Bài 6: Cấp số cộng

Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

$$u_{n+1} - u_n = [5 - 3(n+1)] - (5 - 3n) = 5 - 3n - 3 - 5 + 3n = -3$$

Vì hiệu là số không đổi $d = -3$ với mọi $n \ge 1$, nên $(u_n)$ là một cấp số cộng.

Số hạng đầu: $u_1 = 5 - 3(1) = 2$, công sai $d = -3$.

Theo tính chất trung bình cộng:

$$2(3x) = (x + 1) + (4x + 2) \Leftrightarrow 6x = 5x + 3 \Leftrightarrow x = 3$$

Vậy với $x = 3$, ba số $4, 9, 14$ lập thành một cấp số cộng có công sai $d = 5$.

$u_{n+1} - u_n = 2^{n+1} - 2^n = 2^n(2-1) = 2^n$ phụ thuộc vào $n$.

Do đó dãy số $u_n = 2^n$ không phải là cấp số cộng.

$2m = 1 + 9 = 10 \Leftrightarrow m = 5$.

Biểu diễn qua $u_1$ và $d$:

$$\begin{cases} (u_1 + d) + (u_1 + 4d) = 19 \\ (u_1 + 2d) + (u_1 + 7d) = 31 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2u_1 + 5d = 19 \\ 2u_1 + 9d = 31 \end{cases}$$

Trừ hai phương trình: $4d = 12 \Leftrightarrow d = 3$.

Thay vào pt đầu: $2u_1 + 5(3) = 19 \Leftrightarrow 2u_1 = 4 \Leftrightarrow u_1 = 2$.

Vậy $u_1 = 2$ và $d = 3$.

Ta có $u_7 - u_4 = 3d \Leftrightarrow 19 - 10 = 3d \Leftrightarrow 3d = 9 \Leftrightarrow d = 3$.

Suy ra $u_1 = u_4 - 3d = 10 - 3(3) = 1$.

Số hạng thứ 20: $u_{20} = u_1 + 19d = 1 + 19(3) = 1 + 57 = 58$.

$u_{15} = u_1 + 14d = -3 + 14(4) = -3 + 56 = 53$.

$\begin{cases} 2u_1 + 2d = 8 \\ 2u_1 + 6d = 20 \end{cases} \Rightarrow 4d = 12 \Rightarrow d = 3, u_1 = 1$.

Áp dụng công thức:

$$S_{50} = \dfrac{50 [2(5) + 49(3)]}{2} = 25 \times (10 + 147) = 25 \times 157 = 3925$$

Ta có $S_n = \dfrac{n[2(1) + (n-1)4]}{2} = \dfrac{n(4n - 2)}{2} = n(2n - 1) = 2n^2 - n$.

Theo đề bài: $2n^2 - n = 190 \Leftrightarrow 2n^2 - n - 190 = 0$.

Giải pt: $\left[\begin{array}{l} n = 10 \text{ (nhận)} \\ n = -9.5 \text{ (loại)} \end{array}\right.$.

Vậy cần lấy $10$ số hạng đầu tiên.

Đây là tổng CSC có $u_1 = 1, d = 3, u_n = 97$.

$97 = 1 + (n-1)3 \Rightarrow (n-1)3 = 96 \Rightarrow n - 1 = 32 \Rightarrow n = 33$.

$S_{33} = \dfrac{33(1 + 97)}{2} = 33 \times 49 = 1617$.

$S_{20} = \dfrac{20[2(3) + 19d]}{2} = 10(6 + 19d) = 60 + 190d = 440$.

$190d = 380 \Leftrightarrow d = 2$.

Số ghế ở các hàng lập thành một cấp số cộng $(u_n)$ với $u_1 = 20$, công sai $d = 2$ và số hàng $n = 25$.

Tổng số ghế của rạp hát là tổng $S_{25}$:

$$S_{25} = \dfrac{25 [2(20) + 24(2)]}{2} = 25 \times \dfrac{40 + 48}{2} = 25 \times 44 = 1100 \text{ ghế}$$

Tiền lương mỗi năm lập thành CSC có $u_1 = 120$ triệu, công sai $d = 10$ triệu và $n = 10$.

$$S_{10} = \dfrac{10 [2(120) + 9(10)]}{2} = 5 \times (240 + 90) = 5 \times 330 = 1650 \text{ triệu đồng}$$

Một ngày chia làm 2 vòng 12 giờ. Mỗi vòng đánh: $S_{12} = \dfrac{12(1+12)}{2} = 78$ tiếng.

Tổng tiếng chuông trong 24 giờ: $78 \times 2 = 156$ tiếng chuông.

$u_1 = 5, d = 0.5, n = 14$.

$S_{14} = \dfrac{14[2(5) + 13(0.5)]}{2} = 7 \times (10 + 6.5) = 7 \times 16.5 = 115.5\text{ km}$.