Bài 3: Hàm số lượng giác
Lý thuyết chi tiết và bài tập có lời giải Bài 3: Hàm số lượng giác — SGK Toán 11 Kết nối tri thức.
I. Đặc điểm 4 hàm số lượng giác cơ bản
1. Hàm số $y = \sin x$ và $y = \cos x$
| Tính chất | Hàm số $y = \sin x$ | Hàm số $y = \cos x$ |
|---|---|---|
| Tập xác định | $D = \mathbb{R}$ | $D = \mathbb{R}$ |
| Tập giá trị | $T = [-1; 1]$ | $T = [-1; 1]$ |
| Tính chẵn / lẻ | Hàm số LẺ (gốc $O$) | Hàm số CHẴN (trục $Oy$) |
| Chu kì tuần hoàn | $T = 2\pi$ | $T = 2\pi$ |
2. Hàm số $y = \tan x$ và $y = \cot x$
| Tính chất | Hàm số $y = \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ | Hàm số $y = \cot x = \dfrac{\cos x}{\sin x}$ |
|---|---|---|
| Tập xác định | $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$ | $D = \mathbb{R} \setminus \left\{k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$ |
| Tập giá trị | $T = \mathbb{R}$ | $T = \mathbb{R}$ |
| Tính chẵn / lẻ | Hàm số LẺ | Hàm số LẺ |
| Chu kì tuần hoàn | $T = \pi$ | $T = \pi$ |
II. Tính tuần hoàn và chu kì
- Hàm số $y = \sin(ax + b)$ và $y = \cos(ax + b)$ có chu kì: $$T = \dfrac{2\pi}{|a|}$$
- Hàm số $y = \tan(ax + b)$ và $y = \cot(ax + b)$ có chu kì: $$T = \dfrac{\pi}{|a|}$$
🔷 Dạng 1: Tìm tập xác định của hàm số lượng giác
- Hàm số chứa phân thức $\dfrac{A}{B}$ xác định khi mẫu số $B \ne 0$.
- Hàm số chứa $\tan(u(x))$ xác định khi $\cos(u(x)) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
- Hàm số chứa $\cot(u(x))$ xác định khi $\sin(u(x)) \ne 0 \Leftrightarrow u(x) \ne k\pi$.
- Hàm số chứa căn bậc hai $\sqrt{A}$ xác định khi biểu thức trong căn $A \ge 0$.
Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{1 + \cos x}{\sin x}$.
Xem lời giải
Hàm số xác định khi mẫu số khác 0:
$$\sin x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k\pi \quad (k \in \mathbb{Z})$$Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R} \setminus \{k\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
Tìm tập xác định của hàm số $y = \tan\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$.
Xem lời giải
Hàm số xác định khi:
$$2x - \dfrac{\pi}{3} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow 2x \ne \dfrac{5\pi}{6} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{5\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
📝 Thực hành — Dạng 1
Tìm tập xác định của hàm số $y = \dfrac{2}{\cos x - 1}$.
Xem lời giải
Điều kiện: $\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \ (k \in \mathbb{Z})$.
Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{1 + \sin x}$.
Xem lời giải
Điều kiện: $1 + \sin x \ge 0 \Leftrightarrow \sin x \ge -1$.
Vì $-1 \le \sin x \le 1$ luôn đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$, nên bất phương trình này đúng với mọi $x$.
Vậy tập xác định của hàm số là $D = \mathbb{R}$.
🔷 Dạng 2: Tìm GTLN và GTNN của hàm số lượng giác
- Dùng đánh giá cơ bản: $-1 \le \sin(u(x)) \le 1$ và $-1 \le \cos(u(x)) \le 1$.
- Dùng đánh giá bình phương: $0 \le \sin^2(u(x)) \le 1$ và $0 \le \cos^2(u(x)) \le 1$.
- Đối với dạng $y = a\sin x + b\cos x + c$, dùng bất đẳng thức Bungacopxki hoặc đưa về dạng $y = C \sin(x + \alpha) + c$ với $C = \sqrt{a^2 + b^2}$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 3\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) + 5$.
Xem lời giải
Ta có: $-1 \le \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Nhân $3$ vào các vế: $-3 \le 3\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{4}\right) \le 3$.
Cộng $5$ vào các vế: $-3 + 5 \le y \le 3 + 5 \Leftrightarrow 2 \le y \le 8$.
• GTLN của hàm số bằng $8$.
• GTNN của hàm số bằng $2$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 4 - 3\sin^2 x$.
Xem lời giải
Ta có: $0 \le \sin^2 x \le 1$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Nhân $-3$ đảo chiều bất đẳng thức: $-3 \le -3\sin^2 x \le 0$.
Cộng $4$ vào các vế: $4 - 3 \le 4 - 3\sin^2 x \le 4 - 0 \Leftrightarrow 1 \le y \le 4$.
• GTLN $\max y = 4$ khi $\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi$.
