Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

• Phép thử là: Lấy ngẫu nhiên $2$ quả cầu từ hộp chứa tổng $5+3=8$ quả cầu. $\Rightarrow n(\Omega) = C_8^2 = 28$.
• Gọi $A$ là biến cố “Cả hai quả lấy ra đều có màu xanh”. Vị trí rút cả 2 quả xanh đều được cất từ $5$ quả xanh có sẵn. $\Rightarrow n(A) = C_5^2 = 10$.
• Xác suất của biến cố là: $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)} = \dfrac{10}{28} = \dfrac{5}{14}$.

• Chọn ngẫu nhiên $4$ người từ tổng nhóm $13$ người: $n(\Omega) = C_{13}^4 = 715$.
• Biến cố $B$: “Cử đúng 2 nam và 2 nữ”. Thao tác $1$: Lấy $2$ nam từ $7$ nam sinh $\Rightarrow C_7^2 = 21$ cách. Thao tác $2$: Lấy $2$ nữ từ $6$ nữ sinh $\Rightarrow C_6^2 = 15$ cách. Sử dụng quy tắc nhân: $n(B) = 21 \cdot 15 = 315$.
• Tỉ suất tương quan: $P(B) = \dfrac{315}{715} = \dfrac{63}{143}$.

• Tổng số bi trong cơ cấu hộp là $15$ viên. Kéo ra ngẫu nhiên 3 viên $\Rightarrow n(\Omega) = C_{15}^3 = 455$.
• Thuộc tính điều kiện Biến cố $C$: “Chọn đủ 3 màu”. Nghĩa là trong 3 viên phải có chính xác 1 Đỏ, 1 Xanh và 1 Vàng. Số cách kéo $n(C) = C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 5 \cdot 6 = 120$.
• Xác suất: $P(C) = \dfrac{120}{455} = \dfrac{24}{91}$.

• $n(\Omega) = C_{12}^3 = 220$.
• Biến cố $D$: “Cầm 3 quyển đại diện cho 2 thể loại”. Chia 3 trường hợp gom cặp thể loại:

• Loại 1 (Tranh + Tiểu thuyết): $C_7^3 - C_3^3 - C_4^3 = 35 - 1 - 4 = 30$. (Chọn 3 cuốn chung nhưng loại trừ trường hợp rút toàn tranh hoặc toàn tiểu thuyết).
• Loại 2 (Tranh + Khoa học): $C_8^3 - C_3^3 - C_5^3 = 56 - 1 - 10 = 45$.
• Loại 3 (Tiểu thuyết + Khoa học): $C_9^3 - C_4^3 - C_5^3 = 84 - 4 - 10 = 70$. Cộng dồn mảng $D$: $n(D) = 30 + 45 + 70 = 145$.

• Xác suất: $P(D) = \dfrac{145}{220} = \dfrac{29}{44}$.

• Bốc kép 2 thẻ $\Rightarrow n(\Omega) = C_{11}^2 = 55$.
• Tổng hai số sinh ra lẻ khi và chỉ khi ta được một cấu trúc kết hợp 1 lẻ + 1 chẵn. Trong chuỗi cung cấp chứa $6$ thẻ mang số lẻ (1, 3… 11) và có chứa $5$ thẻ chẵn (2, 4… 10). Biến cố $E$: $n(E) = C_6^1 \cdot C_5^1 = 6 \cdot 5 = 30$.
• Xác suất: $P(E) = \dfrac{30}{55} = \dfrac{6}{11}$.

• Hoán vị tổng thể $9$ người trên hàng $\Rightarrow n(\Omega) = 9! = 362,880$.
• Biến cố $F$: “Các bạn nam xếp hàng liền cạnh nhau”. Buộc $5$ bạn nam này lại vào một túi vô hình. Lúc này hàng chỉ còn 4 nữ + 1 khối nam $\Rightarrow$ Lên hàng 5 phần tử. Tổ hợp hoán vị $5$ phần tử sinh $5!$ cách. Tuy nhiên trong lòng túi $5$ nam kia, các bạn nam lại tráo lật qua nhau $\Rightarrow 5!$ cách. Số thuận lợi: $n(F) = 5! \cdot 5! = 14400$.
• Xác suất mảng: $P(F) = \dfrac{14400}{362880} = \dfrac{5}{126}$.

