Ôn chương 1 - Toán 11

a) Đổi sang radian:

• $150^\circ = 150 \cdot \dfrac{\pi}{180} = \dfrac{5\pi}{6}\text{ rad}$.

• $-225^\circ = -225 \cdot \dfrac{\pi}{180} = -\dfrac{5\pi}{4}\text{ rad}$.

b) Đổi sang độ:

• $\dfrac{5\pi}{6}\text{ rad} = \dfrac{5}{6} \cdot 180^\circ = 150^\circ$.

• $-\dfrac{3\pi}{4}\text{ rad} = -\dfrac{3}{4} \cdot 180^\circ = -135^\circ$.

c) Độ dài cung tròn:

$$l = R \cdot \alpha = 12 \cdot \dfrac{2\pi}{3} = 8\pi\text{ cm} \approx 25{,}13\text{ cm}.$$

Ta có $\sin^2\alpha = 1 - \cos^2\alpha = 1 - \left(-\dfrac{4}{5}\right)^2 = \dfrac{9}{25}$.

Vì $\pi < \alpha < \dfrac{3\pi}{2}$ (góc phần tư thứ III), nên $\sin\alpha < 0$. Do đó:

$$\sin\alpha = -\sqrt{\dfrac{9}{25}} = -\dfrac{3}{5}$$

Từ đó tính được:

$$\tan\alpha = \dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \dfrac{-3/5}{-4/5} = \dfrac{3}{4}$$ $$\cot\alpha = \dfrac{1}{\tan\alpha} = \dfrac{4}{3}$$

Giá trị biểu thức $M$:

$$M = 2\left(-\dfrac{3}{5}\right) - 3\left(\dfrac{3}{4}\right) = -\dfrac{6}{5} - \dfrac{9}{4} = -\dfrac{69}{20}$$

a) Vì $\tan\alpha = 3$ tồn tại nên $\cos\alpha \ne 0$. Chia cả tử và mẫu của $P$ cho $\cos\alpha$:

$$P = \dfrac{3\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} - 2}{\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha} + 5} = \dfrac{3\tan\alpha - 2}{\tan\alpha + 5} = \dfrac{3(3) - 2}{3 + 5} = \dfrac{7}{8}$$

b) Chia cả tử và mẫu của $Q$ cho $\cos^2\alpha \ne 0$:

$$Q = \dfrac{2\tan^2\alpha - 3\tan\alpha + 4}{\tan^2\alpha + 2} = \dfrac{2(3^2) - 3(3) + 4}{3^2 + 2} = \dfrac{18 - 9 + 4}{9 + 2} = \dfrac{13}{11}$$

a) Ta có các hằng đẳng thức biến đổi:

• $\sin^4 x + \cos^4 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^2 - 2\sin^2 x\cos^2 x = 1 - 2\sin^2 x\cos^2 x$.

• $\sin^6 x + \cos^6 x = (\sin^2 x + \cos^2 x)^3 - 3\sin^2 x\cos^2 x(\sin^2 x + \cos^2 x) = 1 - 3\sin^2 x\cos^2 x$.

Thay vào biểu thức $A$:

$$A = 2(1 - 3\sin^2 x\cos^2 x) - 3(1 - 2\sin^2 x\cos^2 x) + 5 = 2 - 6\sin^2 x\cos^2 x - 3 + 6\sin^2 x\cos^2 x + 5 = 4$$

Vậy $A = 4$ luôn là hằng số, không phụ thuộc vào $x$.

b) Rút gọn từng thành phần theo công thức góc liên quan đặc biệt:

• $\sin(\pi - x) = \sin x$.

• $\cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x$.

• $\cos(2026\pi - x) = \cos(-x) = \cos x$.

• $\sin\left(x + \dfrac{3\pi}{2}\right) = \sin\left(x + 2\pi - \dfrac{\pi}{2}\right) = \sin\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) = -\cos x$.

• $\tan(\pi + x) = \tan x, \quad \cot\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \tan x$.

Thay vào biểu thức $B$:

$$B = \dfrac{\sin x \cdot \sin x + \cos x \cdot (-\cos x)}{\tan x \cdot \tan x + 1} = \dfrac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\tan^2 x + 1} = (\sin^2 x - \cos^2 x) \cdot \cos^2 x$$

Với $x$ thỏa mãn biểu thức có nghĩa, khi xét $B_0 = \dfrac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\tan^2 x + 1} = \cos^2 x$. Ở bài toán này tử số là $\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos 2x$.

a) Một vòng tương ứng với góc quay $2\pi\text{ rad}$.