• GTNN $\min y = 1$ khi $\sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos x = 0 \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 2\sqrt{\sin x + 3} - 1$.
Xem lời giải
Ta có $-1 \le \sin x \le 1 \Rightarrow 2 \le \sin x + 3 \le 4$.
Khai căn: $\sqrt{2} \le \sqrt{\sin x + 3} \le 2$.
Nhân $2$ rồi trừ $1$: $2\sqrt{2} - 1 \le y \le 4 - 1 = 3$.
• GTNN $\min y = 2\sqrt{2} - 1$, GTLN $\max y = 3$.
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \sin x + \cos x$.
Xem lời giải
Biến đổi $y = \sqrt{2}\sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Vì $-1 \le \sin\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) \le 1$ nên $-\sqrt{2} \le y \le \sqrt{2}$.
• GTLN $\max y = \sqrt{2}$, GTNN $\min y = -\sqrt{2}$.
🔷 Dạng 3: Xét tính chẵn, lẻ của hàm số lượng giác
- Bước 1: Tìm tập xác định $D$ và kiểm tra $D$ có đối xứng không (tức với mọi $x \in D \Rightarrow -x \in D$).
- Bước 2: Tính $f(-x)$:
- Nếu $f(-x) = f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số chẵn.
- Nếu $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x \in D$ thì $f(x)$ là hàm số lẻ.
- Nếu $f(-x) \ne f(x)$ và $f(-x) \ne -f(x)$ thì $f(x)$ không chẵn không lẻ.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $f(x) = x \cdot \sin x$.
Xem lời giải
• Tập xác định $D = \mathbb{R}$ (là tập đối xứng).
• Với mọi $x \in \mathbb{R}$, ta có:
$$f(-x) = (-x) \cdot \sin(-x) = (-x) \cdot (-\sin x) = x \cdot \sin x = f(x)$$Vậy $f(x) = x \cdot \sin x$ là hàm số chẵn.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $g(x) = \sin x + \cos x$.
Xem lời giải
• Tập xác định $D = \mathbb{R}$.
• $g(-x) = \sin(-x) + \cos(-x) = -\sin x + \cos x$.
Nhận thấy $g(-x) \ne g(x)$ và $g(-x) \ne -g(x)$.
Vậy hàm số $g(x)$ không chẵn cũng không lẻ.
📝 Thực hành — Dạng 3
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \dfrac{\tan x}{x}$.
Xem lời giải
• Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \left(\{0\} \cup \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\right)$ đối xứng.
• $f(-x) = \dfrac{\tan(-x)}{-x} = \dfrac{-\tan x}{-x} = \dfrac{\tan x}{x} = f(x)$.
Vậy đây là hàm số chẵn.
Xét tính chẵn lẻ của hàm số $y = \sin^3 x$.
Xem lời giải
• $D = \mathbb{R}$.
• $f(-x) = [\sin(-x)]^3 = [-\sin x]^3 = -\sin^3 x = -f(x)$.
Vậy đây là hàm số lẻ.
🔷 Dạng 4: Xác định chu kì tuần hoàn của hàm số
- Hàm $y = \sin(ax + b)$ hoặc $y = \cos(ax + b)$ có chu kì $T = \dfrac{2\pi}{|a|}$.
- Hàm $y = \tan(ax + b)$ hoặc $y = \cot(ax + b)$ có chu kì $T = \dfrac{\pi}{|a|}$.
- Nếu hàm số là tổng của 2 hàm số $y = f_1(x) + f_2(x)$ có chu kì lần lượt là $T_1$ và $T_2$, chu kì của hàm tổng là Bội chung nhỏ nhất của $T_1$ và $T_2$.
Tìm chu kì tuần hoàn của các hàm số sau:
a) $y = \cos 3x$
b) $y = \tan\left(2x + \dfrac{\pi}{6}\right)$
Xem lời giải
a) Hệ số $a = 3 \Rightarrow T = \dfrac{2\pi}{3}$.
b) Hệ số $a = 2 \Rightarrow T = \dfrac{\pi}{2}$.
Tìm chu kì tuần hoàn của hàm số $y = \cos 2x + \sin 3x$.
Xem lời giải
• Hàm $y_1 = \cos 2x$ có chu kì $T_1 = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.
• Hàm $y_2 = \sin 3x$ có chu kì $T_2 = \dfrac{2\pi}{3}$.
Chu kì chung $T$ là BCNN của $\pi$ và $\dfrac{2\pi}{3}$:
$$T = 2\pi$$📝 Thực hành — Dạng 4
Tìm chu kì của hàm số $y = \sin^2 x$.
Xem lời giải
Dùng công thức hạ bậc: $y = \dfrac{1 - \cos 2x}{2}$.
Hàm số này có chu kì bằng chu kì của $\cos 2x$, tức $T = \dfrac{2\pi}{2} = \pi$.
Tìm chu kì của hàm số $y = 3\cot\left(\dfrac{x}{2} - \dfrac{\pi}{4}\right)$.