• Số $3$ chữ số khác nhau từ $5$ chữ số đã cho cấu thành Chỉnh hợp cung mẫu: $n(\Omega) = A_5^3 = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ số.
• Gọi $G$ là biến cố “Số được thiết lập là số chẵn”. Số lôi ra có cấu trúc $\overline{abc}$. Để là chẵn thì $c \in \{2, 4\} \Rightarrow$ Số $c$ có $2$ cách chọn. Các chữ số $a, b$ rút ngẫu nhiên vào ô từ $4$ số trống mồ côi $\Rightarrow A_4^2 = 12$ cách. Kết quả chẵn nhặt được: $n(G) = 2 \cdot 12 = 24$.
• Xác suất tính được: $P(G) = \dfrac{24}{60} = \dfrac{2}{5}$.

• Chia nhóm vị trí: $n(\Omega) = 8! = 40320$.
• Biến cố $H$: “Cùng ban cấm ngồi cạnh nhau” $\Leftrightarrow$ Các học sinh bắt buộc đan vỉa xen kẽ (ABABABAB hoặc BABABABA). Dạng ABABABAB: Hoán vị $4$ nam chốt $4$ ghế A $= 4!$. Hoán vị B chốt $4$ ghế B $= 4!$. Tích lũy sinh $4! \cdot 4! = 576$. Dạng BABABABA cũng sinh y hệt sinh ra $576$. Tổng cách đếm của chu vi $n(H) = 576 \cdot 2 = 1152$.
• Xác suất: $P(H) = \dfrac{1152}{40320} = \dfrac{1}{35}$.

• Gọi số lập lên hình chóp $\overline{abcd}$. Vì $a \neq 0$ nên $a$ có 6 cách chọn. Còn $b, c, d$ có $A_6^3 = 120$ cách. Do đó $n(\Omega) = 6 \cdot 120 = 720$.
• Biến cố $I$: Dãy số $\overline{abc5}$. Chữ cái tận cùng quy định $d = 5$ (giữ chặt $1$ cách). Ô số $a$ không cho bằng 0 cũng không cho bằng 5 $\Rightarrow a$ có 5 cách chọn. Ô $b, c$ kéo phần bù trống lấy $A_5^2 = 20$ cách. Suy lượng $n(I) = 1 \cdot 5 \cdot 20 = 100$.
• Xác suất: $P(I) = \dfrac{100}{720} = \dfrac{5}{36}$.

• Xếp $8$ người quanh cái mâm bàn chia vạch, ta cố định 1 người và hoán vị $7$ người: $n(\Omega) = P_7 = 7! = 5040$ cách.
• Biến cố $K$: Nam nữ xếp viền lẫn lộn xen kẽ. Giữ cố định $1$ nam làm trục gốc mốc tại chỗ. Còn thừa $3$ nam kia, chúng hoán vị đẩy đi trên $3$ ô xếp của nam (do xen kẽ) $\Rightarrow 3!$ cách. Cơ cấu cài $4$ nữ vào vị trí 4 ô lõm giữa nam để chặn $\Rightarrow 4!$ cách xếp nữ. Quỳ chiếu $n(K) = 3! \cdot 4! = 6 \cdot 24 = 144$.
• Xác suất vòng xoay tròn: $P(K) = \dfrac{144}{5040} = \dfrac{1}{35}$.

• Theo sơ đồ cây gieo 3 tầng, ta có các chuỗi lá: (SSS), (SSN), (SNS), (SNN), (NSS), (NSN), (NNS), (NNN). Tất cả phân rã cho ra không gian gồm bằng: $n(\Omega) = 8$.
• Biến cố $L$: “Có ít nhất 2 mặt sấp S đứng sát liên tục cạnh nhau”. Từ lưới lá ở trên, nhặt ra các từ thỏa mãn chứa (SS): Đó là (SSS), (SSN) và (NSS). Số kết quả $n(L) = 3$.
• Xác suất tính dồn: $P(L) = \dfrac{3}{8}$.

• Phân kỳ cây: Hộp 1 có $3$ bi (2 Xanh, 1 Vàng). Hộp 2 có $4$ bi (2 Xanh, 2 Vàng). Ghép phân phối bằng quy tắc nhân để tạo không gian cành cây mẫu: $n(\Omega) = 3 \times 4 = 12$ hướng đi của cành lưới (như hình trên).
• Biến cố $M$: Hai quả lấy ra cùng sắc màu (X-X hoặc V-V). Cành nhánh “Xanh - Xanh”: Hộp 1 rút Xanh có 2 cách. Từ nút đó gieo ra nhánh Hộp 2 dính Xanh có 2 cách $\Rightarrow 2 \cdot 2 = 4$ mũi tên nhánh tẻ. Cành nhánh “Vàng - Vàng”: Hộp 1 rút Vàng 1 cách $\Rightarrow$ đâm hộp hai rút Vàng 2 cách $\Rightarrow 1 \cdot 2 = 2$ nhánh tẻ. Số cành lặp lại điều kiện: $n(M) = 4 + 2 = 6$.
• Xác suất: $P(M) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}$.

• Giả định mỗi người có cơ hội trúng trượt ngẫu nhiên như nhau. Cây hai tầng: Lượt 1 (V, T), Lượt 2 (V, T). $\Rightarrow n(\Omega) = 4$ bộ lá (VV, VT, TV, TT).
• Để tỉ số hòa (khi đá 1 trái duy nhất mồi người), kết cục duy nhất là 2 người cùng đá vào. (Trượt cả 2 là hòa 0-0). Đề hỏi hòa 1-1 $\Rightarrow$ Biến cố $N = \{VV\}$.
• Xác suất: $P(N) = \dfrac{1}{4}$.

Quy luật phát chồi: Có 2 trạng thái $\text{T}$ (Trúng), $\text{H}$ (Hụt). Dừng nếu (T,T xuất hiện) hoặc (dài đúng 4 ký tự). Vẽ cây:

• Lan 1 lần: T, H.
• Lan 2 lần: (TT - dừng), (TH), (HT), (HH).
• Lan 3 lần: Từ (TH) $\rightarrow$ (THT), (THH). Từ (HT) $\rightarrow$ (HTT - dừng), (HTH). Từ (HH) $\rightarrow$ (HHT), (HHH).
• Lan 4 lần: (THT) $\rightarrow$ (THTT), (THTH). (THH) $\rightarrow$ (THHT), (THHH). (HTH) $\rightarrow$ (HTHT), (HTHH). (HHT) $\rightarrow$ (HHTT), (HHTH). (HHH) $\rightarrow$ (HHHT), (HHHH). Đếm các đầu nhánh dừng ở mọi tầng: 1 nhánh tầng 2: (TT). 1 nhánh tầng 3: (HTT). 10 nhánh tầng 4. Tổng $n(\Omega) = 1 + 1 + 10 = 12$ phần tử phân nhánh.

• Lụi ngẫu nhiên $3$ câu, mỗi câu dính $4$ tùy chọn $\Rightarrow n(\Omega) = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$.
• Đây là cây không đều. Mỗi tầng có $1$ cách tạo “Đúng” và $3$ cách tạo “Sai”. Muốn đúng duy nhất 1 câu, cây phân về 3 nhóm dây mút lá: (ĐSS), (SĐS), (SSĐ). Nhóm (ĐSS): nhánh $1$ là $1$, nhánh $2$ là $3$, nhánh $3$ là $3 \Rightarrow 1 \cdot 3 \cdot 3 = 9$ luồng đếm. Nhóm (SĐS) và (SSĐ) y hệt như vậy (mỗi nhánh sinh $9$). $n(O) = 9 + 9 + 9 = 27$.
• Xác suất tỷ lệ lụi được điểm: $P = \dfrac{27}{64}$.

• Không gian mẫu nhón cụm $3$ từ hộp $7$: $n(\Omega) = C_7^3 = 35$.
• Biến cố đối $\overline{P}$: “Tuyệt nhiên không lấy trúng được bao tiền nào” (Rút trúng trọn lóc $3$ bao toàn rỗng). Vì rổ có $4$ bao rỗng $\Rightarrow n(\overline{P}) = C_4^3 = 4$.
• Xác suất đen đủi $\overline{P} = \dfrac{4}{35}$.
• Xác suất cần bới tìm $P(P) = 1 - \dfrac{4}{35} = \dfrac{31}{35}$.

