Bài 11: Hai đường thẳng song song

• Trong tam giác $ABC$, $M, N$ là trung điểm của $AB, AC \Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\triangle ABC \Rightarrow MN // BC$.

• Trong tam giác $BCD$, $Q, P$ là trung điểm của $BD, CD \Rightarrow QP$ là đường trung bình của $\triangle BCD \Rightarrow PQ // BC$.

• Từ $MN // BC$ và $PQ // BC \Rightarrow MN // PQ$ (ĐPCM).

Ta có $MN // PQ$ và $MN = PQ = \dfrac{1}{2} BC$.

Tứ giác $MNPQ$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên $MNPQ$ là hình bình hành.

$MN$ là đường trung bình $\triangle SAB \Rightarrow MN // AB$. Mặt khác $AB // CD \Rightarrow MN // CD$.

Xét $\triangle ABC$ có $\dfrac{AI}{AB} = \dfrac{AJ}{AC} = \dfrac{1}{3} \Rightarrow IJ // BC$ (Định lí Ta-lét đảo).

• $S$ là điểm chung của $(SAB)$ và $(SCD)$.

• $AB \subset (SAB)$, $CD \subset (SCD)$ và $AB // CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành).

Theo hệ quả về giao tuyến song song, giao tuyến $d = (SAB) \cap (SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và $d // AB // CD$.

• Điểm $M \in (MAB) \cap (SCD)$.

• $AB \subset (MAB), CD \subset (SCD)$ và $AB // CD$.

Giao tuyến là đường thẳng $d$ qua $M$ và $d // AB // CD$. $d$ cắt $SC$ tại $N$. Giao tuyến là đoạn $MN$.

• Điểm $M$ chung.

• $BC // AD$. Giao tuyến là đường thẳng $Mx // BC // AD$.

Điểm $D$ chung và $MN // BC$. Giao tuyến là đường thẳng $Dx // MN // BC$.

Giả sử $AB$ và $CD$ đồng phẳng. Khi đó 4 điểm $A, B, C, D$ cùng thuộc một mặt phẳng (trái với giả thiết $ABCD$ là tứ diện).

Vậy $AB$ và $CD$ chéo nhau.

Cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$. $MN$ là đường trung bình $\triangle SAC \Rightarrow MN // AC$.

$DM$ và $BC$ là hai đường thẳng chéo nhau (không đồng phẳng).

Có thể song song (nếu cùng thuộc 1 MP) hoặc chéo nhau (nếu không cùng thuộc 1 MP).

• Giao tuyến $(\alpha) \cap (SCD)$ đi qua $N \in SD, M \in SC$ và phải song song với $AB$ (vì $AB // CD$).

Suy ra $MN // AB$.

Do đó tứ giác $ABMN$ có một cặp cạnh đối $MN // AB$ nên là **hình thang**.

Thiết diện $ABMN$ là hình bình hành khi $MN = AB = CD$. Điều này xảy ra khi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$ (tức mặt phẳng $(\alpha)$ chứa đường trung bình của $\triangle SCD$).

Thiết diện là hình bình hành có các cạnh song song với $AB$ và $CD$.

Khi hai cạnh kề của hình bình hành bằng nhau (khi $AB = CD$ và $(\alpha)$ đi qua trung điểm các cạnh).