Xem lời giải
Hệ số $a = \dfrac{1}{2}$. Chu kì của hàm cotan là:
$$T = \dfrac{\pi}{|1/2|} = 2\pi$$📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp
Bài 1. Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) $y = \dfrac{\sin x + 1}{\cos x - 1}$
b) $y = \tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$
Xem lời giải
a) $\cos x - 1 \ne 0 \Leftrightarrow x \ne k2\pi \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
b) $x + \dfrac{\pi}{4} \ne \dfrac{\pi}{2} + k\pi \Leftrightarrow x \ne \dfrac{\pi}{4} + k\pi \Rightarrow D = \mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$.
Bài 2. Tìm tập xác định của hàm số $y = \sqrt{\dfrac{1 + \cos x}{1 - \cos x}}$.
Xem lời giải
Vì $-1 \le \cos x \le 1$ nên $1 + \cos x \ge 0$ và $1 - \cos x \ge 0$ với mọi $x$.
Phân thức xác định khi mẫu khác 0: $1 - \cos x \ne 0 \Leftrightarrow \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k2\pi$.
Vậy $D = \mathbb{R} \setminus \{k2\pi, k \in \mathbb{Z}\}$.
Bài 3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = 5 - 2\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right)$.
Xem lời giải
Ta có $-1 \le \sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right) \le 1 \Rightarrow -2 \le -2\sin\left(3x + \dfrac{\pi}{6}\right) \le 2$.
Cộng $5$: $3 \le y \le 7$.
• GTLN $\max y = 7$, GTNN $\min y = 3$.
Bài 4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = \cos^2 x + 2\cos x + 3$.
Xem lời giải
Đặt $t = \cos x$ ($t \in [-1; 1]$). Hàm số trở thành $y = f(t) = t^2 + 2t + 3$.
Đỉnh parabol tại $t = -1 \Rightarrow f(-1) = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 2$.
Tại $t = 1 \Rightarrow f(1) = 1 + 2 + 3 = 6$.
Vậy GTNN bằng $2$ (khi $\cos x = -1$), GTLN bằng $6$ (khi $\cos x = 1$).
Bài 5. Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:
a) $y = f(x) = \sin 2x + \tan x$
b) $y = g(x) = \cos 3x + \sin^2 x$
Xem lời giải
a) $f(-x) = \sin(-2x) + \tan(-x) = -\sin 2x - \tan x = -( \sin 2x + \tan x ) = -f(x) \Rightarrow$ Hàm số LẺ.
b) $g(-x) = \cos(-3x) + [\sin(-x)]^2 = \cos 3x + (-\sin x)^2 = \cos 3x + \sin^2 x = g(x) \Rightarrow$ Hàm số CHẴN.
Bài 6. Xác định chu kì tuần hoàn của hàm số $y = 2\sin 3x - 3\cos 4x$.
Xem lời giải
• Chu kì của $\sin 3x$ là $T_1 = \dfrac{2\pi}{3}$.
• Chu kì của $\cos 4x$ là $T_2 = \dfrac{2\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$.
Chu kì chung $T = \text{BCNN}(T_1, T_2) = 2\pi$.
Bài 7. Lập bảng biến thiên và vẽ sơ lược đồ thị của hàm số $y = \sin x$ trên đoạn $[-\pi; \pi]$.
Xem lời giải
• Trên $[-\pi; -\pi/2]$: Hàm số giảm từ $0$ xuống $-1$.
• Trên $[-\pi/2; \pi/2]$: Hàm số tăng từ $-1$ lên $1$.
• Trên $[\pi/2; \pi]$: Hàm số giảm từ $1$ xuống $0$.
Bài 8. Cho hàm số $y = 3\sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right)$. Tìm tất cả các giá trị của $x$ để $y = 0$.
Xem lời giải
$y = 0 \Leftrightarrow \sin\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) = 0 \Leftrightarrow 2x - \dfrac{\pi}{3} = k\pi$.
$$\Leftrightarrow 2x = \dfrac{\pi}{3} + k\pi \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\dfrac{\pi}{2} \quad (k \in \mathbb{Z})$$
Bài 9. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số $y = \sin x \cdot \cos x + 1$.
Xem lời giải
Biến đổi $y = \dfrac{1}{2}\sin 2x + 1$.
Vì $-1 \le \sin 2x \le 1 \Rightarrow -\dfrac{1}{2} \le \dfrac{1}{2}\sin 2x \le \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le y \le \dfrac{3}{2}$.
Vậy GTLN $\max y = \dfrac{3}{2}$.
Bài 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để hàm số $y = \dfrac{1}{\sqrt{\sin x - m}}$ xác định với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Xem lời giải
Hàm số xác định với mọi $x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sin x - m > 0 \ \forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \sin x > m \ \forall x \in \mathbb{R}$.
Điều này tương đương với $m < \min(\sin x) = -1$.
Vậy $m < -1$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Hàm số lượng giác. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Hàm số lượng giác
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →