Bài 10: ĐT và MP trong không gian

• Điểm $S$ rõ ràng thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD) \Rightarrow S$ là điểm chung thứ nhất.

• Trong mặt đáy $(ABCD)$, gọi $O = AC \cap BD$.

Vì $O \in AC \subset (SAC)$ và $O \in BD \subset (SBD)$ nên $O$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là đường thẳng $SO$.

• $S$ là điểm chung thứ nhất của $(SAB)$ và $(SCD)$.

• Trong $(ABCD)$, vì $AB$ không song song với $CD$, gọi $E = AB \cap CD$.

$E \in AB \subset (SAB)$ và $E \in CD \subset (SCD) \Rightarrow E$ là điểm chung thứ hai.

Vậy giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng $SE$.

Hai điểm chung rõ ràng là $A$ và $B$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $AB$.

• Point $D$ chung thứ nhất.

• Trong $(ABC)$, gọi $K = MN \cap AB$. $K$ là điểm chung thứ hai.

Giao tuyến là đường thẳng $DK$.

• Chọn mặt phẳng phụ $(SBD)$ chứa $BM$.

• Tìm giao tuyến $(SBD) \cap (SAC) = SO$ (với $O = AC \cap BD$).

• Trong mặt phẳng $(SBD)$, gọi $I = BM \cap SO$.

Vì $I \in SO \subset (SAC)$ nên $I = BM \cap (SAC)$.

Vì $M, N$ là trung điểm $AB, AC$ nên $MN // BC$. Vì $BC \subset (BCD)$ nên $MN // (BCD)$. Do đó $MN$ không cắt $(BCD)$.

Đường thẳng $SA$ cắt mặt phẳng $(ABC)$ tại điểm $A$. Vì $P \in SA$ nên đường kéo dài $SA$ chứa $P$ giao tại $A$.

Vì $M \in (BCD)$ nên giao điểm của $AM$ với $(BCD)$ chính là điểm $M$.

• $MN \subset (ABC)$ và $PQ \subset (BCD)$.

• $I = MN \cap PQ \Rightarrow I \in (ABC)$ và $I \in (BCD) \Rightarrow I \in (ABC) \cap (BCD)$.

Mặt khác $(ABC) \cap (BCD) = BC$. Do đó $I \in BC$, tức 3 điểm $I, B, C$ thẳng hàng.

Ba giao tuyến đó hoặc đồng quy tại 1 điểm hoặc đôi một song song với nhau.

Cùng thuộc 2 mặt phẳng phân biệt (thuộc giao tuyến của 2 mặt phẳng đó).

Gọi $I = a \cap b$. Mặt phẳng $(a,b)$ chứa $a, b$. Do $c$ cắt cả $a$ và $b$ nhưng không nằm trong $(a,b)$ nên buộc $c$ phải đi qua giao điểm $I$. Dẫn tới $a, b, c$ đồng quy tại $I$.

• $(\alpha) // AB \Rightarrow (SAB) \cap (\alpha) = MN // AB$ ($N \in SB$).

• $(\alpha) // AD \Rightarrow (SAD) \cap (\alpha) = MQ // AD$ ($Q \in SD$).

• Từ $N$ kẻ $NP // BC // AD$ ($P \in SC$).

Thiết diện thu được là tứ giác $MNPQ$ (hình bình hành).

Vì hình chóp tứ giác có 5 mặt nên thiết diện cắt bởi 1 mặt phẳng có thể là tam giác (3 cạnh), tứ giác (4 cạnh) hoặc ngũ giác (5 cạnh).

Tứ diện có 4 mặt nên thiết diện tối đa là tứ giác (4 cạnh).

Thiết diện chính là tam giác $MNP$.