Bài 25: Nhị thức Newton

Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton với $a = x, b = 2$:

$(x + 2)^4 = x^4 + 4 \cdot x^3 \cdot 2 + 6 \cdot x^2 \cdot 2^2 + 4 \cdot x \cdot 2^3 + 2^4$

$= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16$.

$(2x - 1)^5 = (2x)^5 - 5(2x)^4(1) + 10(2x)^3(1)^2 - 10(2x)^2(1)^3 + 5(2x)(1)^4 - 1^5$

$= 32x^5 - 5(16x^4) + 10(8x^3) - 10(4x^2) + 10x - 1$

$= 32x^5 - 80x^4 + 80x^3 - 40x^2 + 10x - 1$.

• Số hạng chứa $x^3$ ứng với số hạng thứ 3 trong khai triển $(3x - 2)^5$:

• Số hạng đó là $C_5^2 \cdot (3x)^3 \cdot (-2)^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot 4 = 1080x^3$.

• Vậy hệ số của $x^3$ là $1080$.

• Trong khai triển $(x+3)^4$, hệ số của $x^2$ là $C_4^2 \cdot 3^2 = 6 \cdot 9 = 54$.

• Trong khai triển $(2x-1)^5$, hệ số của $x^2$ là $C_5^3 \cdot 2^2 \cdot (-1)^3 = 10 \cdot 4 \cdot (-1) = -40$.

• Tổng hệ số của $x^2$ là $54 + (-40) = 14$.

• Gọi khai triển là $(2x - 3)^5 = a_5 x^5 + a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0$.

• Để tìm tổng tất cả các hệ số $S = a_5 + a_4 + a_3 + a_2 + a_1 + a_0$, ta chỉ cần cho $x = 1$.

• Thay $x = 1$ vào vế trái: $S = (2(1) - 3)^5 = (-1)^5 = -1$.

• Xét khai triển $(1 + 1)^5 = C_5^0 + C_5^1 + C_5^2 + C_5^3 + C_5^4 + C_5^5$.

• Mà $(1 + 1)^5 = 2^5 = 32$.

• Vậy tổng $S = 32$.