Bài 12: ĐT và MP song song

• Trong $\triangle SAB$, $MN$ là đường trung bình $\Rightarrow MN // AB$.

Mà $AB \subset (ABCD)$ và $MN \not\subset (ABCD) \Rightarrow MN // (ABCD)$.

• Vì $ABCD$ là hình bình hành $\Rightarrow AB // CD$. Do đó $MN // CD$.

Mà $CD \subset (SCD)$ và $MN \not\subset (SCD) \Rightarrow MN // (SCD)$.

• Gọi $E$ là trung điểm $AD$. Dùng định lí Ta-lét chứng minh $MG // CE$.

• Vì $CE \subset (ACD)$ và $MG \not\subset (ACD) \Rightarrow MG // (ACD)$.

$OM$ là đường trung bình $\triangle SAC \Rightarrow OM // SA$. Vì $SA \subset (SAB) \Rightarrow OM // (SAB)$.

$MN // BD \subset (BCD) \Rightarrow MN // (BCD)$.

Vì $AB // CD$ nên $AB // (SCD)$. Mặt phẳng $(\alpha)$ chứa $AB$ nên giao tuyến của $(\alpha)$ với $(SCD)$ phải song song với $AB$ và $CD$.

Kẻ qua $M \in SD$ (hoặc điểm chung) một đường thẳng song song với $AB$.

• Điểm $M$ chung.

• $CD // AB$ mà $CD \subset (MCD), AB \subset (SAB)$.

Giao tuyến là đường thẳng $Mx // AB // CD$. $Mx$ cắt $SA$ tại $N$. Giao tuyến là đoạn $MN$.

Giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $BC$, cắt $AC$ tại $N$ (với $N$ là trung điểm $AC$).

Giao tuyến là đường thẳng qua $M$ song song với $BD$, cắt $AD$ tại $P$ (với $P$ là trung điểm $AD$).

• $(ABM) \cap (SCD) = Mx // CD$ (do $AB // CD$).

• Trong $(SCD)$, $Mx$ cắt $SC$ tại $N$.

Do $N \in Mx \subset (ABM) \Rightarrow N = SC \cap (ABM)$. $N$ chính là trung điểm $SC$.

Trong $(ABC)$, kẻ qua $M$ đường thẳng song song với $BC$, cắt $AC$ tại $N$. Điểm $N$ là giao điểm cần tìm.

Trong $(SAB)$, kẻ qua $M$ đường thẳng $Mx // AB$. $Mx$ cắt $SB$ tại $N$. $N$ là giao điểm của $SB$ với $(MCD)$.

Bằng $\dfrac{SM}{SA}$ (theo Ta-lét trong $\triangle SAB$).

• Từ $M \in SA$, kẻ $MN // AB$ ($N \in SB$).

• Từ $M$, kẻ $MQ // SD$ ($Q \in AD$).

• Từ $N$, kẻ $NP // SD$ ($P \in SC$).

Thiết diện là hình bình hành $MNPQ$.

Tùy theo số đường thẳng song song khác, thiết diện có thể là tam giác hoặc hình thang có một cạnh song song với $CD$.

Hình thang $CDMN$ có $MN // CD$.

$MN = CD = AB$, tức $M, N$ lần lượt trùng với $A, B$ (mặt phẳng $(\alpha)$ trùng với $(ABCD)$).