ 1 (Chứng minh (MNP) // (SCD))

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy $ABCD$ là hình bình hành. Gọi $M, N, P$ lần lượt là trung điểm của $SA, SB, AB$. Chứng minh $(MNP) // (SCD)$.

💡 Xem lời giải

• Trong $\triangle SAB$, $MN // AB$. Vì $AB // CD \Rightarrow MN // CD \subset (SCD) \Rightarrow MN // (SCD)$.

• Trong $\triangle SBC$, $NP // SD \subset (SCD) \Rightarrow NP // (SCD)$.

• Hai đường thẳng $MN$ và $NP$ cắt nhau tại $N$ và cùng thuộc mặt phẳng $(MNP)$.

Do đó $(MNP) // (SCD)$ (ĐPCM).

🔍 Ví dụ 2

Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Chứng minh mặt phẳng $(A'BC)$ và $(AB'C')$ có song song với nhau không?

💡 Xem lời giải

Hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng qua giao điểm các đường chéo của mặt bên. Chúng không song song.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(BDA') // (B'D'C)$.

💡 Xem lời giải

• $BD // B'D' \subset (B'D'C) \Rightarrow BD // (B'D'C)$.

• $BA' // CD' \subset (B'D'C) \Rightarrow BA' // (B'D'C)$.

Vì $BD \cap BA' = \{B\} \Rightarrow (BDA') // (B'D'C)$.

✏️ Bài tập 1.2

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $M, N, P$ là trung điểm $AB, AC, AD$. Chứng minh $(MNP) // (BCD)$.

💡 Xem lời giải

$MN // BC \subset (BCD)$ và $MP // BD \subset (BCD) \Rightarrow (MNP) // (BCD)$.

🔷 Dạng 2: Giao tuyến của MP cắt 2 MP song song

📌 Phương pháp giải

Dùng Định lí: $\begin{cases} (\alpha) // (\beta) \\ (\gamma) \cap (\alpha) = a \\ (\gamma) \cap (\beta) = b \end{cases} \Rightarrow a // b$.

🔍 Ví dụ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ có $(MNP) // (ABCD)$ với $M \in SA, N \in SB, P \in SC$. Tìm giao tuyến của $(MNP)$ với $(SAD)$.

💡 Xem lời giải

• $(SAD)$ cắt $(ABCD)$ theo giao tuyến $AD$.

• $(SAD)$ cắt $(MNP)$ tại điểm $M$.

Vì $(MNP) // (ABCD)$ nên giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $AD$, cắt $SD$ tại $Q$.

🔍 Ví dụ 2

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$. Mặt phẳng $(\alpha) // (ABC)$ cắt các cạnh bên $AA', BB', CC'$ tại $M, N, P$. Tam giác $MNP$ có mối quan hệ gì với tam giác $ABC$?

💡 Xem lời giải

$\triangle MNP$ bằng $\triangle ABC$ và $\triangle A'B'C'$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Cho 2 mặt phẳng song song $(\alpha) // (\beta)$. Một mặt phẳng $(\gamma)$ cắt $(\alpha)$ theo giao tuyến $a$. Khẳng định nào đúng về vị trí $(\gamma)$ và $(\beta)$?

💡 Xem lời giải

$(\gamma)$ sẽ cắt $(\beta)$ theo giao tuyến $b // a$.

✏️ Bài tập 2.2

Cho 2 MP song song $P // Q$. Đường thẳng $d$ cắt $P$ tại $A$. $d$ có cắt $Q$ không?

💡 Xem lời giải

Có, $d$ chắc chắn sẽ cắt $Q$ tại điểm $B$.

🔷 Dạng 3: Áp dụng định lí Ta-lét trong không gian

📌 Phương pháp giải

Dùng tỉ số $\dfrac{A_1B_1}{A_2B_2} = \dfrac{B_1C_1}{B_2C_2}$ khi 3 mặt phẳng song song cắt 2 đường thẳng.

