Ôn chương 8 - Toán 10
Tóm tắt lý thuyết và bài tập tự luyện Ôn chương 8 - Toán 10 — SGK Toán 10 Kết nối tri thức.
I. Tóm tắt lý thuyết trọng tâm Chương VIII
1. Quy tắc đếm cơ bản
• Quy tắc cộng: Phân thành các phương án độc lập $\implies$ Tính tổng $m + n$.
• Quy tắc nhân: Thực hiện qua các công đoạn liên tiếp $\implies$ Tính tích $m \times n$.
2. Hoán vị, Chỉnh hợp & Tổ hợp
- Hoán vị $P_n$: Sắp xếp $n$ phần tử $\implies P_n = n!$.
- Chỉnh hợp $A_n^k$: Chọn $k$ từ $n$ và xếp thứ tự $\implies A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.
- Tổ hợp $C_n^k$: Chọn $k$ từ $n$ không xếp thứ tự $\implies C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
3. Nhị thức Newton bậc 4 và 5
• $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
• $(a + b)^5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5$.
II. Dạng toán tổng hợp Chương VIII
🔷 Dạng 1: Các bài toán đếm thực tế
Một nhóm có 6 nam và 4 nữ. Chọn 5 người đi công tác sao cho có ít nhất 1 nữ. Có bao nhiêu cách chọn?
Xem lời giải
• Tổng số cách chọn 5 người bất kì từ 10 người: $C_{10}^5 = 252$ cách.
• Số cách chọn 5 người toàn nam (không có nữ nào): $C_6^5 = 6$ cách.
• Số cách chọn 5 người có ít nhất 1 nữ là $252 - 6 = 246$ cách.
📝 Thực hành — Dạng 1
Từ các chữ số $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 4 chữ số khác nhau?
Xem lời giải
Gọi số cần tìm là $\overline{abcd}$ ($a \ne 0$):
• $a$ có 6 cách chọn (từ $\{1,2,3,4,5,6\}$).
• Chọn 3 chữ số còn lại $b, c, d$ có thứ tự từ 6 chữ số còn lại: $A_6^3 = 120$ cách.
• Số các số lập được là $6 \times 120 = 720$ số.
🔷 Dạng 2: Khai triển & Tìm hệ số Nhị thức Newton
Tìm số hạng không chứa $x$ trong khai triển biểu thức $\left(2x - \frac{1}{x}\right)^4$ (với $x \ne 0$).
Xem lời giải
Khai triển $\left(2x - \frac{1}{x}\right)^4 = (2x)^4 - 4(2x)^3\left(\frac{1}{x}\right) + 6(2x)^2\left(\frac{1}{x}\right)^2 - 4(2x)\left(\frac{1}{x}\right)^3 + \left(\frac{1}{x}\right)^4$.
• Số hạng không chứa $x$ là số hạng thứ 3: $6(2x)^2\left(\frac{1}{x}\right)^2 = 6 \times 4 = 24$.
📝 Thực hành — Dạng 2
Giải phương trình: $A_n^3 = 24 C_n^1$.
Xem lời giải
• Điều kiện $n \ge 3, n \in \mathbb{N}^*$.
• PT $\iff n(n-1)(n-2) = 24n \iff (n-1)(n-2) = 24$ (do $n \ge 3 > 0$).
$\iff n^2 - 3n + 2 = 24 \iff n^2 - 3n - 22 = 0 \implies$ giải ra $n = 6$ (thỏa mãn).
📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp Chương VIII
Bài 1. Giải bất phương trình: $C_n^2 - C_n^1 \le 5$.
Xem lời giải
• Điều kiện: $n \ge 2, n \in \mathbb{N}^*$.
• BPT $\iff \frac{n(n-1)}{2} - n \le 5 \iff n^2 - n - 2n \le 10 \iff n^2 - 3n - 10 \le 0$.
• Nghiệm tam thức là $-2 \le n \le 5$. Kết hợp điều kiện $n \ge 2$ và $n \in \mathbb{N}^* \implies n \in \{2, 3, 4, 5\}$.
🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện
Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức Ôn tập chương VIII. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập chương VIII
Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!
🚀 Làm bài trắc nghiệm →