Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Việc sắp xếp vị trí cho tất cả $7$ học sinh là một hoán vị của $7$ phần tử (vì mọi học sinh đều được tham gia việc sắp hàng, đổi thứ tự là ra một hàng mới). Số cách xếp dọc là: $P_7 = 7! = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 5040$ cách.

Tập hợp các chữ cái được cho có $5$ phần tử. Một từ được lập bằng cách xếp ngang cả $5$ chữ cái này sẽ là một hoán vị trực tiếp của $5$ phần tử đó. Số từ sinh ra được: $P_5 = 5! = 120$ từ.

• Bước 1: Coi toàn bộ khối sách Toán là một “gói sách T”, khối sách Văn là “gói sách V”. Có $2! = 2$ cách xếp vị trí hoán đổi cho 2 khối này (Khối T trước hay Khối V trước).
• Bước 2: Xếp $4$ cuốn sách Toán phân biệt trong khối T $\Rightarrow$ $4! = 24$ cách.
• Bước 3: Xếp $3$ cuốn sách Văn phân biệt trong khối V $\Rightarrow$ $3! = 6$ cách. Theo quy tắc nhân: Số cách sắp xếp thỏa mãn là $2! \cdot 4! \cdot 3! = 2 \cdot 24 \cdot 6 = 288$ cách.

• Ghế ngoài cùng bên trái đã bị khóa cứng cho bạn Lớp trưởng (chỉ có $1$ cách sắp xếp cho ghế này).
• Mọi bạn còn lại ($5$ người) sẽ được sắp xếp tự do vào $5$ chiếc ghế trống còn lại $\Rightarrow$ Đây là một hoán vị $P_5 = 5! = 120$ cách.

Vị trí xen kẽ tạo ra 2 kịch bản sắp xếp hình thái:

• Trường hợp 1: Bắt đầu bằng khối Nam (Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ - Nam - Nữ). Xếp $4$ nam vào $4$ vị trí lẻ $\Rightarrow 4!$ cách. Xếp $4$ nữ vào $4$ vị trí chẵn $\Rightarrow 4!$ cách. $\Rightarrow$ Cụm này có: $4! \cdot 4! = 576$ cách.
• Trường hợp 2: Bắt đầu bằng khối Nữ (Nữ - Nam - …). Vai trò tương tự, số cách xếp: $4! \cdot 4! = 576$ cách. Theo quy tắc cộng, tổng số cách xếp xen kẽ được là: $576 + 576 = 1152$ cách.

Việc chọn $3$ đoàn viên từ $15$ đoàn viên và gắn cho $3$ chức vụ khác nhau là lấy ra một tập nhỏ mà bên nội bộ có sự phân quyền vị trí riêng biệt (có thứ tự quan trọng). Do đó, số kết quả bầu được là một chỉnh hợp chập $3$ của $15$: $A_{15}^3 = 15 \cdot 14 \cdot 13 = 2730$ cách.

Mỗi cá nhân thuộc nhóm $3$ người chiến thắng sẽ nắm trong tay $3$ màu cúp khác nhau, định danh thứ tự Nhất, Nhì, Ba rõ ràng. Áp dụng bản chất biểu hiện phương thức của Chỉnh hợp: $A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ cách.

Mỗi số tự nhiên gồm $4$ chữ số khác nhau lấy từ tập hợp $7$ chữ số đã cho tương ứng với một chỉnh hợp chập $4$ của $7$ phần tử (vì sự hoán vị thứ tự giữa hàng ngàn, trăm, chục, đơn vị sẽ tạo ra các số hoàn toàn khác biệt nhau, ví dụ $1234 \neq 4321$). Số các số tự nhiên có thể lập được là: $A_7^4 = 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 840$ số.

Vì vai trò của $4$ công việc trên là tách biệt và khác biệt nhau hoàn toàn, nên việc chỉ định $4$ người từ $10$ người có đính kèm công việc chính xác sẽ là một thao tác Chỉnh hợp có quan tâm việc đắp hạng mục: Số khả năng bố trí là $A_{10}^4 = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 = 5040$ cách phân công.

Vì dải 1 và 5 “giống hệt nhau” nền có thể coi 2 dải này là 1 khối chung màu được định danh.

• Bước 1: Chọn màu cho khối chốt (dải 1 & 5). Ta lấy $1$ màu từ $9$ màu hiện có $\Rightarrow 9$ cách.
• Bước 2: Còn lại $3$ dải (dải 2, 3, 4) nằm chèn ở giữa. Việc chọn $3$ dải màu từ $8$ màu còn dư (do các dải liên tiếp không được phép trùng lặp màu sắc cơ sở) là một quá trình chọn chập $3$ có nhận biết vị trí: $A_8^3$ cách. Nhân lại: $9 \cdot A_8^3 = 9 \cdot 336 = 3024$ cách.

Quá trình rút $4$ viên bi từ hộp một cách “cùng lúc” không có quy định nào về vị trí xếp hạng xuất hiện (hạt nào bốc ra trước sau không quá quan trọng). Bốc không kể thứ tự. Điều này thỏa mãn một tổ hợp chập $4$ của $20$. Số cách rút là: $C_{20}^4 = \dfrac{20!}{4! \cdot 16!} = 4845$ cách.

$2$ người được phân công đi cắm trại tự do trong đội nhóm không có cấp bậc phân biệt $\Rightarrow C_6^2 = 15$ cách.

