Ôn chương 2 - Toán 11
Lý thuyết tổng hợp và bài tập có lời giải Ôn chương 2 - Toán 11 — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Tóm tắt kiến thức trọng tâm Chương II
- Dãy số vô hạn $(u_n) = u(n)$ với $n \in \mathbb{N}^*$.
- Dãy tăng: $u_{n+1} > u_n \ \forall n$. Dãy giảm: $u_{n+1} < u_n \ \forall n$.
- Dãy bị chặn: Tồn tại $m, M$ sao cho $m \le u_n \le M \ \forall n$.
II. So sánh Cấp số cộng và Cấp số nhân
| Đại lượng / Đặc điểm | Cấp số cộng (CSC) | Cấp số nhân (CSN) |
|---|---|---|
| Định nghĩa | $u_{n+1} = u_n + d$ | $u_{n+1} = u_n \cdot q$ |
| Số hạng tổng quát | $u_n = u_1 + (n-1)d$ | $u_n = u_1 \cdot q^{n-1}$ |
| Tính chất 3 số liên tiếp | $2u_k = u_{k-1} + u_{k+1}$ | $u_k^2 = u_{k-1} \cdot u_{k+1}$ |
| Tổng $n$ số hạng đầu $S_n$ | $S_n = \dfrac{n[2u_1 + (n-1)d]}{2}$ | $S_n = u_1 \cdot \dfrac{1 - q^n}{1 - q} \ (q \ne 1)$ |
🔷 Dạng 1: Dãy số tăng, giảm & bị chặn
- Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$ hoặc tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$.
- Tách phân thức hoặc dùng bất đẳng thức để đánh giá miền giá trị của $u_n$.
Xét tính đơn điệu và bị chặn của dãy số $u_n = \dfrac{n}{n+1}$.
Xem lời giải
• Hiệu $u_{n+1} - u_n = \dfrac{n+1}{n+2} - \dfrac{n}{n+1} = \dfrac{(n+1)^2 - n(n+2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{1}{(n+2)(n+1)} > 0 \Rightarrow$ Dãy số tăng.
• Đánh giá: $u_n = 1 - \dfrac{1}{n+1}$. Với $n \ge 1 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le u_n < 1 \Rightarrow$ Dãy số bị chặn.
Cho dãy số $u_1 = 1, u_{n+1} = u_n + 2n + 1$. Dự đoán công thức $u_n$.
Xem lời giải
$u_1 = 1^2$, $u_2 = 1 + 3 = 4 = 2^2$, $u_3 = 4 + 5 = 9 = 3^2$.
Dự đoán CTTQ: $u_n = n^2$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Xét tính bị chặn của dãy số $u_n = \dfrac{3n^2 - 1}{n^2 + 1}$.
Xem lời giải
$u_n = 3 - \dfrac{4}{n^2+1}$. Vì $n \ge 1 \Rightarrow 2 \le n^2+1 \Rightarrow 0 < \dfrac{4}{n^2+1} \le 2 \Rightarrow 1 \le u_n < 3$. Dãy bị chặn.
Xét tính đơn điệu của dãy số $u_n = \dfrac{2^n}{n!}$.
Xem lời giải
$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{2}{n+1} \le 1$ với mọi $n \ge 1$. Dãy số giảm từ $n=2$.
🔷 Dạng 2: Bài tập Cấp số cộng
- Thiết lập hệ phương trình tìm $u_1, d$.
- Dùng công thức tổng $S_n$.
Cho CSC $(u_n)$ biết $\begin{cases} u_1 + u_7 = 26 \\ u_3 + u_5 = 26 \end{cases}$ và $S_7 = 91$. Tìm $u_1$ và $d$.
Xem lời giải
Ta có $S_7 = \dfrac{7(u_1 + u_7)}{2} = \dfrac{7(26)}{2} = 91$ (đúng).
Biến đổi $2u_1 + 6d = 26 \Leftrightarrow u_1 + 3d = 13 \Rightarrow u_4 = 13$. Với $u_1 = 1 \Rightarrow d = 4$.
Tìm 3 số hạng liên tiếp của một CSC biết tổng của chúng bằng 15 và tích bằng 105.
Xem lời giải
Gọi 3 số là $a-d, a, a+d$. Tổng $= 3a = 15 \Rightarrow a = 5$.