Số vòng bánh xe quay trong 1 giây là: $f = \dfrac{150}{60} = 2{,}5$ vòng/s.

Tốc độ góc $\omega$ của bánh xe:

$$\omega = 2{,}5 \cdot 2\pi = 5\pi\text{ rad/s} \approx 15{,}71\text{ rad/s}$$

b) Thời gian chuyển động $t = 10\text{ phút} = 600\text{ giây}$.

Góc lượng giác bánh xe quay được sau 10 phút:

$$\alpha = \omega \cdot t = 5\pi \cdot 600 = 3000\pi\text{ rad} \approx 9424{,}78\text{ rad}$$

c) Bán kính của bánh xe $R = \dfrac{700}{2} = 350\text{ mm} = 0{,}35\text{ m}$.

Quãng đường người đi xe đạp đi được chính là độ dài cung lăn trên đường:

$$s = R \cdot \alpha = 0{,}35 \cdot 3000\pi = 1050\pi\text{ m} \approx 1050 \cdot 3{,}1416 = 3298{,}68\text{ m} \approx 3{,}3\text{ km}$$

a) Tách $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$:

$$\sin 15^\circ = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin 45^\circ\cos 30^\circ - \cos 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

b) Tách $75^\circ = 45^\circ + 30^\circ$:

$$\cos 75^\circ = \cos(45^\circ + 30^\circ) = \cos 45^\circ\cos 30^\circ - \sin 45^\circ\sin 30^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{\sqrt{3}}{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2}\dfrac{1}{2} = \dfrac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$$

c) Tách $105^\circ = 60^\circ + 45^\circ$:

$$\tan 105^\circ = \dfrac{\tan 60^\circ + \tan 45^\circ}{1 - \tan 60^\circ\tan 45^\circ} = \dfrac{\sqrt{3} + 1}{1 - \sqrt{3}} = \dfrac{(\sqrt{3}+1)^2}{(1-\sqrt{3})(1+\sqrt{3})} = \dfrac{4 + 2\sqrt{3}}{-2} = -2 - \sqrt{3}$$

a) Vì $a, b$ là các góc nhọn ($0 < a, b < \dfrac{\pi}{2}$) nên $\cos a > 0, \sin b > 0$:

$$\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \dfrac{9}{25}} = \dfrac{4}{5}$$ $$\sin b = \sqrt{1 - \cos^2 b} = \sqrt{1 - \dfrac{144}{169}} = \dfrac{5}{13}$$

b) Áp dụng công thức cộng:

$$\sin(a + b) = \sin a\cos b + \cos a\sin b = \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{36 + 20}{65} = \dfrac{56}{65}$$ $$\cos(a - b) = \cos a\cos b + \sin a\sin b = \dfrac{4}{5} \cdot \dfrac{12}{13} + \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{5}{13} = \dfrac{48 + 15}{65} = \dfrac{63}{65}$$

c) Áp dụng công thức nhân đôi:

$$\sin 2a = 2\sin a\cos a = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}$$ $$\cos 2a = \cos^2 a - \sin^2 a = \left(\dfrac{4}{5}\right)^2 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = \dfrac{16 - 9}{25} = \dfrac{7}{25}$$

a) Sử dụng công thức nhân đôi $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ và $1 + \cos 2x = 2\cos^2 x$:

$$A = \dfrac{2\sin x\cos x + \sin x}{\cos x + (1 + \cos 2x)} = \dfrac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x + 2\cos^2 x} = \dfrac{\sin x(2\cos x + 1)}{\cos x(1 + 2\cos x)} = \dfrac{\sin x}{\cos x} = \tan x$$

b) Nhóm số hạng thứ nhất và thứ ba rồi dùng công thức tổng thành tích:

• Tử số: $(\sin 5x + \sin x) + \sin 3x = 2\sin 3x\cos 2x + \sin 3x = \sin 3x(2\cos 2x + 1)$.

• Mẫu số: $(\cos 5x + \cos x) + \cos 3x = 2\cos 3x\cos 2x + \cos 3x = \cos 3x(2\cos 2x + 1)$.