🔍 Ví dụ 1

Cho 3 mặt phẳng song song $(\alpha) // (\beta) // (\gamma)$ cắt 2 đường thẳng $d_1, d_2$ lần lượt tại $A, B, C$ và $A', B', C'$. Biết $AB = 4, BC = 6, A'B' = 3$. Tính độ dài $B'C'$.

💡 Xem lời giải

Theo Định lí Ta-lét trong không gian:

$$\dfrac{AB}{BC} = \dfrac{A'B'}{B'C'} \Leftrightarrow \dfrac{4}{6} = \dfrac{3}{B'C'} \Leftrightarrow B'C' = \dfrac{6 \times 3}{4} = 4.5$$

🔍 Ví dụ 2

Tính tỉ số $\dfrac{A'C'}{AC}$ ở Ví dụ 1.

💡 Xem lời giải

$\dfrac{A'B'}{AB} = \dfrac{3}{4} \Rightarrow \dfrac{A'C'}{AC} = \dfrac{3}{4}$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Cho $P // Q // R$ cắt $d_1$ tại $A, B, C$ và $d_2$ tại $D, E, F$. Biết $AB = 2, BC = 3, DE = 4$. Tính $DF$.

💡 Xem lời giải

$\dfrac{EF}{DE} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{2} \Rightarrow EF = 6 \Rightarrow DF = DE + EF = 4 + 6 = 10$.

✏️ Bài tập 3.2

Ba mặt phẳng song song cắt hai đường thẳng song song thì các đoạn thẳng tương ứng thế nào?

💡 Xem lời giải

Các đoạn thẳng tương ứng bằng nhau.

🔷 Dạng 4: Thiết diện song song với một mặt phẳng

📌 Phương pháp giải

Qua điểm cho trước, vẽ các đường thẳng song song với các đường thẳng nằm trong mặt phẳng song song.
Giao các đường thẳng với các mặt của hình chóp cho đa giác thiết diện đồng dạng với mặt phẳng song song.

🔍 Ví dụ 1

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $M \in SA$ và $(\alpha) // (ABCD)$. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi $(\alpha)$.

💡 Xem lời giải

• $(\alpha) // (ABCD) \Rightarrow$ giao tuyến với các mặt bên $(SAB), (SBC), (SCD), (SDA)$ lần lượt song song với $AB, BC, CD, DA$.

• Từ $M$ kẻ $MN // AB, NP // BC, PQ // CD, QM // DA$.

Thiết diện $MNPQ$ là **hình bình hành** đồng dạng với đáy $ABCD$.

🔍 Ví dụ 2

Tính tỉ số diện tích $\dfrac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}$ nếu $M$ là trung điểm $SA$.

💡 Xem lời giải

Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}} = k^2 = \dfrac{1}{4}$.

📝 Thực hành — Dạng 4

✏️ Bài tập 4.1

Cho tứ diện $ABCD$. MP $(\alpha)$ qua $M \in AB$ và $(\alpha) // (BCD)$. Thiết diện là hình gì?

💡 Xem lời giải

Thiết diện là tam giác $MNP$ đồng dạng với $\triangle BCD$.

✏️ Bài tập 4.2

Trong Bài tập 4.1, nếu $M$ là trọng tâm $\triangle ACD$ (kéo từ $A$), tính tỉ số diện tích thiết diện so với $\triangle BCD$.

💡 Xem lời giải

Tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{2}{3} \Rightarrow$ Tỉ số diện tích $= \dfrac{4}{9}$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Hai mặt phẳng song song (10 bài)

Bài 1. Nêu điều kiện để hai mặt phẳng song song với nhau.

💡 Xem lời giải

Mặt phẳng thứ nhất chứa 2 đường thẳng cắt nhau cùng song song với mặt phẳng thứ hai.

Bài 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M, N, P, Q$ lần lượt là trung điểm $SA, SB, SC, SD$. Chứng minh $(MNPQ) // (ABCD)$.

