Bài 7: Cấp số nhân

Xét tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3 \cdot 2^{n+1}}{3 \cdot 2^n} = 2$$

Vì tỉ số là số không đổi $q = 2$ với mọi $n \ge 1$, nên $(u_n)$ là cấp số nhân.

Số hạng đầu $u_1 = 3 \cdot 2^1 = 6$, công bội $q = 2$.

Theo tính chất trung bình nhân:

$$(x + 2)^2 = x \cdot (3x) \Leftrightarrow x^2 + 4x + 4 = 3x^2 \Leftrightarrow 2x^2 - 4x - 4 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 2x - 2 = 0$$ $$\Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{3}$$

Vậy có 2 giá trị $x = 1 + \sqrt{3}$ hoặc $x = 1 - \sqrt{3}$.

$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{5(n+1)}{5n} = \dfrac{n+1}{n} = 1 + \dfrac{1}{n}$ phụ thuộc vào $n$.

Do đó dãy số $u_n = 5n$ không phải là cấp số nhân (đây là cấp số cộng).

$x^2 = 2 \times 18 = 36 \Rightarrow x = 6$ (do $x > 0$).

Biến đổi hệ theo $u_1, q$:

$$\begin{cases} u_1 q^3 - u_1 q = 72 \\ u_1 q^4 - u_1 q^2 = 144 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} u_1 q (q^2 - 1) = 72 \quad (1) \\ u_1 q^2 (q^2 - 1) = 144 \quad (2) \end{cases}$$

Chia (2) cho (1) vế theo vế:

$$\dfrac{u_1 q^2 (q^2 - 1)}{u_1 q (q^2 - 1)} = \dfrac{144}{72} \Leftrightarrow q = 2$$

Thay $q = 2$ vào (1): $u_1 (2)(4 - 1) = 72 \Leftrightarrow 6 u_1 = 72 \Leftrightarrow u_1 = 12$.

Vậy $u_1 = 12$ và $q = 2$.

Ta có $\dfrac{u_6}{u_3} = q^3 \Leftrightarrow \dfrac{96}{12} = q^3 \Leftrightarrow q^3 = 8 \Leftrightarrow q = 2$.

Suy ra $u_1 = \dfrac{u_3}{q^2} = \dfrac{12}{4} = 3$.

Số hạng $u_{10} = u_1 \cdot q^9 = 3 \cdot 2^9 = 3 \cdot 512 = 1536$.

$u_7 = u_1 \cdot q^6 = 3 \cdot (-2)^6 = 3 \cdot 64 = 192$.

$\begin{cases} u_1(1 + q + q^2) = 13 \\ u_1 q^3(1 + q + q^2) = 351 \end{cases} \Rightarrow q^3 = \dfrac{351}{13} = 27 \Rightarrow q = 3$.

Thay vào pt đầu: $u_1(1 + 3 + 9) = 13 \Rightarrow 13u_1 = 13 \Rightarrow u_1 = 1$.

$$S_{10} = 1 \cdot \dfrac{1 - 2^{10}}{1 - 2} = \dfrac{1 - 1024}{-1} = 1023$$

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với $u_1 = 1$ và công bội $q = \dfrac{1}{2}$ (thỏa mãn $|q| < 1$).

Tổng vô hạn:

$$S = \dfrac{u_1}{1 - q} = \dfrac{1}{1 - 1/2} = \dfrac{1}{1/2} = 2$$

CSN có $u_1 = 3, q = 2$. $u_n = 3 \cdot 2^{n-1} = 384 \Rightarrow 2^{n-1} = 128 = 2^7 \Rightarrow n-1 = 7 \Rightarrow n = 8$.

$S_8 = 3 \cdot \dfrac{1 - 2^8}{1 - 2} = 3 \cdot 255 = 765$.

$u_1 = 1, q = -\dfrac{1}{3}$ ($|q| < 1$).

$S = \dfrac{1}{1 - (-1/3)} = \dfrac{1}{4/3} = \dfrac{3}{4}$.

Áp dụng công thức lãi kép $T_n = A(1 + r)^n$ với $A = 100$ triệu, $r = 6\% = 0.06$, $n = 5$:

$$T_5 = 100 \times (1 + 0.06)^5 = 100 \times (1.06)^5 \approx 133.82 \text{ triệu đồng}$$

Số vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành cấp số nhân có $u_0 = 1000$, công bội $q = 2$.

Sau 10 giờ, số vi khuẩn là:

$$u_{10} = 1000 \times 2^{10} = 1000 \times 1024 = 1.024.000 \text{ con}$$

Độ dày sau 10 lần gấp: $d = 0.1 \times 2^{10} = 0.1 \times 1024 = 102.4\text{ mm} = 10.24\text{ cm}$.

$N_3 = 1.000.000 \times (1 + 0.012)^3 \approx 1.036.433$ người.