• Bốc đội $3$ tử tùm lum $9$ người: $n(\Omega) = C_9^3 = 84$.
• Gọi $Q$ là “Trong 3 danh chỉ có ít nhất 1 nữ”. Gọi đối biến $\overline{Q}$: “Trong 3 nhóm này toàn đực rựa, vắng bóng các chị em hở” (Tức là rút toàn nam sinh). Lấy mủm mỉm $3$ nam từ $5$ ứng viên nam $\Rightarrow n(\overline{Q}) = C_5^3 = 10$. Xác suất tính ngược $P(\overline{Q}) = \dfrac{10}{84} = \dfrac{5}{42}$.
• Xác suất của tỷ lệ chính diện: $P(Q) = 1 - P(\overline{Q}) = 1 - \dfrac{5}{42} = \dfrac{37}{42}$.

• Đếm hạt tổng bốc 4 ra từ 10 hạt lề: $n(\Omega) = C_{10}^4 = 210$.
• Phủ nghịch biến cố đề $\overline{R}$: “Toàn bốc trúng hạt xanh xỉu”. Trong đĩa có 5 xanh $\Rightarrow n(\overline{R}) = C_5^4 = 5$. $P(\overline{R}) = \dfrac{5}{210} = \dfrac{1}{42}$.
• Xác suất lấy vạch là đỏ ít nhất: $P(R) = 1 - \dfrac{1}{42} = \dfrac{41}{42}$.

• Chọn ngẫu $4$ phần tử từ rổ tổng $15$ thẻ: $n(\Omega) = C_{15}^4 = 1365$.
• Gọi $S$ là “Lấy 4 thẻ thiếu màu tùm lum”. Xác suất tìm trực diện khá phiền (thiếu 1 màu, thiếu 2 màu…).
• Định giá phủ đối mặt $\overline{S}$: “Lấy 4 thẻ gom lượm CÓ ĐỦ CẢ 3 màu”. Vì lượng rút là quy nạp 4 (chia làm $2 + 1 + 1$), nên mảng đủ màu sẽ chia làm 3 cụm trường hợp con lẻ:
  • (2 Xanh, 1 Đỏ, 1 Vàng) $\Rightarrow C_4^2 \cdot C_5^1 \cdot C_6^1 = 6 \cdot 5 \cdot 6 = 180$.
  • (1 Xanh, 2 Đỏ, 1 Vàng) $\Rightarrow C_4^1 \cdot C_5^2 \cdot C_6^1 = 4 \cdot 10 \cdot 6 = 240$.
  • (1 Xanh, 1 Đỏ, 2 Vàng) $\Rightarrow C_4^1 \cdot C_5^1 \cdot C_6^2 = 4 \cdot 5 \cdot 15 = 300$. $\Rightarrow n(\overline{S}) = 180 + 240 + 300 = 720$.
• Xác suất đối rẽ vòng $\overline{S}$: $P(\overline{S}) = \dfrac{720}{1365} = \dfrac{48}{91}$.
• Xác suất tính quy trả trượt gốc: $P(S) = 1 - \dfrac{48}{91} = \dfrac{43}{91}$.

• Thay vì lấy $n(\Omega)$ tổ hợp thông thường, ở đây tỷ lệ xui xác suất trúng $(T)$ và trượt $(F)$ được rải theo cây. Xác suất trúng là $0{,}8$. Nên Xác suất bắn trượt gốc $1$ viên là $1 - 0{,}8 = 0{,}2$.
• Biến cố $T$: “Ghi điểm ít nhất 1 đĩa”. Biến cố đối đảo $\overline{T}$: “Bắn ba lần toàn thấy đục thủng lá cờ (trượt hết cả 3)”. Vì 3 lượt nạp mạn đạn độc lập, tỷ số nhánh cây bắn trượt trọn lũy lặp 3 lần chuỗi là: $P(\overline{T}) = 0{,}2 \cdot 0{,}2 \cdot 0{,}2 = 0{,}008$.
• Tính xác suất của anh chàng gom đủ tài năng đâm chồi: $P(T) = 1 - 0{,}008 = 0{,}992$ (Khả năng lên đến 99,2%).