Bài 25: Nhị thức Newton

Dùng mẫu: $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$. Gán $a = x$ và $b = 2$, ta có: $(x + 2)^4 = x^4 + 4(x^3)(2) + 6(x^2)(2^2) + 4(x)(2^3) + 2^4$ $= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

Dùng mẫu đan dấu $(a - b)^5 = a^5 - 5a^4b + 10a^3b^2 - 10a^2b^3 + 5ab^4 - b^5$. Nhận diện $a = 2x$ và $b = y$. $(2x - y)^5 = (2x)^5 - 5(2x)^4(y) + 10(2x)^3(y^2) - 10(2x)^2(y^3) + 5(2x)(y^4) - y^5$ $= 32x^5 - 5(16x^4)(y) + 10(8x^3)(y^2) - 10(4x^2)(y^3) + 10x(y^4) - y^5$ $= 32x^5 - 80x^4 y + 80x^3 y^2 - 40x^2 y^3 + 10xy^4 - y^5$.

Áp dụng mẫu đan dấu $(a - b)^4 = a^4 - 4a^3b + 6a^2b^2 - 4ab^3 + b^4$. Với $a = x$, $b = \sqrt{3}$. $(x - \sqrt{3})^4 = x^4 - 4x^3(\sqrt{3}) + 6x^2(\sqrt{3})^2 - 4x(\sqrt{3})^3 + (\sqrt{3})^4$ $= x^4 - 4\sqrt{3}x^3 + 6x^2(3) - 4x(3\sqrt{3}) + 9$ $= x^4 - 4\sqrt{3}x^3 + 18x^2 - 12\sqrt{3}x + 9$.

Sử dụng công thức bậc 5 cho $a = \dfrac{x}{2}$ và $b = \dfrac{2}{x}$: $\left( \dfrac{x}{2} + \dfrac{2}{x} \right)^5 = \left(\dfrac{x}{2}\right)^5 + 5\left(\dfrac{x}{2}\right)^4\left(\dfrac{2}{x}\right) + 10\left(\dfrac{x}{2}\right)^3\left(\dfrac{2}{x}\right)^2 + 10\left(\dfrac{x}{2}\right)^2\left(\dfrac{2}{x}\right)^3 + 5\left(\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{2}{x}\right)^4 + \left(\dfrac{2}{x}\right)^5$ $= \dfrac{x^5}{32} + 5\left(\dfrac{x^4}{16}\right)\left(\dfrac{2}{x}\right) + 10\left(\dfrac{x^3}{8}\right)\left(\dfrac{4}{x^2}\right) + 10\left(\dfrac{x^2}{4}\right)\left(\dfrac{8}{x^3}\right) + 5\left(\dfrac{x}{2}\right)\left(\dfrac{16}{x^4}\right) + \dfrac{32}{x^5}$ $= \dfrac{x^5}{32} + \dfrac{5x^3}{8} + 5x + \dfrac{20}{x} + \dfrac{40}{x^3} + \dfrac{32}{x^5}$.

Ta khai triển từng cụm: $(x + 1)^4 = x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1$ $(x - 1)^4 = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1$ Trừ vế theo vế: $S = (x^4 + 4x^3 + 6x^2 + 4x + 1) - (x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1)$ $S = 8x^3 + 8x$. Như vậy biểu thức được rút gọn hoàn toàn triệt để mảng chẵn.

Dựa trên số hạng tổng quát khai triển là: $T_{k+1} = C_5^k \cdot 1^{5-k} \cdot (-2x)^k$ Gom hệ số sang một bên, tách $x$ ra: $T_{k+1} = \left[ C_5^k \cdot 1 \cdot (-2)^k \right] \cdot x^k$. Đề yêu cầu tìm hệ số của số hạng chứa $x^3$, suy ra chỉ số $k = 3$. Thế $k=3$ vào phần hệ số: $C_5^3 \cdot (-2)^3 = 10 \cdot (-8) = -80$. Vậy hệ số thỏa mãn là $-80$.

Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (3x)^{5-k} \cdot (2y)^k$ $T_{k+1} = C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot 2^k \cdot x^{5-k} \cdot y^k$. Đề yêu cầu số hạng chứa $x^2y^3$. Đối chiếu số mũ ta phải có: $\begin{cases} 5 - k = 2 \\ k = 3 \end{cases} \Rightarrow k = 3$. Thế $k=3$ trả lại biểu thức gốc: Số hạng là: $C_5^3 \cdot 3^{5-3} \cdot 2^3 \cdot x^2 y^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot x^2y^3 = 720x^2y^3$. (Trả lời Số hạng thì phải ghi đủ biến x, y).

