Bài 4: PT lượng giác cơ bản

Vì $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, phương trình tương đương:

$$\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = \sin\dfrac{\pi}{3}$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x - \dfrac{\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{2\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = \pi + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Vì $\cos\dfrac{3\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, phương trình tương đương:

$$\cos\left(3x + \dfrac{\pi}{4}\right) = \cos\dfrac{3\pi}{4}$$ $$\Leftrightarrow 3x + \dfrac{\pi}{4} = \pm \dfrac{3\pi}{4} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

• TH1: $3x = \dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{2\pi}{3}$.

• TH2: $3x = -\dfrac{3\pi}{4} - \dfrac{\pi}{4} + k2\pi = -\pi + k2\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{3} + k\dfrac{2\pi}{3}$.

$\sin(x + 15^\circ) = \sin 30^\circ \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x + 15^\circ = 30^\circ + k360^\circ \\ x + 15^\circ = 180^\circ - 30^\circ + k360^\circ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 15^\circ + k360^\circ \\ x = 135^\circ + k360^\circ \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$.

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = x + \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = -x - \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ 3x = -\dfrac{\pi}{3} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{3} + k2\pi \\ x = -\dfrac{\pi}{9} + k\dfrac{2\pi}{3} \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$$

Vì $\tan\dfrac{\pi}{3} = \sqrt{3}$, phương trình tương đương:

$$\tan\left(x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \tan\dfrac{\pi}{3} \Leftrightarrow x - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Vì $\cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -1$, phương trình tương đương:

$$\cot 2x = \cot\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow 2x = -\dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{8} + k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

$$\tan x = -\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \tan\left(-\dfrac{\pi}{6}\right) \Leftrightarrow x = -\dfrac{\pi}{6} + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$

$\cot u = 0 \Leftrightarrow u = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.

$$3x + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 3x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{3} \quad (k \in \mathbb{Z})$$

Cách 1 (Dùng phụ chéo): Biến đổi $\cos x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)$.

$$\sin 2x = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} - x + k2\pi \\ 2x = \pi - \left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k2\pi \end{array}\right.$$

Dùng công thức tổng thành tích $\sin x + \sin 3x = 2\sin 2x \cos(-x) = 2\sin 2x \cos x$.

Phương trình tương đương $2\sin 2x \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \sin 2x = 0 \\ \cos x = 0 \end{array}\right.$.

• $\sin 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = k\pi \Leftrightarrow x = k\dfrac{\pi}{2}$.

• $\cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$ (nghiệm này đã chứa trong $x = k\dfrac{\pi}{2}$).

Vậy nghiệm là $x = k\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})$.

$2\cos 2x \cos x = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \cos 2x = 0 \\ \cos x = 0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \end{array}\right. \ (k \in \mathbb{Z})$.

Ta có $\cos^2 x - \sin^2 x = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})$.

Nghiệm tổng quát: $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$ hoặc $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.

• Với $x = \dfrac{\pi}{6} + k2\pi$: Cho $0 \le \dfrac{\pi}{6} + k2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow -\dfrac{1}{6} \le 2k \le \dfrac{11}{6} \Leftrightarrow -\dfrac{1}{12} \le k \le \dfrac{11}{12}$. Vì $k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6}$.

• Với $x = \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi$: Cho $0 \le \dfrac{5\pi}{6} + k2\pi \le 2\pi \Leftrightarrow -\dfrac{5}{12} \le k \le \dfrac{7}{12} \Rightarrow k = 0 \Rightarrow x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Vậy có 2 nghiệm thuộc đoạn $[0; 2\pi]$ là $x = \dfrac{\pi}{6}$ và $x = \dfrac{5\pi}{6}$.

Nghiệm: $2x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} \ (k \in \mathbb{Z})$.

Cho $-\pi < \dfrac{\pi}{4} + k\dfrac{\pi}{2} < \pi \Leftrightarrow -1 < \dfrac{1}{4} + \dfrac{k}{2} < 1 \Leftrightarrow -\dfrac{5}{4} < \dfrac{k}{2} < \dfrac{3}{4} \Leftrightarrow -2{,}5 < k < 1{,}5$.

Vì $k \in \mathbb{Z}$ nên $k \in \{-2; -1; 0; 1\}$ ($4$ giá trị $k$).

Vậy phương trình có đúng $4$ nghiệm trong khoảng đã cho.

$x = \dfrac{\pi}{4} + k\pi$. Khoảng $(0; 2\pi)$ ứng với $k = 0 \Rightarrow x_1 = \dfrac{\pi}{4}$ và $k = 1 \Rightarrow x_2 = \dfrac{5\pi}{4}$.

Tổng các nghiệm $S = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{5\pi}{4} = \dfrac{6\pi}{4} = \dfrac{3\pi}{2}$.

$\sin 3x = \sin\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} 3x = -\dfrac{\pi}{4} + k2\pi \\ 3x = \dfrac{5\pi}{4} + k2\pi \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = -\dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{2\pi}{3} \\ x = \dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{2\pi}{3} \end{array}\right.$.

Nghiệm âm lớn nhất ứng với $k = 0$ ở nhánh 1: $x = -\dfrac{\pi}{12}$.