Bài 5: Dãy số

• $u_1 = \dfrac{1^2 + 1}{2(1)} = 1$.

• $u_2 = \dfrac{2^2 + 1}{2(2)} = \dfrac{5}{4}$.

• $u_3 = \dfrac{3^2 + 1}{2(3)} = \dfrac{10}{6} = \dfrac{5}{3}$.

• $u_4 = \dfrac{4^2 + 1}{2(4)} = \dfrac{17}{8}$.

Nhận xét:

• $u_1 = \dfrac{1}{1+1}$, $u_2 = \dfrac{2}{2+1}$, $u_3 = \dfrac{3}{3+1}$, $u_4 = \dfrac{4}{4+1}$, $u_5 = \dfrac{5}{5+1}$.

Tử số đúng bằng $n$, mẫu số bằng $n + 1$.

Dự đoán công thức CTTQ: $u_n = \dfrac{n}{n + 1}$.

$u_1 = 1$.

$u_2 = u_1 + 3 = 4$.

$u_3 = u_2 + 3 = 7$.

$u_4 = u_3 + 3 = 10$.

$u_5 = u_4 + 3 = 13$.

$u_1 = 1^2, u_2 = 2^2, u_3 = 3^2, u_4 = 4^2, u_5 = 5^2$.

Suy ra CTTQ: $u_n = n^2$.

Ta có $u_{n+1} = \dfrac{2(n+1) - 1}{(n+1) + 1} = \dfrac{2n + 1}{n + 2}$.

Xét hiệu $u_{n+1} - u_n$:

$$u_{n+1} - u_n = \dfrac{2n + 1}{n + 2} - \dfrac{2n - 1}{n + 1} = \dfrac{(2n+1)(n+1) - (2n-1)(n+2)}{(n+2)(n+1)}$$ $$= \dfrac{(2n^2 + 3n + 1) - (2n^2 + 3n - 2)}{(n+2)(n+1)} = \dfrac{3}{(n+2)(n+1)}$$

Vì $n \ge 1$ nên $(n+2)(n+1) > 0 \Rightarrow u_{n+1} - u_n > 0$ với mọi $n \ge 1$.

Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.

Vì $u_n > 0$ với mọi $n \ge 1$, ta lập tỉ số:

$$\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{3^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \dfrac{n!}{3^n} = \dfrac{3}{n + 1}$$

• Với $n = 1: \dfrac{u_2}{u_1} = \dfrac{3}{2} > 1$.

• Với $n \ge 3: n + 1 \ge 4 \Rightarrow \dfrac{3}{n+1} \le \dfrac{3}{4} < 1$.

Do đó kể từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy số là dãy số giảm.

$u_{n+1} - u_n = 3(n+1) - 5 - (3n - 5) = 3 > 0$.

Vậy $(u_n)$ là dãy số tăng.

Tỉ số $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = \dfrac{1/2^{n+1}}{1/2^n} = \dfrac{1}{2} < 1$.

Vậy $(u_n)$ là dãy số giảm.

Biến đổi $u_n = \dfrac{2(n+1) - 1}{n + 1} = 2 - \dfrac{1}{n + 1}$.

• Vì $n \ge 1 \Rightarrow n + 1 \ge 2 \Rightarrow 0 < \dfrac{1}{n+1} \le \dfrac{1}{2}$.

• Nhân $-1$: $-\dfrac{1}{2} \le -\dfrac{1}{n+1} < 0$.

• Cộng $2$: $2 - \dfrac{1}{2} \le 2 - \dfrac{1}{n+1} < 2 \Leftrightarrow \dfrac{3}{2} \le u_n < 2$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn (bị chặn dưới bởi $\dfrac{3}{2}$ và bị chặn trên bởi $2$).

• Với mọi $n \ge 1$, ta có $u_n = n^2 + 2n \ge 1^2 + 2(1) = 3$. Nên dãy số bị chặn dưới bởi $3$.

• Khi $n$ tiến ra vô cùng, $u_n$ tiến ra vô cùng nên không tồn tại số $M$ nào thỏa mãn $u_n \le M \ \forall n$. Do đó dãy không bị chặn trên.

• Với $n \ge 1 \Rightarrow n(n+1) \ge 2 \Rightarrow 0 < u_n \le \dfrac{1}{2}$.

Vậy dãy số bị chặn.

Ta có $u_n = \sqrt{2}\sin\left(\dfrac{n\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4}\right)$.

Vì $-1 \le \sin(\dots) \le 1 \Rightarrow -\sqrt{2} \le u_n \le \sqrt{2}$.

Vậy dãy số bị chặn.

Giải phương trình $u_n = 19$:

$$n^2 - 3n + 1 = 19 \Leftrightarrow n^2 - 3n - 18 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} n = 6 \text{ (nhận)} \\ n = -3 \text{ (loại)} \end{array}\right.$$

Vậy $19$ là số hạng thứ $6$ của dãy số ($u_6 = 19$).

Giải bất phương trình:

$$\dfrac{n+1}{2n+1} > \dfrac{5}{9} \Leftrightarrow 9(n+1) > 5(2n+1) \Leftrightarrow 9n + 9 > 10n + 5 \Leftrightarrow n < 4$$

Vì $n \in \mathbb{N}^*$ nên $n \in \{1, 2, 3\}$. Có 3 số hạng đầu tiên $u_1, u_2, u_3$ thỏa mãn.

$\dfrac{2n+5}{n+1} = \dfrac{7}{2} \Leftrightarrow 2(2n+5) = 7(n+1) \Leftrightarrow 4n + 10 = 7n + 7 \Leftrightarrow 3n = 3 \Leftrightarrow n = 1$.

Vậy $\dfrac{7}{2}$ là số hạng thứ 1 ($u_1$).

$2^n - 1 = 63 \Leftrightarrow 2^n = 64 \Leftrightarrow n = 6$.

Vậy $u_6 = 63$.