Số hạng tổng quát trích xuất là: $T_{k+1} = C_4^k \cdot (x^2)^{4-k} \cdot \left(-2x^{-1}\right)^k$ $= C_4^k \cdot x^{8-2k} \cdot (-2)^k \cdot x^{-k}$ $= C_4^k \cdot (-2)^k \cdot x^{8-3k}$. Cần tìm hệ số của $x^2$, nên ta ép số mũ: $8 - 3k = 2 \Rightarrow 3k = 6 \Rightarrow k = 2$. Hệ số tương ứng là: $C_4^2 \cdot (-2)^2 = 6 \cdot 4 = 24$.

Viết lại biểu thức căn theo lũy thừa phân số: $x\sqrt{x} = x \cdot x^{1/2} = x^{3/2}$. $\dfrac{1}{x} = x^{-1}$. Vậy ta có nhị thức: $\left(x^{3/2} + x^{-1}\right)^5$. Số hạng tổng quát là: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (x^{3/2})^{5-k} \cdot (x^{-1})^k$ $= C_5^k \cdot x^{\frac{3(5-k)}{2}} \cdot x^{-k} = C_5^k \cdot x^{\frac{15 - 3k - 2k}{2}} = C_5^k \cdot x^{\frac{15 - 5k}{2}}$. Mặt khác, đề yêu cầu lũy thừa $x^5$, do đó: $\dfrac{15 - 5k}{2} = 5 \Rightarrow 15 - 5k = 10 \Rightarrow k = 1$. Vậy hệ số tương xứng gỡ lại: $C_5^1 = 5$.

Ta tách tìm hệ số $x^4$ trong $2$ cụm rải rác:

• Cụm 1: $A = x(1 - x)^4$. Ta cần tìm $x^3$ trong $(1 - x)^4$ (vì nhân thêm $x$ bên ngoài sẽ thành $x^4$). SHTQ của $(1 - x)^4$ là $C_4^k \cdot 1^{4-k} \cdot (-x)^k = C_4^k \cdot (-1)^k \cdot x^k$. Đạt $x^3 \Rightarrow k=3 \Rightarrow$ hệ số là $C_4^3 \cdot (-1)^3 = -4$.
• Cụm 2: $B = (1 + 2x)^5$. Cần trực tiếp tìm $x^4$ trong nôi cụm này. SHTQ là $C_5^k \cdot 1 \cdot (2x)^k = C_5^k \cdot 2^k \cdot x^k$. Để thu được $x^4 \Rightarrow k=4 \Rightarrow$ hệ số là $C_5^4 \cdot 2^4 = 5 \cdot 16 = 80$.
• Tổng kết hợp: Hệ số tổng của $x^4$ trong cả biểu thức dài bằng: $-4 + 80 = 76$.

Ta thiết lập số hạng tổng quát thứ $k+1$: $T_{k+1} = C_4^k \cdot x^{4-k} \cdot (x^{-1})^k = C_4^k \cdot x^{4-2k}$. Vì đề yêu cầu tìm số hạng tự do (không chứa $x$), ta có số mũ của $x$ bằng $0$: $4 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 4 \Rightarrow k = 2$. Lượng thu về khi thế vào là $C_4^2 \cdot x^0 = 6 \cdot 1 = 6$. Vậy số hạng không chứa $x$ là $6$.

Viết lại biểu thức dưới dạng luỹ thừa: $\left( 2x - x^{-2} \right)^5$. Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (2x)^{5-k} \cdot (-x^{-2})^k$ $= C_5^k \cdot 2^{5-k} \cdot x^{5-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{-2k}$ $= C_5^k \cdot 2^{5-k} \cdot (-1)^k \cdot x^{5 - 3k}$. Với số hạng không dính tới $x$, ta ép mũ bằng $0$: $5 - 3k = 0 \Rightarrow 3k = 5 \Rightarrow k = \dfrac{5}{3}$ (LOẠI do $k \notin \mathbb{N}$). Vậy trong khai triển này không tồn tại số hạng nào không chứa $x$.

Chuyển đổi các căn sang số mũ hữu tỉ: $\sqrt[3]{x} = x^{1/3}$, $\dfrac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$. Vậy khai triển là: $\left( x^{1/3} + 2x^{-1/2} \right)^5$. SHTQ của biểu thức: $T_{k+1} = C_5^k \cdot \left(x^{1/3}\right)^{5-k} \cdot \left(2x^{-1/2}\right)^k$ $= C_5^k \cdot 2^k \cdot x^{\frac{5-k}{3}} \cdot x^{\frac{-k}{2}}$ $= C_5^k \cdot 2^k \cdot x^{\frac{5-k}{3} - \frac{k}{2}}$. Cho số mũ của $x$ ép bằng $0$: $\dfrac{5-k}{3} - \dfrac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow \dfrac{2(5-k) - 3k}{6} = 0 \Leftrightarrow 10 - 2k - 3k = 0 \Leftrightarrow 5k = 10 \Rightarrow k = 2$. Thế $k=2$ vào hệ số phía trên: Số hạng tự do cần tìm là: $C_5^2 \cdot 2^2 = 10 \cdot 4 = 40$.

