Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Mỗi cách xếp 6 học sinh thành một hàng ngang là một hoán vị của 6 phần tử.

Số cách xếp là $P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$ cách.

• Buộc 2 cuốn sách Toán thành 1 khối: có $2! = 2$ cách hoán vị 2 cuốn Toán.

• Coi khối này cùng 3 cuốn sách khác là 4 vật thể: có $4! = 24$ cách hoán vị.

• Theo quy tắc nhân, tổng số cách xếp là $2! \times 4! = 2 \times 24 = 48$ cách.

a) Chọn 3 học sinh và phân công 3 chức vụ khác nhau (CÓ phân biệt thứ tự) $\implies$ Dùng Chỉnh hợp:

$A_{30}^3 = 30 \times 29 \times 28 = 24360 \quad \text{cách}$.

b) Chọn 3 học sinh đi trực nhật (KHÔNG phân biệt thứ tự) $\implies$ Dùng Tổ hợp:

$C_{30}^3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3!} = 4060 \quad \text{cách}$.

• Mỗi tam giác được tạo thành bằng cách chọn 3 điểm từ 10 điểm (thứ tự 3 đỉnh không quan trọng).

• Số tam giác lập được là $C_{10}^3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ tam giác.

• Điều kiện: $n \ge 2, n \in \mathbb{N}^*$.

• Ta có $A_n^2 = n(n-1)$ và $C_n^1 = n$.

• Phương trình $\iff n(n-1) + n = 16 \iff n^2 - n + n = 16 \iff n^2 = 16 \iff n = 4$ (nhận do $n \ge 2$).

Vậy $n = 4$.

• Theo công thức Pascal: $C_n^2 + C_n^1 = C_{n+1}^2$.

• $C_{n+1}^2 = 15 \iff \frac{(n+1)n}{2} = 15 \iff n^2 + n - 30 = 0 \iff n = 5$ hoặc $n = -6$ (loại).

Vậy $n = 5$.