Do đó:

$$B = \dfrac{\sin 3x(2\cos 2x + 1)}{\cos 3x(2\cos 2x + 1)} = \dfrac{\sin 3x}{\cos 3x} = \tan 3x$$

a) Nhận xét các góc nhân đôi: $20^\circ \rightarrow 40^\circ \rightarrow 80^\circ$. Ta nhân hai vế với $\sin 20^\circ \ne 0$:

$$P \cdot \sin 20^\circ = (\sin 20^\circ \cos 20^\circ) \cos 40^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{2}\sin 40^\circ \cos 40^\circ \cos 80^\circ$$ $$= \dfrac{1}{4}\sin 80^\circ \cos 80^\circ = \dfrac{1}{8}\sin 160^\circ$$

Vì $\sin 160^\circ = \sin(180^\circ - 20^\circ) = \sin 20^\circ$, ta có:

$$P \cdot \sin 20^\circ = \dfrac{1}{8}\sin 20^\circ \Rightarrow P = \dfrac{1}{8}$$

b) Nhân hai vế của $Q$ với $8\sin\dfrac{\pi}{7} \ne 0$:

$$8Q \cdot \sin\dfrac{\pi}{7} = 4\left(2\sin\dfrac{\pi}{7}\cos\dfrac{\pi}{7}\right)\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7} = 4\sin\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{2\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7}$$ $$= 2\sin\dfrac{4\pi}{7}\cos\dfrac{4\pi}{7} = \sin\dfrac{8\pi}{7} = \sin\left(\pi + \dfrac{\pi}{7}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{7}$$

Chia cả hai vế cho $8\sin\dfrac{\pi}{7}$:

$$Q = -\dfrac{1}{8}$$

a) Trong tam giác $ABC$, $A + B + C = \pi \Rightarrow \dfrac{A+B}{2} = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}$. Do đó:

• $\sin\dfrac{A+B}{2} = \cos\dfrac{C}{2}, \quad \cos\dfrac{A+B}{2} = \sin\dfrac{C}{2}$.

Biến đổi vế trái:

$$\sin A + \sin B + \sin C = 2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2} + 2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$ $$= 2\cos\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{A-B}{2} + 2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2} = 2\cos\dfrac{C}{2}\left(\cos\dfrac{A-B}{2} + \sin\dfrac{C}{2}\right)$$ $$= 2\cos\dfrac{C}{2}\left(\cos\dfrac{A-B}{2} + \cos\dfrac{A+B}{2}\right) = 2\cos\dfrac{C}{2} \cdot 2\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2} = 4\cos\dfrac{A}{2}\cos\dfrac{B}{2}\cos\dfrac{C}{2}$$

Đẳng thức được chứng minh.

b) Biến đổi vế phải của giả thiết bằng công thức tổng thành tích:

$$\dfrac{\sin A + \sin B}{\cos A + \cos B} = \dfrac{2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}}{2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}} = \tan\dfrac{A+B}{2} = \tan\left(\dfrac{\pi}{2} - \dfrac{C}{2}\right) = \cot\dfrac{C}{2}$$

Phương trình trở thành: $\sin C = \cot\dfrac{C}{2}$. Dùng $\sin C = 2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2}$ và $\cot\dfrac{C}{2} = \dfrac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$:

$$2\sin\dfrac{C}{2}\cos\dfrac{C}{2} = \dfrac{\cos\frac{C}{2}}{\sin\frac{C}{2}}$$

Vì $0 < \dfrac{C}{2} < \dfrac{\pi}{2}$ nên $\cos\dfrac{C}{2} > 0$. Rút gọn hai vế cho $\cos\dfrac{C}{2}$:

$$2\sin^2\dfrac{C}{2} = 1 \Leftrightarrow 1 - \cos C = 1 \Leftrightarrow \cos C = 0 \Leftrightarrow C = 90^\circ$$

Vậy tam giác $ABC$ vuông tại $C$.

a) Điều kiện xác định: $\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Hàm số xác định khi:

$$2x - \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

c) Hàm số xác định khi:

$$x + \dfrac{\pi}{4} \ne k\pi \Leftrightarrow x \ne -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Tập xác định: $D = \mathbb{R} \setminus \left\{-\dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.

a) Xét tính chẵn lẻ:

• Hàm số $f(x) = x^3\sin 2x$ có $D = \mathbb{R}$. Với mọi $x \in D \Rightarrow -x \in D$:

$$f(-x) = (-x)^3\sin(-2x) = (-x^3)(-\sin 2x) = x^3\sin 2x = f(x)$$

Do đó $f(x)$ là hàm số chẵn.

• Hàm số $g(x) = \dfrac{\cos 3x}{x^2+1}$ có $D = \mathbb{R}$. Ta có:

$$g(-x) = \dfrac{\cos(-3x)}{(-x)^2 + 1} = \dfrac{\cos 3x}{x^2 + 1} = g(x) \Rightarrow g(x) \text{ là } \textbf{hàm số chẵn}.$$

• Hàm số $h(x) = \sin x + \cos x$ có $h(-x) = -\sin x + \cos x \ne \pm h(x)$. Do đó $h(x)$ là hàm số không chẵn không lẻ.

b) Xác định chu kì:

• Với $y = 3\sin\left(4x - \dfrac{\pi}{5}\right)$, hệ số $\omega = 4$. Chu kì là $T = \dfrac{2\pi}{|\omega|} = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.

• Với $y = \tan\left(\dfrac{x}{3} + \dfrac{\pi}{4}\right)$, hệ số $\omega = \dfrac{1}{3}$. Chu kì là $T = \dfrac{\pi}{|\omega|} = \dfrac{\pi}{1/3} = 3\pi$.

a) Vì $-1 \le \cos\left(3x - \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$, nhân với $4$ và trừ $3$:

$$-4 - 3 \le y \le 4 - 3 \Leftrightarrow -7 \le y \le 1$$

Vậy $\max y = 1$ (khi $\cos = 1$) và $\min y = -7$ (khi $\cos = -1$).

b) Vì $0 \le \sin^2 x \le 1 \Rightarrow -2 \le -2\sin^2 x \le 0 \Rightarrow 3 \le 5 - 2\sin^2 x \le 5$.

Vậy $\max y = 5$ (khi $\sin x = 0$) và $\min y = 3$ (khi $\sin^2 x = 1$).

c) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki hoặc đưa về dạng $A\sin(x - \varphi)$:

$$3\sin x - 4\cos x = 5\left(\dfrac{3}{5}\sin x - \dfrac{4}{5}\cos x\right) = 5\sin(x - \varphi) \quad \text{với } \cos\varphi = \dfrac{3}{5}, \sin\varphi = \dfrac{4}{5}$$

Do $-1 \le \sin(x - \varphi) \le 1$ nên $-5 \le 3\sin x - 4\cos x \le 5$.

Cộng thêm $1$ vào các vế: $-4 \le y \le 6$.

Vậy $\max y = 6$, $\min y = -4$.

a) Sử dụng công thức nhân đôi $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$y = (2\cos^2 x - 1) + 4\cos x - 1 = 2\cos^2 x + 4\cos x - 2$$

Đặt $t = \cos x$ với điều kiện $t \in [-1; 1]$. Xét hàm số bậc hai $f(t) = 2t^2 + 4t - 2$ trên đoạn $[-1; 1]$.

Hoành độ đỉnh parabol: $t_0 = -\dfrac{b}{2a} = -\dfrac{4}{2 \cdot 2} = -1 \in [-1; 1]$.

Tính các giá trị tại biên và đỉnh:

• $f(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 2 = -4$.

• $f(1) = 2(1)^2 + 4(1) - 2 = 4$.

Hàm số đồng biến trên $[-1; 1]$. Do đó:

$$\max y = 4 \quad (\text{khi } \cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi)$$ $$\min y = -4 \quad (\text{khi } \cos x = -1 \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi)$$

b) Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi mẫu số khác $0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$:

$$\cos x - m \ne 0, \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \cos x \ne m, \forall x \in \mathbb{R}$$

Điều này có nghĩa là phương trình $\cos x = m$ vô nghiệm. Vì tập giá trị của $\cos x$ là $[-1; 1]$, phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi:

$$|m| > 1 \Leftrightarrow m > 1 \text{ hoặc } m < -1$$

Vậy $m \in (-\infty; -1) \cup (1; +\infty)$.

a) Chu kì quay là $T = 6\text{ phút} \Rightarrow \omega = \dfrac{2\pi}{T} = \dfrac{2\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3}\text{ rad/phút}$.

Tâm đu quay ở độ cao $35\text{ m}$, biên độ dao động bán kính $R = 30\text{ m}$.

Tại $t = 0$, cabin ở vị trí thấp nhất $h(0) = 5\text{ m}$. Dạng hàm số cos dao động quanh đường trung bình $y = 35$:

$$h(t) = 35 - 30\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) \quad (\text{mét})$$

(Kiểm tra: Khi $t = 0 \Rightarrow h(0) = 35 - 30\cos 0 = 5\text{ m}$, hoàn toàn phù hợp đề bài).

b) Vì $-1 \le \cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) \le 1$:

• Độ cao lớn nhất: $\max h = 35 - 30(-1) = 65\text{ m}$ (khi cabin ở đỉnh cao nhất).

• Độ cao nhỏ nhất: $\min h = 35 - 30(1) = 5\text{ m}$ (khi cabin ở đáy).

c) Cho $h(t) = 50\text{ m}$ với $0 \le t \le 6$:

$$35 - 30\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) = 50 \Leftrightarrow -30\cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) = 15 \Leftrightarrow \cos\left(\dfrac{\pi t}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}$$

Vì $-\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3}$, ta có nghiệm:

$$\left[\begin{array}{l} \dfrac{\pi t}{3} = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ \dfrac{\pi t}{3} = -\dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 2 + 6k \\ t = -2 + 6k \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Với $0 \le t \le 6$:

• $t = 2 + 6k \Rightarrow k = 0 \Rightarrow t = 2$ (phút).

• $t = -2 + 6k \Rightarrow k = 1 \Rightarrow t = 4$ (phút).

Vậy trong vòng quay đầu tiên, hành khách đạt độ cao $50\text{ m}$ tại thời điểm $t = 2\text{ phút}$ (lúc đang đi lên) và $t = 4\text{ phút}$ (lúc đang đi xuống).

a) Vì $\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \sin\dfrac{\pi}{3}$:

$$\sin x = \sin\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$

b) Vì $-\dfrac{\sqrt{2}}{2} = \cos\dfrac{3\pi}{4}$:

$$\cos x = \cos\dfrac{3\pi}{4} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

c) Vì $\sqrt{3} = \tan\dfrac{\pi}{3}$:

$$\tan x = \tan\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

d) Vì $-1 = \cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$:

$$\cot x = \cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

a) Áp dụng công thức $\sin u = \sin v$:

$$\left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{4} = x + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{4} = \pi - \left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ 3x = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{7\pi}{12} + k2\pi \\ x = \dfrac{11\pi}{36} + k\dfrac{2\pi}{3} \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

b) Đổi $\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$:

$$\cos 2x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k2\pi \\ 2x = -\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ x = -\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

c) Tính theo độ, $\dfrac{\sqrt{3}}{3} = \tan 30^\circ$:

$$\tan(3x - 15^\circ) = \tan 30^\circ \Leftrightarrow 3x - 15^\circ = 30^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow 3x = 45^\circ + k180^\circ \Leftrightarrow x = 15^\circ + k60^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})$$

a) Áp dụng công thức $\sin 2x = 2\sin x\cos x$:

$$2\sin x\cos x - \sin x = 0 \Leftrightarrow \sin x(2\cos x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = k\pi \\ x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

b) Đặt ẩn phụ $t = \cos x$ ($-1 \le t \le 1$), phương trình trở thành:

$$2t^2 - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = \dfrac{1}{2} \end{array}\right. \quad (\text{cả hai nghiệm đều thỏa mãn})$$

• Với $\cos x = 1 \Leftrightarrow x = k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

• Với $\cos x = \dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

c) Chia hai vế cho $\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = 2$:

$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x - \dfrac{1}{2}\cos x = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow \sin x\cos\dfrac{\pi}{6} - \cos x\sin\dfrac{\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{4}$$ $$\Leftrightarrow \sin\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\dfrac{\pi}{4} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ x - \dfrac{\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{5\pi}{12} + k2\pi \\ x = \dfrac{11\pi}{12} + k2\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

a) Phương trình $\cos 3x = \cos\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow 3x = \pm \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \ (k \in \mathbb{Z})$.

Xét khoảng $(0; \pi)$:

• Nhánh 1: $0 < \dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} < \pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{9} < \dfrac{2k}{3} < \dfrac{8}{9} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{6} < k < \dfrac{4}{3} \Rightarrow k \in \{0; 1\}$.

Ứng với $k = 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{\pi}{9}$; $k = 1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{7\pi}{9}$.

• Nhánh 2: $0 < -\dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} < \pi \Leftrightarrow \dfrac{1}{9} < \dfrac{2k}{3} < \dfrac{10}{9} \Leftrightarrow \dfrac{1}{6} < k < \dfrac{5}{3} \Rightarrow k = 1$.

Ứng với $k = 1 \Rightarrow x_3 = -\dfrac{\pi}{9} + \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{5\pi}{9}$.

Vậy các nghiệm cần tìm là: $x \in \left\{\dfrac{\pi}{9}; \dfrac{5\pi}{9}; \dfrac{7\pi}{9}\right\}$.

b) Phương trình $\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{4} = k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})$.

Điều kiện $x \in [0; 2\pi]$:

$$0 \le \dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \le 2\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{8} \le \dfrac{k}{2} \le \dfrac{15}{8} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{4} \le k \le \dfrac{15}{4} = 3{,}75$$

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{0; 1; 2; 3\}$. Có 4 nghiệm:

$$x_0 = \dfrac{\pi}{8}, \quad x_1 = \dfrac{5\pi}{8}, \quad x_2 = \dfrac{9\pi}{8}, \quad x_3 = \dfrac{13\pi}{8}$$

Tổng các nghiệm là:

$$S = \dfrac{\pi}{8} + \dfrac{5\pi}{8} + \dfrac{9\pi}{8} + \dfrac{13\pi}{8} = \dfrac{28\pi}{8} = \dfrac{7\pi}{2}$$

a)

• Trường hợp 1: Nếu $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$, phương trình trở thành $0 \cdot \cos x = 3$ (vô nghiệm).

• Trường hợp 2: Nếu $m \ne 1$, ta có $\cos x = \dfrac{2m + 1}{m - 1}$.

Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:

$$-1 \le \dfrac{2m + 1}{m - 1} \le 1 \Leftrightarrow \left|\dfrac{2m + 1}{m - 1}\right| \le 1 \Leftrightarrow (2m+1)^2 \le (m-1)^2$$ $$\Leftrightarrow 4m^2 + 4m + 1 \le m^2 - 2m + 1 \Leftrightarrow 3m^2 + 6m \le 0 \Leftrightarrow -2 \le m \le 0$$

Kết hợp điều kiện $m \ne 1$, ta được $-2 \le m \le 0$.

b) Yêu cầu $h(t) \ge 9{,}5\text{ m}$:

$$3\sin\left(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) + 8 \ge 9{,}5 \Leftrightarrow 3\sin\left(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) \ge 1{,}5 \Leftrightarrow \sin\left(\dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3}\right) \ge \dfrac{1}{2}$$

Đặt $\theta = \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3}$. Bất phương trình $\sin\theta \ge \dfrac{1}{2}$ có nghiệm trong một chu kì là:

$$\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \le \theta \le \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Thay $\theta = \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3}$ vào:

$$\dfrac{\pi}{6} + k2\pi \le \dfrac{\pi t}{6} - \dfrac{\pi}{3} \le \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$$

Cộng $\dfrac{\pi}{3}$ vào cả ba vế:

$$\dfrac{\pi}{2} + k2\pi \le \dfrac{\pi t}{6} \le \dfrac{7\pi}{6} + k2\pi$$

Nhân cả ba vế với $\dfrac{6}{\pi}$:

$$3 + 12k \le t \le 7 + 12k \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Vì $0 \le t \le 24$ (trong một ngày):

• Với $k = 0$: $3 \le t \le 7$ (từ 3 giờ sáng đến 7 giờ sáng).

• Với $k = 1$: $15 \le t \le 19$ (từ 15 giờ chiều đến 19 giờ tối).

Vậy tàu có thể cập cảng an toàn vào hai khoảng thời gian: từ $3\text{h}$ đến $7\text{h}$ sáng và từ $15\text{h}$ đến $19\text{h}$ tối.