Tích $= 5(5-d)(5+d) = 5(25-d^2) = 105 \Rightarrow 25-d^2 = 21 \Rightarrow d^2 = 4 \Rightarrow d = \pm 2$.
Ba số là $3, 5, 7$ (hoặc $7, 5, 3$).
📝 Thực hành — Dạng 2
Cho CSC có $u_1 = -5, d = 3$. Tìm $n$ để $S_n = 390$.
Xem lời giải
$S_n = \dfrac{n[2(-5) + (n-1)3]}{2} = \dfrac{n(3n - 13)}{2} = 390 \Rightarrow 3n^2 - 13n - 780 = 0 \Rightarrow n = 20$.
Tìm $x$ để $1, x, 7$ là một CSC.
Xem lời giải
$2x = 1 + 7 = 8 \Rightarrow x = 4$.
🔷 Dạng 3: Bài tập Cấp số nhân
- Dùng công thức số hạng tổng quát $u_n = u_1 q^{n-1}$ và tổng $S_n = u_1 \dfrac{1-q^n}{1-q}$.
Cho CSN $(u_n)$ có $u_2 = 4$ và $u_4 = 16$. Tìm $u_1$ và $q$.
Xem lời giải
$q^2 = \dfrac{u_4}{u_2} = \dfrac{16}{4} = 4 \Rightarrow q = 2$ hoặc $q = -2$.
• TH1: $q = 2 \Rightarrow u_1 = 2$.
• TH2: $q = -2 \Rightarrow u_1 = -2$.
Tính tổng vô hạn $S = 2 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dots$.
Xem lời giải
$u_1 = 2, q = 1/2 \Rightarrow S = \dfrac{2}{1 - 1/2} = 4$.
📝 Thực hành — Dạng 3
Cho CSN có $u_1 = 5, q = 3$. Tìm $n$ để $S_n = 2020$.
Xem lời giải
$S_n = 5 \cdot \dfrac{3^n - 1}{2} = 2020 \Rightarrow 3^n - 1 = 808 \Rightarrow 3^n = 809 \Rightarrow$ Không có $n \in \mathbb{N}^*$ thỏa mãn.
Tìm $x > 0$ để $x, 4, 16$ là một CSN.
Xem lời giải
$4^2 = x \cdot 16 \Rightarrow 16 = 16x \Rightarrow x = 1$.
🔷 Dạng 4: Bài toán kết hợp CSC - CSN & Thực tế
- Kết hợp tính chất 3 số hạng CSC ($2b = a + c$) và CSN ($b^2 = ac$).
- Mô hình hóa bài toán tài chính, dân số bằng công thức tương ứng.
Cho 3 số $a, b, c$ theo thứ tự lập thành một CSC. Nếu cộng thêm 1 vào số thứ nhất, cộng thêm 2 vào số thứ hai và cộng thêm 9 vào số thứ ba thì thu được 3 số mới theo thứ tự lập thành một CSN. Tìm 3 số $a, b, c$ biết tổng của chúng bằng 15.
Xem lời giải
CSC có tổng $a+b+c = 15 \Rightarrow 3b = 15 \Rightarrow b = 5$.
Gọi 3 số ban đầu là $5-d, 5, 5+d$.
Ba số mới: $6-d, 7, 14+d$ lập thành CSN $\Rightarrow 7^2 = (6-d)(14+d)$.
$49 = 84 - 8d - d^2 \Leftrightarrow d^2 + 8d - 35 = 0 \Leftrightarrow d = 3$ hoặc $d = -11$.
• Nếu $d = 3 \Rightarrow 3$ số là $2, 5, 8$.
• Nếu $d = -11 \Rightarrow 3$ số là $16, 5, -6$.
Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng theo hình thức lãi kép với lãi suất 0.6%/tháng. Sau bao nhiêu tháng thì người đó thu được số tiền trên 60 triệu đồng?
Xem lời giải
$50(1.006)^n > 60 \Leftrightarrow (1.006)^n > 1.2 \Leftrightarrow n > \log_{1.006}(1.2) \approx 30.47$.
Vậy sau ít nhất 31 tháng thì số tiền thu được lớn hơn 60 triệu đồng.