💡 Xem lời giải

$MN // AB \subset (ABCD)$ và $MQ // AD \subset (ABCD) \Rightarrow (MNPQ) // (ABCD)$.

Bài 3. Cho lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$. Chứng minh $(ACC'A') // (BCC'B')$ đúng hay sai?

💡 Xem lời giải

Sai, hai mặt bên cắt nhau theo giao tuyến $CC'$.

Bài 4. Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Chứng minh $(ABC'D') // (A'B'CD)$ đúng hay sai?

💡 Xem lời giải

Sai, chúng cắt nhau theo đường chéo trung tâm.

Bài 5. Hai mặt phẳng $(\alpha) // (\beta)$. Đường thẳng $a \subset (\alpha)$ thì $a$ có song song với $(\beta)$ không?

💡 Xem lời giải

Có, $a // (\beta)$ vì $a$ không có điểm chung với $(\beta)$.

Bài 6. Cho 3 MP song song cắt $d_1$ tại $A, B, C$ và $d_2$ tại $D, E, F$. Biết $AB = 3, BC = 5, DE = 6$. Tính $EF$.

💡 Xem lời giải

$\dfrac{EF}{DE} = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{3} \Rightarrow EF = \dfrac{5 \times 6}{3} = 10$.

Bài 7. Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy hình bình hành. Gọi $M$ trên $SA$ sao cho $SM = 2MA$. MP $(\alpha)$ qua $M$ song song đáy cắt $SB, SC, SD$ tại $N, P, Q$. Tính tỉ số $\dfrac{SN}{SB}$.

💡 Xem lời giải

$\dfrac{SN}{SB} = \dfrac{SM}{SA} = \dfrac{2}{3}$.

Bài 8. Hai mặt phẳng song song có thể cắt một mặt phẳng thứ ba theo hai giao tuyến vuông góc với nhau không?

💡 Xem lời giải

Không, hai giao tuyến đó phải song song với nhau.

Bài 9. Hình lăng trụ n-giác có bao nhiêu mặt phẳng đáy song song với nhau?

💡 Xem lời giải

Có đúng 1 cặp mặt phẳng đáy song song với nhau.

Bài 10. Nếu 2 mặt phẳng $(\alpha)$ và $(\beta)$ cùng song song với đường thẳng $d$ thì $(\alpha)$ và $(\beta)$ có song song với nhau không?

💡 Xem lời giải

Chưa chắc, $(\alpha)$ và $(\beta)$ có thể cắt nhau theo giao tuyến song song với $d$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Hai mặt phẳng song song. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Điều kiện để hai mặt phẳng $(P)$ và $(Q)$ song song với nhau là:

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Nếu hai mặt phẳng song song $(P) \parallel (Q)$ thì mọi đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$ đều:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho hai mặt phẳng song song $(P) \parallel (Q)$. Nếu mặt phẳng $(R)$ cắt $(P)$ và $(Q)$ theo hai giao tuyến $a$ và $b$ thì $a$ và $b$:

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Hình lăng trụ tam giác $ABC.A'B'C'$ có bao nhiêu mặt phẳng đáy song song với nhau?

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$. Cặp mặt phẳng nào sau đây là hai mặt phẳng song song?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Định lý Thales trong không gian khẳng định điều gì về ba mặt phẳng song song cắt hai đường thẳng bất kỳ?

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho điểm $A$ nằm ngoài mặt phẳng $(P)$. Số mặt phẳng đi qua $A$ và song song với $(P)$ là:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Hình chóp cụt được tạo thành bằng cách cắt hình chóp bởi một mặt phẳng song song với mặt phẳng nào?

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Các mặt bên của hình lăng trụ là hình gì?

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Cho hai mặt phẳng song song $(P) \parallel (Q)$. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với $(P)$ thì $d$ sẽ:

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hai mặt phẳng song song

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới