🛠️ Công cụ

CĐ1 - Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

Lý thuyết và bài tập CĐ1 - Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn — Toán 10 Kết nối tri thức.

📖 Lý thuyết✍️ Dạng toán & bài tập🎯 Trắc nghiệm

Bài 1: Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn

I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm

📋 1. Định nghĩa

Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn là hệ phương trình có dạng tổng quát:

{a1x+b1y+c1z=d1a2x+b2y+c2z=d2a3x+b3y+c3z=d3\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}

Trong đó x,y,zx, y, z là ẩn; ai,bi,ci,dia_i, b_i, c_i, d_i là các hằng số. Một bộ ba số (x0;y0;z0)(x_0; y_0; z_0) đồng thời thỏa mãn cả ba phương trình gọi là một nghiệm của hệ.

⚡ 2. Phương pháp giải Gauss

Để giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn, ta thường dùng phương pháp khử dần ẩn số (phương pháp Gauss) để đưa hệ về dạng bậc thang:

  • Bước 1: Nhân phương trình (1) với một hằng số phù hợp rồi cộng đại số để khử ẩn xx ở phương trình (2) và (3).
  • Bước 2: Giữ nguyên phương trình (1) và (2) vừa tạo ra. Tiếp tục khử ẩn yy ở phương trình (3).
  • Bước 3: Sau khi hệ có dạng tam giác, giải phương trình (3) tìm zz, sau đó thế ngược lên tìm yy và xx.

II. Thực hành giải hệ phương trình (Công cụ)

Dưới đây là một công cụ hỗ trợ giải nhanh hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn bằng thuật toán máy tính. Bạn có thể sử dụng công cụ này để dò đáp án hoặc bài tập tự luận.

Công cụ giải nhanh hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn

x +y +z =
x +y +z =
x +y +z =

III. Các dạng toán và ví dụ minh họa

📌 Kỹ năng biến đổi hệ phương trình
  1. Phép cộng đại số: Nhân một phương trình với một hằng số rồi cộng hoặc trừ từng vế vào một phương trình khác không làm thay đổi tập nghiệm.
  2. Đổi chỗ: Có thể đổi chỗ hai phương trình bất kì cho nhau để dễ tính toán (ưu tiên đưa phương trình có hệ số xx bằng 1 lên đầu).
  3. Biện luận số nghiệm: Tương tự hệ hai ẩn, hệ bậc nhất 3 ẩn có thể có 1 nghiệm duy nhất, vô số nghiệm, hoặc vô nghiệm.
🔍 Ví dụ 1: Giải hệ bằng phương pháp Gauss

Giải hệ phương trình sau:

{x+y+z=6x+2y+3z=142x+4y+7z=31\begin{cases} x + y + z = 6 \\ x + 2y + 3z = 14 \\ 2x + 4y + 7z = 31 \end{cases}
💡 Xem lời giải
  • Giữ phương trình (1). Lấy phương trình (2) trừ (1), và lấy phương trình (3) trừ 2×2 \times (1), ta được:
{x+y+z=6(1)y+2z=8 (2’)2y+5z=19 (3’)\begin{cases} x + y + z = 6 \quad \text{(1)}\\ y + 2z = 8 \quad \text{ (2')} \\ 2y + 5z = 19 \quad \text{ (3')} \end{cases}
  • Giữ (1) và (2’). Lấy (3’) trừ 2×2 \times (2’):
{x+y+z=6y+2z=8z=3\begin{cases} x + y + z = 6 \\ y + 2z = 8 \\ z = 3 \end{cases}
  • Giải bằng phương pháp thế ngược: z=3⇒y=8−2(3)=2⇒x=6−2−3=1z=3 \Rightarrow y = 8 - 2(3) = 2 \Rightarrow x = 6 - 2 - 3 = 1.
  • Vậy nghiệm của hệ là (1;2;3)(1; 2; 3).
🔍 Ví dụ 2: Nhận biết hệ phương trình vô nghiệm

Xét tính có nghiệm của hệ phương trình:

{x+y+z=32x+2y+2z=5x−y+z=1\begin{cases} x + y + z = 3 \\ 2x + 2y + 2z = 5 \\ x - y + z = 1 \end{cases}
💡 Xem lời giải
  • Từ phương trình (1) và (2) ta thấy vế trái: 2(x+y+z)=2(3)=62(x+y+z) = 2(3) = 6.
  • Mà phương trình (2) lại chỉ ra rằng 2x+2y+2z=52x+2y+2z = 5.
  • Dẫn đến mâu thuẫn 6=56 = 5 (Vô lí).
  • Vậy hệ phương trình đã cho vô nghiệm.
🔍 Ví dụ 3: Bài toán tìm tham số

Tìm tham số mm để bộ số (1;−1;2)(1; -1; 2) là nghiệm của hệ:

{x+y+z=22x−y+mz=53x+2y−z=−1\begin{cases} x + y + z = 2 \\ 2x - y + mz = 5 \\ 3x + 2y - z = -1 \end{cases}
💡 Xem lời giải

Thay x=1,y=−1,z=2x=1, y=-1, z=2 vào hệ phương trình:

  • (1): 1+(−1)+2=21 + (-1) + 2 = 2 (Đúng).
  • (2): 2(1)−(−1)+m(2)=5⇔3+2m=5⇔2m=2⇒m=12(1) - (-1) + m(2) = 5 \Leftrightarrow 3 + 2m = 5 \Leftrightarrow 2m = 2 \Rightarrow m = 1.
  • (3): 3(1)+2(−1)−2=−13(1) + 2(-1) - 2 = -1 (Đúng).
  • Vậy m=1m=1 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

📝 Bài tập thực hành

Làm các câu hỏi sau để củng cố kiến thức. Hệ thống sẽ hiện đáp án và giải thích ngay sau khi bạn chọn hoặc điền xong.

Câu 2:Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn có thể có tối đa bao nhiêu nghiệm?
Đúng / Sai
Câu 3Xét các phát biểu sau về hệ phương trình bậc nhất 3 ẩn:
a)Dạng hệ bậc thang tam giác luôn luôn có nghiệm duy nhất.
b)Phương pháp Gauss dựa trên nguyên tắc khử dần ẩn số bằng phép cộng đại số.
c)Hệ có vô số nghiệm được gọi là hệ vô định.
d)Bộ số (1; 1; 1) là một nghiệm của phương trình x + y + z = 3.
🎯

Luyện tập trắc nghiệm

Câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra kiến thức ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →
Miễn phí · Mở trong tab mới