Số hạng tổng quát: $T_{k+1} = C_5^k \cdot (3x^2)^{5-k} \cdot (-2x^{-3})^k$ $= C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot x^{10-2k} \cdot (-2)^k \cdot x^{-3k}$ $= \left[ C_5^k \cdot 3^{5-k} \cdot (-2)^k \right] \cdot x^{10-5k}$. Điều kiện không chứa $x$ là mũ triệt tiêu: $10 - 5k = 0 \Rightarrow k = 2$. Vậy số hạng phụ tương ứng là: $C_5^2 \cdot 3^{5-2} \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 27 \cdot 4 = 1080$.

SHTQ của khai triển là: $T_{k+1} = C_3^k \cdot x^{3-k} \cdot (ax^{-2})^k = C_3^k \cdot a^k \cdot x^{3-3k}$. Số hạng không chứa $x$ ứng với số mũ bằng không: $3 - 3k = 0 \Rightarrow k = 1$. Số hạng tự do khi thế $k = 1$ sẽ là: $C_3^1 \cdot a^1 = 3a$. Theo giả thiết đề bài ra số hạng này sinh ra $24$: $3a = 24 \Rightarrow a = 8$.

Theo định lý, tổng tất cả các hệ số trong một đa thức khi bị khai triển phẳng phiu rải từ mũ to đến nhỏ đều có giá trị bằng $P(1)$. Cho nên ta chèn thay $x = 1$ thẳng vào khuôn mẫu chưa khai triển: Tổng hệ số $S = P(1) = (3(1) - 4)^5 = (-1)^5 = -1$.

Ta viết tách nhịp cho khớp định dạng nhị thức: $1{,}01^5 = (1 + 0{,}01)^5$. Áp khuôn mẫu đan $(A+B)^5$: $(1 + 0{,}01)^5 = 1^5 + 5 \cdot 1^4 \cdot (0{,}01) + 10 \cdot 1^3 \cdot (0{,}01)^2 + 10 \cdot 1^2 \cdot (0{,}01)^3 + 5 \cdot 1 \cdot (0{,}01)^4 + (0{,}01)^5$ $= 1 + 5 \cdot (0{,}01) + 10 \cdot (0{,}0001) + 10 \cdot (0{,}000001) + \dots$ $= 1 + 0{,}05 + 0{,}001 + 0{,}00001 + \dots$ Cộng dồn vào ta sẽ ra đáp án xấp xỉ chính xác đến 4 chữ số thập phân là $\approx 1{,}0510$ (hoặc lấy nét nữa là $1{,}05101$).

Tách điểm về quanh điểm 1 thành $0{,}99^4 = (1 - 0{,}01)^4$. Khai triển chuẩn đan dấu âm dương Newton $(A-B)^4$: $(1 - 0{,}01)^4 = 1^4 - 4 \cdot 1^3(0{,}01) + 6 \cdot 1^2(0{,}01)^2 - 4(0{,}01)^3 + (0{,}01)^4$ $= 1 - 0{,}04 + 6 \cdot (0{,}0001) - 4 \cdot (0{,}000001) + \dots$ $= 1 - 0{,}04 + 0{,}0006 - 0{,}000004$ Gom cụm đại số: $0{,}96 + 0{,}0006 - 0{,}000004 \approx 0{,}960596$. Vậy $0{,}99^4 \approx 0{,}9606$.

Với biểu thức chứa 2 ẩn $x$ và $y$, tổng hệ số thu được bằng cách thế triệt tiêu tất cả các biến bằng số $1$: $x = 1, y = 1$. Thế vào $Q(x, y)$: Tổng hệ số $S = Q(1, 1) = (2 \cdot 1 - 1)^4 + (1 + 3 \cdot 1)^5$ $= 1^4 + 4^5$. Tính ra không gian số học: $1 + 1024 = 1025$.

Ta có khai triển đầy đủ: $(1 + x)^4 = C_4^0 \cdot 1^4 \cdot x^0 + C_4^1 \cdot 1^3 \cdot x^1 + C_4^2 \cdot 1^2 \cdot x^2 + C_4^3 \cdot 1^1 \cdot x^3 + C_4^4 \cdot 1^0 \cdot x^4$. $\Leftrightarrow (1 + x)^4 = C_4^0 + C_4^1 x + C_4^2 x^2 + C_4^3 x^3 + C_4^4 x^4$. Cho biến $x = 1$ thế cả hai vế của phương trình: $(1 + 1)^4 = C_4^0 + C_4^1 \cdot 1 + C_4^2 \cdot 1^2 + C_4^3 \cdot 1^3 + C_4^4 \cdot 1^4$ $2^4 = C_4^0 + C_4^1 + C_4^2 + C_4^3 + C_4^4$. Do $2^4 = 16$, ta nhận được điều phải chứng minh.