📝 Thực hành — Dạng 4
Tìm $x, y$ sao cho các số $1, x, y$ theo thứ tự lập thành CSC, và các số $1, x, y+2$ lập thành CSN.
Xem lời giải
CSC: $2x = 1 + y \Rightarrow y = 2x - 1$.
CSN: $x^2 = 1(y+2) = 2x - 1 + 2 = 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}$.
Một chuỗi siêu thị tăng số lượng cửa hàng mỗi năm thêm 20%. Nếu năm đầu tiên có 10 cửa hàng thì sau 4 năm chuỗi này có bao nhiêu cửa hàng?
Xem lời giải
$N_4 = 10 \times (1.2)^3 = 10 \times 1.728 = 17.28 \Rightarrow \approx 17$ cửa hàng.
📝 Bài tập tự luận — Ôn tập tổng hợp
Bài 1. Xét tính tăng giảm của dãy số $u_n = \dfrac{2n-3}{n+1}$.
Xem lời giải
$u_{n+1} - u_n = \dfrac{5}{(n+2)(n+1)} > 0 \Rightarrow$ Dãy số tăng.
Bài 2. Tìm số hạng đầu $u_1$ và công sai $d$ của CSC biết $u_4 = 10$ và $u_9 = 25$.
Xem lời giải
$5d = 25 - 10 = 15 \Rightarrow d = 3$. $u_1 = 10 - 3(3) = 1$.
Bài 3. Cho CSC có $u_1 = 3, d = 4$. Tính tổng 30 số hạng đầu $S_{30}$.
Xem lời giải
$S_{30} = \dfrac{30[2(3) + 29(4)]}{2} = 15(6 + 116) = 15 \times 122 = 1830$.
Bài 4. Tìm $u_1$ và $q$ của CSN biết $u_1 + u_3 = 10$ và $u_2 + u_4 = 20$.
Xem lời giải
$\dfrac{u_2+u_4}{u_1+u_3} = q = \dfrac{20}{10} = 2$. $u_1(1 + 4) = 10 \Rightarrow 5u_1 = 10 \Rightarrow u_1 = 2$.
Bài 5. Cho CSN có $u_1 = 2, q = 3$. Tìm $n$ để $u_n = 486$.
Xem lời giải
$2 \cdot 3^{n-1} = 486 \Rightarrow 3^{n-1} = 243 = 3^5 \Rightarrow n-1 = 5 \Rightarrow n = 6$.
Bài 6. Tính tổng vô hạn $S = 3 + 1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \dots$.
Xem lời giải
$S = \dfrac{3}{1 - 1/3} = \dfrac{9}{2}$.
Bài 7. Tìm $x$ để 3 số $x-2, x+1, 3x-1$ lập thành CSC.
Xem lời giải
$2(x+1) = (x-2) + (3x-1) \Leftrightarrow 2x + 2 = 4x - 3 \Leftrightarrow 2x = 5 \Leftrightarrow x = 2.5$.
Bài 8. Tìm $x > 0$ để 3 số $x, 6, 12x$ lập thành CSN.
Xem lời giải
$6^2 = 12x^2 \Rightarrow 36 = 12x^2 \Rightarrow x^2 = 3 \Rightarrow x = \sqrt{3}$.
Bài 9. Tính tổng tất cả các số có 2 chữ số chia hết cho 5.
Xem lời giải
Các số: $10, 15, 20, \dots, 95$. $u_1 = 10, d = 5, u_n = 95 \Rightarrow n = 18$.
$S_{18} = \dfrac{18(10+95)}{2} = 9 \times 105 = 945$.
Bài 10. Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất 1%/tháng. Mỗi tháng người đó trả cố định 5 triệu đồng cả vốn lẫn lãi. Hỏi sau bao nhiêu tháng người đó trả hết nợ?
Xem lời giải
Số tiền nợ sau $n$ tháng: $A_n = A(1+r)^n - a \cdot \dfrac{(1+r)^n - 1}{r} = 0$.
$100(1.01)^n = 5 \cdot \dfrac{(1.01)^n - 1}{0.01} = 500[(1.01)^n - 1] \Rightarrow 400(1.01)^n = 500 \Rightarrow (1.01)^n = 1.25$.
$n = \log_{1.01}(1.25) \approx 22.4$. Vậy sau 23 tháng thì trả hết nợ.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Chương II. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương II
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →