Ôn chương 1 - Toán 11

$$A = \dfrac{2\sin x \cos x + \sin x}{\cos x + (1 + \cos 2x)} = \dfrac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x + 2\cos^2 x} = \dfrac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x(2\cos x + 1)} = \tan x$$

Nhân với $\sin 20^\circ$: $B \cdot \sin 20^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{4}\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{8}\sin 160^\circ = \dfrac{1}{8}\sin 20^\circ \Rightarrow B = \dfrac{1}{8}$.

Chia cả tử và mẫu cho $\cos^2 x \ne 0$:

$$P = \dfrac{\tan^2 x - 3\tan x + 2(1 + \tan^2 x)}{1 + (1 + \tan^2 x)} = \dfrac{3\tan^2 x - 3\tan x + 2}{\tan^2 x + 2} = \dfrac{3(4) - 3(2) + 2}{4 + 2} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3}$$

$\cos u - \cos v = -2\sin\dfrac{u+v}{2}\sin\dfrac{u-v}{2} = -2\sin x \sin\dfrac{\pi}{4} = -\sqrt{2}\sin x$.

Vì $1 - \cos x \ge 0$ và $1 + \sin x \ge 0$ với mọi $x$, phân thức dưới căn không âm khi $1 + \sin x > 0$.

Điều kiện: $1 + \sin x \ne 0 \Leftrightarrow \sin x \ne -1 \Leftrightarrow x \ne -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi$.

Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{\pi}{2} + k2\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

Ta có $0 \le \sin^2 x \le 1 \Rightarrow -2 \le -2\sin^2 x \le 0 \Rightarrow 1 \le y \le 3$.

• $\max y = 3$ (khi $\sin x = 0$), $\min y = 1$ (khi $\sin^2 x = 1$).

Điều kiện: $\cos 2x \ne 0$ và $\sin x \ne 0 \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ và $x \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2}$ và $x \ne k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

Biến đổi $3\sin x + 4\cos x = 5\sin(x + \phi)$. Do đó $-5 \le 3\sin x + 4\cos x \le 5$.

Suy ra $-4 \le y \le 6$. Vậy $\max y = 6$.

$$2\sin 3x \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin 3x = 0 \\ \cos x = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\dfrac{\pi}{3} \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

Dùng công thức $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$2\cos^2 x - 3\cos x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = \dfrac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k2\pi \\ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

Chia hai vế cho $2$: $\sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{4}$.

$$\left[\begin{array}{l} x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{5\pi}{12} + k2\pi \\ x = \dfrac{11\pi}{12} + k2\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

$\dfrac{2}{\sin 2x} = 2 \Leftrightarrow \sin 2x = 1 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

$3x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3}$.

• Nhánh $x = \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \in (0; \pi) \Rightarrow k = 0 (x = \pi/9), k = 1 (x = 7\pi/9)$.

• Nhánh $x = -\dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \in (0; \pi) \Rightarrow k = 1 (x = 5\pi/9)$.

Vậy có 3 nghiệm: $x \in \left\{\dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9}; \dfrac{7\pi}{9}\right\}$.

Điều kiện có nghiệm: $-1 \le m + 1 \le 1 \Leftrightarrow -2 \le m \le 0$.

$x = k\pi$. Thuộc $[0; 3\pi] \Rightarrow k \in \{0; 1; 2; 3\} \Rightarrow x \in \{0; \pi; 2\pi; 3\pi\}$.

Tổng các nghiệm $S = 0 + \pi + 2\pi + 3\pi = 6\pi$.

$x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi$. Cho $-\pi < \dfrac{\pi}{3} + k\pi < 2\pi \Leftrightarrow -\dfrac{4}{3} < k < \dfrac{5}{3} \Rightarrow k \in \{-1; 0; 1\}$.

Vậy phương trình có đúng $3$ nghiệm trong khoảng đã cho.