Nhóm $3$ người có “đúng 1 kĩ sư nữ”, nghĩa là gồm: $1$ nữ và $2$ nam cùng thành lập tổ hợp tác.

• Bước 1: Chọn $1$ nữ từ $4$ kĩ sư nữ, không có chức vụ đi kèm $\Rightarrow C_4^1 = 4$ cách.
• Bước 2: Chọn $2$ nam từ $5$ kĩ sư nam, không chức vụ phân lập $\Rightarrow C_5^2 = 10$ cách. Theo quy tắc nhân ở 2 bước nối tiếp, số đội là: $C_4^1 \cdot C_5^2 = 4 \cdot 10 = 40$ cách.

Đoạn thẳng là một cạnh quy tụ từ 2 điểm (Không tính chiều hướng đi từ $A \to B$ hay $B \to A$, tính như một đoạn $AB$). Số cách chọn $2$ điểm từ nguồn $15$ điểm chính là số hạt giống tạo biên đoạn thẳng: $C_{15}^2 = 105$ đoạn thẳng.

“Ít nhất $8$ câu” nghĩa là sinh viên có thể làm một khối: $8$ câu, $9$ câu, hoặc toàn bộ $10$ câu. Ta phân làm 3 trường hợp độc lập và áp quy tắc cộng. Không quan trọng làm bài nào trước hay sau, nên dùng Tổ hợp.

• Trường hợp 1: Chọn $8$ câu $\Rightarrow$ có $C_{10}^8 = 45$.
• Trường hợp 2: Chọn $9$ câu $\Rightarrow$ có $C_{10}^9 = 10$.
• Trường hợp 3: Chọn đủ $10$ câu $\Rightarrow$ có $C_{10}^{10} = 1$. Tổng cộng số phương án chọn bài: $45 + 10 + 1 = 56$ phương án thụ lý.

Điều kiện: $x \ge 2, x \in \mathbb{N}$. Khai triển theo công thức: $\dfrac{x!}{2!(x-2)!} + \dfrac{x!}{(x-2)!} = 30$ Ta biết rằng: $\dfrac{x!}{(x-2)!} = \dfrac{x(x-1)(x-2)!}{(x-2)!} = x(x-1)$. Thế vào phương trình: $\dfrac{x(x-1)}{2} + x(x-1) = 30$ Quy đồng mẫu 2: $x(x-1) + 2x(x-1) = 60 \Leftrightarrow 3x(x-1) = 60 \Leftrightarrow x(x-1) = 20$. $\Leftrightarrow x^2 - x - 20 = 0$. Giải phương trình bậc 2, ta được $x = 5$ (nhận) hoặc $x = -4$ (loại). Vậy $x = 5$.

Điều kiện $x \ge 1$, $x \in \mathbb{N}$. Công thức hoán vị: $P_x = x!$. Ta rút gọn nhân tử $x!$ thành $x \cdot (x-1)! = x \cdot P_{x-1}$. Thay vào pt: $x \cdot P_{x-1} - P_{x-1} = 24$ $\Leftrightarrow P_{x-1} \cdot (x-1) = 24$ $\Leftrightarrow (x-1)! \cdot (x-1) = 24$. Lập bảng thử giá trị nhanh với $n!$: $x=4 \Rightarrow 3! \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$ (chưa bằng 24). Một cách khác, ta dò các số để bằng 24, nếu số quá nhỏ không có. Vậy phương trình có thể vô nghiệm không? Thực tế $24 = 4 \cdot 6 = 4!$. Nếu $(x-1)! (x-1) = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1$. Nó không phải phương trình chuẩn nguyên. Vậy ta phải làm lại. Nếu $P_{x+1} - P_{x} = P_4$? Nghĩa là bài này vô nghiệm trên tập tự nhiên.

(Đính chính thành: $P_k \text{ ví dụ } P_x = 120 \Rightarrow x = 5$). Vậy $\Rightarrow x \in \emptyset$.

Theo Pascal, $C_n^k + C_n^{k-1} = C_{n+1}^k$. Tại đây $n=7$, $k=4$, đại lượng sẽ bằng: $C_{7+1}^4 = C_8^4$. Tính $C_8^4 = \dfrac{8!}{4! \cdot 4!} = 70$.

Khai triển bất phương trình: $\dfrac{n!}{(n-2)!} < \dfrac{n!}{3!(n-3)!}$ $\Leftrightarrow n(n-1) < \dfrac{n(n-1)(n-2)}{6}$ Với $n \ge 3$, suy ra $n(n-1) > 0$. Ta có quyền chia hai vế cho chuỗi lượng dương $n(n-1)$: $1 < \dfrac{n-2}{6} \Leftrightarrow n-2 > 6 \Leftrightarrow n > 8.$ Kết luận: Nghiệm của bất phương trình là các bộ số n tự nhiên $n \ge 9$.

Sử dụng công thức liên kết giữa lực phân bố: $A_n^k = k! \cdot C_n^k$. Chia tương đối $A$ cho $C$: $k! = \dfrac{A_n^k}{C_n^k} = \dfrac{720}{120} = 6$ Biết $3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \Rightarrow k = 3$. Thế mấu chốt vào phương trình dưới: $A_n^3 = 720 \Leftrightarrow n(n-1)(n-2) = 720$ Nhận thấy $720 = 10 \cdot 9 \cdot 8$. Đồng nhất hệ thức $n(n-1)(n-2) \Rightarrow n = 10$. Vậy $(n, k) = (10, 3)$.