🛠️ Công cụ

CĐ2 - Bài 4: Nhị thức Newton

Lý thuyết và bài tập CĐ2 - Bài 4: Nhị thức Newton — Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết✍️ Dạng toán & bài tập🎯 Trắc nghiệm

Bài 4: Nhị thức Newton

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Công thức Nhị thức Newton

Với mọi số nguyên dương nn and hai số thực a,ba, b: (a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b1+⋯+Cnkan−kbk+⋯+Cnnbn(a+b)^n = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b^1 + \dots + C_n^k a^{n-k}b^k + \dots + C_n^n b^n

  • Kí hiệu: ∑k=0nCnkan−kbk\sum_{k=0}^n C_n^k a^{n-k} b^k.
  • Số hạng tổng quát (thứ k+1k+1): Tk+1=Cnkan−kbkT_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k.
⚡ 2. Các tính chất quan trọng
  • Khai triển có đúng n+1n+1 số hạng.
  • Tổng số mũ of aa and bb trong mỗi số hạng luôn bằng nn.
  • Các hệ số nhị thức CnkC_n^k có tính đối xứng: Cnk=Cnn−kC_n^k = C_n^{n-k}.
  • Tổng các hệ số: Cn0+Cn1+⋯+Cnn=2nC_n^0 + C_n^1 + \dots + C_n^n = 2^n (xảy ra khi a=b=1a=b=1).
📋 3. Tam giác Pascal

Dùng để xác định nhanh các hệ số nhị thức CnkC_n^k:

  • n=0n=0: 1
  • n=1n=1: 1 1
  • n=2n=2: 1 2 1
  • n=3n=3: 1 3 3 1
  • n=4n=4: 1 4 6 4 1 (Mỗi số ở hàng dưới bằng tổng hai số kề trên nó).

II. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng khai triển and tìm hệ số
  1. Khai triển trực tiếp: Viết theo thứ tự giảm dần số mũ of aa.
  2. Tìm hệ số of xmx^m:
    • Viết số hạng tổng quát Cnkan−kbkC_n^k a^{n-k} b^k.
    • Gom các lũy thừa of xx lại thành xf(k)x^{f(k)}.
    • Giải phương trình f(k)=mf(k) = m tìm kk.
    • Tính hệ số Cnk×C_n^k \times (phần hằng số).
🔍 Ví dụ 1: Khai triển biểu thức

Khai triển biểu thức (x+2)4(x + 2)^4.

💡 Xem lời giải

Áp dụng công thức với n=4,a=x,b=2n=4, a=x, b=2: (x+2)4=C40x4+C41x3⋅21+C42x2⋅22+C43x1⋅23+C4424(x+2)^4 = C_4^0 x^4 + C_4^1 x^3 \cdot 2^1 + C_4^2 x^2 \cdot 2^2 + C_4^3 x^1 \cdot 2^3 + C_4^4 2^4 =1x4+4⋅2x3+6⋅4x2+4⋅8x+16= 1x^4 + 4 \cdot 2x^3 + 6 \cdot 4x^2 + 4 \cdot 8x + 16 =x4+8x3+24x2+32x+16= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.

🔍 Ví dụ 2: Tìm hệ số của số hạng

Tìm hệ số of x3x^3 trong khai triển (2x−1)5(2x - 1)^5.

💡 Xem lời giải
  • Số hạng tổng quát: Tk+1=C5k(2x)5−k(−1)k=C5k25−k(−1)kx5−kT_{k+1} = C_5^k (2x)^{5-k} (-1)^k = C_5^k 2^{5-k} (-1)^k x^{5-k}.
  • Để tìm hệ số of x3x^3, ta cho 5−k=3⇒k=25 - k = 3 \Rightarrow k = 2.
  • Hệ số tương ứng: C5225−2(−1)2=10⋅23⋅1=80C_5^2 2^{5-2} (-1)^2 = 10 \cdot 2^3 \cdot 1 = 80. Vậy hệ số of x3x^3 là 80.
🔍 Ví dụ 3: Ứng dụng tính tổng

Tính tổng S=C40+2C41+4C42+8C43+16C44S = C_4^0 + 2C_4^1 + 4C_4^2 + 8C_4^3 + 16C_4^4.

💡 Xem lời giải
  • Ta nhận thấy SS có dạng khai triển of (a+b)n(a+b)^n.
  • Cụ thể: S=C40⋅14⋅20+C41⋅13⋅21+⋯+C44⋅10⋅24S = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot 2^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot 2^1 + \dots + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot 2^4.
  • Đây chính là khai triển of (1+2)4=34=81(1 + 2)^4 = 3^4 = 81. Vậy S=81S = 81.

📝 Bài tập thực hành

Làm các câu hỏi sau để củng cố kiến thức. Hệ thống sẽ hiện đáp án và giải thích ngay sau khi bạn chọn hoặc điền xong.

Câu 1:Trong khai triển $(a+b)^n$, số lượng các số hạng là:
Câu 2:Hệ số of $x^2$ trong khai triển $(x+1)^3$ là:
Đúng / Sai
Câu 3Xét khai triển $(2x - 3)^4$. Các khẳng định sau đúng hay sai?
a)Khai triển có 5 số hạng.
b)Số hạng đầu tiên là $16x^4$.
c)Các hệ số luôn mang dấu dương.
d)Số hạng cuối cùng là $81$.
Câu 4:Tìm số hạng $C_5^2$ trong tam giác Pascal.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Mở trong tab mới