Bài 23: Quy tắc đếm

Việc chọn một chiếc mũ có thể thực hiện theo 2 phương án độc lập:

• Phương án 1: Chọn mũ lưỡi trai, có $3$ cách.
• Phương án 2: Chọn mũ vành rộng, có $2$ cách.

Theo quy tắc cộng, số cách Nam chọn mũ là: $3 + 2 = 5$ (cách).

Việc chọn 1 quả trái cây có thể chia làm 3 phương án:

• P.A 1: Chọn được quả táo, có 5 cách.
• P.A 2: Chọn được quả cam, có 4 cách.
• P.A 3: Chọn được quả lê, có 3 cách.

Theo quy tắc cộng (3 phương án), số cách chọn trái cây là: $5 + 4 + 3 = 12$ (cách).

Hành động trích xuất học sinh được chia thành 2 cấu trúc rõ ràng không giao nhau:

• Trường hợp 1: Chọn nam của 10A $\Rightarrow$ có 20 cách.
• Trường hợp 2: Chọn nữ của 10B $\Rightarrow$ có 16 cách.

Theo quy tắc cộng, giáo viên có tất cả: $20 + 16 = 36$ (cách) để cử.

Chia các nhóm số thỏa mãn điều kiện thành các tập hợp con không bị trùng lặp:

• Nhóm 1: Các thẻ chẵn nhưng không chia hết cho 5: $\{2, 4, 6, 8\}$ $\Rightarrow$ có 4 cách.
• Nhóm 2: Các thẻ lẻ và chia hết cho 5: $\{5\}$ $\Rightarrow$ có 1 cách.
• Nhóm 3: Các thẻ chẵn và chia hết cho 5: $\{10\}$ $\Rightarrow$ có 1 cách.

Các cách thuộc 3 tập trên độc lập và rời nhau. Theo đúng quy tắc cộng, ta có số cách thỏa mãn là: $4 + 1 + 1 = 6$ (cách).

Công việc đếm được chia theo mô hình số chữ số cấu tạo (1 hoặc 2):

• Trường hợp 1: Số có 1 chữ số. Có thể chọn ngay $1, 2, 3 \Rightarrow$ có 3 số.
• Trường hợp 2: Số có 2 chữ số $\overline{ab}$.
  • Hàng chục $a \in S \Rightarrow 3$ cách.
  • Hàng đơn vị $b \in S \Rightarrow 3$ cách.
  • Tuy chưa học chính thức, nhưng theo lô gic tự nhiên dễ thấy nếu $a$ có 3 cách và $b$ có 3 cách thì có 9 cặp $(a,b) \Rightarrow$ có 9 số.

Gộp hai trường hợp độc lập bằng quy tắc cộng, ta có tổng cộng số nguyên dương lập được là: $3 + 9 = 12$ số.

Quá trình đi được chia làm 2 trường hợp độc lập:

• Trường hợp 1: Đi qua trung điểm $B$.
  • Công đoạn 1: Đi $A \to B$ có $4$ cách.
  • Công đoạn 2: Đi $B \to C$ có $3$ cách. $\Rightarrow$ Theo quy tắc nhân, có: $4 \cdot 3 = 12$ cách.
• Trường hợp 2: Đi trực tiếp từ $A \to C$. Cung đường này cho $2$ cách.

Theo quy tắc cộng, tổng số cách người đó có thể đi từ $A$ đến $C$ là: $12 + 2 = 14$ (cách).

Việc chọn ban đại diện gồm 2 công đoạn nối tiếp:

• Công đoạn 1: Chọn $1$ sinh viên nam. Có $15$ cách.
• Công đoạn 2: Ứng với mỗi bạn nam được chọn, chọn tiếp $1$ sinh viên nữ. Có $10$ cách.

Theo quy tắc nhân, số cách thành lập ban đại diện là: $15 \cdot 10 = 150$ (cách).

Có hai cách tiếp cận:

Cách 1: Tính gián tiếp (Phần bù)

• Tổng số cách phối một bộ đồ ngẫu nhiên không có điều kiện là: $3 \cdot 4 = 12$ cách.
• Số bộ đồ bị kị nhau là: 1 (1 áo kẻ sọc phối với 1 quần hoa văn).
• Số cách phối đồ hợp lệ là: $12 - 1 = 11$ cách.

Cách 2: Tính trực tiếp

• Nếu chọn áo kẻ sọc (1 cách): Khi đó không được chọn quần hoa văn, ta chỉ có thể chọn 3 loại quần còn lại $\Rightarrow 1 \cdot 3 = 3$ bộ.
• Nếu chọn áo khác (2 loại): Chọn tự do quần (4 loại) $\Rightarrow 2 \cdot 4 = 8$ bộ.
• Theo quy tắc cộng: $3 + 8 = 11$ bộ.

Ta đếm số cách nối tiếp việc mời 5 học sinh vào 5 cái ghế theo thứ tự ghế $1 \to 5$:

• Ghế 1: Có thể chọn bất kỳ ai trong 5 bạn $\Rightarrow$ Có 5 cách.
• Ghế 2: Có 4 bạn còn chưa có vị trí để chọn vào đây $\Rightarrow$ 4 cách.
• Ghế 3: Có 3 cách.
• Ghế 4: Có 2 cách.
• Ghế 5: Có 1 cách (người cuối cùng).

Theo quy tắc nhân: $5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$ (cách sắp xếp).

Yêu cầu bắt buộc 1 nam và 1 nữ vào 2 vị trí khác nhau biệt lập (Trưởng/Phó). Ta chia làm 2 trường hợp:

• Trường hợp 1: Nhóm trưởng nam, nhóm phó nữ.

  • Chọn trưởng nam từ 5 nam $\Rightarrow 5$ cách.
  • Chọn phó nữ từ 3 nữ $\Rightarrow 3$ cách. $\Rightarrow$ Cụm này có: $5 \cdot 3 = 15$ cách.

• Trường hợp 2: Nhóm trưởng nữ, nhóm phó nam.

  • Chọn trưởng nữ từ 3 nữ $\Rightarrow 3$ cách.
  • Chọn phó nam từ 5 nam $\Rightarrow 5$ cách. $\Rightarrow$ Cụm này có: $3 \cdot 5 = 15$ cách.

Kết hợp lại bằng quy tắc cộng hoàn thiện phép đếm: $15 + 15 = 30$ cách.

Gọi số cần lập là $\overline{abc}$. Vì bài toán không đòi hỏi các chữ số phải khác biệt, do đó ta có quyền lấy lại số:

• Chọn $a$: $4$ cách.
• Chọn $b$: $4$ cách.
• Chọn $c$: $4$ cách.

Theo quy tắc nhân, lượng số tạo thành là: $4 \cdot 4 \cdot 4 = 64$ số.

Gọi số tạo lập có dạng $\overline{abc}$ với các chữ số đôi một rời nhau.

• Chọn hàng trăm $a$: Có $6$ lựa chọn (được lấy cả 6 số do không có chữ số 0 trong tập $A$).
• Chọn hàng chục $b$: Chọn tự do từ tập $A$ trừ số $a$ $\Rightarrow 6 - 1 = 5$ cách.
• Chọn hàng đơn vị $c$: Tránh số $a$ và số $b$ $\Rightarrow 6 - 2 = 4$ cách.

$\Rightarrow$ Số lượng số được sản sinh: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ số.

Số cần lập là $\overline{abc}$. Khắt khe nhất là thuộc tính chẵn chặn ở hàng đơn vị. Tập này có các chữ số chẵn $\{2, 4\}$.

• Chọn $c \in \{2, 4\} \Rightarrow 2$ cách.
• Chọn $a$: Lấy $1$ từ $4$ chữ số còn lại (bất kỳ) $\Rightarrow 4$ cách.
• Chọn $b$: Lấy $1$ từ $3$ chữ số cuối cùng chưa lấy $\Rightarrow 3$ cách.

$\Rightarrow$ Số lượng số chẵn sẽ là: $2 \cdot 4 \cdot 3 = 24$ số.

Gọi số cần lập là $\overline{abc}$ ($a \neq 0$; $a, b, c$ phân biệt). Vì số thuộc loại chẵn nên chữ số hàng đơn vị $c \in \{0, 2, 4\}$. Do chữ số $0$ ảnh hưởng trực tiếp đến vị trí $a$, ta phải chia nhỏ thành các trường hợp sau:

• Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là $c = 0$ ($1$ cách).

  • Chọn $a$ (khác $0$): Do $c$ lấy chữ số $0$ rồi nên $a \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ $\Rightarrow$ có $5$ cách.
  • Chọn $b$ (khác $a$ và khác $c$): Còn lại $4$ chữ số $\Rightarrow$ có $4$ cách. $\Rightarrow$ Có $1 \cdot 5 \cdot 4 = 20$ số.

• Trường hợp 2: Chữ số tận cùng $c \in \{2, 4\}$ ($2$ cách).

  • Chọn $a$ (khác $0$ và khác $c$): Tập ban đầu có 6 chữ số. Lấy bỏ $0$ và chữ số $c$ đã dùng, $a$ có $4$ cách.
  • Chọn $b$ (khác $a$ và $c$): Sau khi chọn $a$ và $c$, còn lại $4$ số (được phép lấy lại số $0$) $\Rightarrow$ có $4$ cách. $\Rightarrow$ Có $2 \cdot 4 \cdot 4 = 32$ số.

Theo quy tắc cộng, tổng số các số chẵn thoả mãn là: $20 + 32 = 52$ số.

Số chia hết cho $5$ có dạng $\overline{abcd}$, tận cùng $d$ bắt buộc bằng $0$ hoặc $5$. Tuy nhiên, nếu kéo $0$ vào $d$ thì số hàng nghìn $a$ luôn tự do (vì $d=0$ triệt tiêu khả năng $0$ nằm ở đầu chuỗi). Vậy nên bắt buộc tách rẽ:

• Trường hợp 1: $d = 0$ (1 cách).

  • $a$ tự do từ các biến còn dư lại $\{1,2,3,4,5,6\} \Rightarrow 6$ cách.
  • $b$ tiếp tục thu hẹp $\Rightarrow 5$ cách.
  • $c$ $\Rightarrow 4$ cách. $\Rightarrow 1 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ số.

• Trường hợp 2: $d = 5$ (1 cách).

  • Yêu cầu hàng nghìn $a \neq 0$ (và $a \neq d \Rightarrow a \neq 5$). Tập đầu $7$ phần tử trừ đi số $0$ và $5$ còn $5$ cách chọn $a$.
  • Mất đi $a$ và $5$, nhưng số $0$ được trả lại bầu trời, nên $b$ bốc từ $5$ phần tử $\Rightarrow 5$ cách.
  • $c \Rightarrow 4$ cách. $\Rightarrow 1 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 4 = 100$ số.

Tổng cộng áp dụng quy tắc cộng: $120 + 100 = 220$ số chia hết cho $5$.

Ta vẽ sơ đồ gồm 2 công đoạn nối tiếp:

• Công đoạn 1 (Chọn Áo): Có 2 nhánh là Vàng (V) và Trắng (T).
• Công đoạn 2 (Chọn Quần): Ứng với mỗi nhánh áo, ta tẽ ra 2 nhánh quần là Đen (Đ) và Xanh (X).

V-Đ ; V-X ; T-Đ ; T-X.

Có $4$ điểm cuối cùng, minh chứng cho $4$ cách phối trang phục.

Luật chơi cho biết mỗi người có 3 trạng thái có thể đưa ra.

• Trạng thái của An: Tỏa ra làm 3 nhánh Kéo, Búa, Bao.
• Trạng thái của Bình: Ứng với mỗi nhánh của An, tỏa tiếp làm 3 nhánh Kéo, Búa, Bao.

Đếm số điểm cuối (mút), ta nhận thấy có tổng cộng $3 \cdot 3 = 9$ tình huống diễn tiến của ván nhảy.

Tại mỗi lần tung, ta có 2 phương án là đạt mặt S hoặc mặt N. Sơ đồ tung nối tiếp biểu diễn như sau:

Nhìn vào sơ đồ, nhánh “cây” tỏa ra làm $8$ điểm kết thúc ứng với $8$ bộ ba mặt của đồng xu sau 3 lần tung. Vậy có tổng cộng $8$ kết quả có thể xảy ra. Ngoài ra, áp dụng quy tắc nhân ta cũng thấy: Mỗi lần tung đều có 2 khả năng, số kết quả phép tung là $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ (kết quả).

Sơ đồ không còn đối xứng (đồng đều) giữa các nhánh do có luật tự dừng: Trận 1 có thể đội A hoặc B thắng:

• Nếu A thắng Trận 1:
  • Trận 2 nhánh 1: Nếu A thắng tiếp $\Rightarrow$ Chuỗi (A,A) $\Rightarrow$ A vô địch ngay, dừng.
  • Trận 2 nhánh 2: Nếu B thắng $\Rightarrow$ Hòa 1-1, phải xét trận chung kết Trận 3.
    • Tại Trận 3: Có thể là (A,B,A) hoặc (A,B,B), kết thúc giải.
• Nếu B thắng Trận 1:
  • Trận 2 nhánh 1: Nếu B thắng tiếp $\Rightarrow$ Chuỗi (B,B) $\Rightarrow$ B vô địch, dừng.
  • Trận 2 nhánh 2: Nếu A thắng $\Rightarrow$ Hòa 1-1 (B,A). Đi tiếp Trận 3.
    • Tại Trận 3: Lập được nhánh (B,A,A) và (B,A,B).

Sơ đồ đã sinh ra tổng cộng 6 trạng thái điểm kết thúc mút ứng với $6$ kịch bản cục diện trận đấu: $(A, A)$, $(B, B)$, $(A, B, A)$, $(A, B, B)$, $(B, A, B)$, $(B, A, A)$.

Ký hiệu hai kết quả của mỗi thao tác trả lời là Đúng (Đ) và Sai (S). Hành trình phụ thuộc khắt khe:

• Lần trả lời 1: Tẽ thành 2 nhánh Đ và S.
  • Nhánh S: Trò chơi chấm dứt (1 trạng thái hành trình: S).
  • Nhánh Đ: Cổng tới câu thứ 2 mở ra. Tẽ tiếp thành 2 nhánh phụ Đ và S.
    • Nhánh phụ S: Dừng lại (1 trạng thái dài: Đ-S).
    • Nhánh phụ Đ: Đi tới câu cuối cùng, tẽ đôi câu 3 thành Đ và S.
      • Cuối cùng hình thành 2 nhánh gút: Đ-Đ-S (bị loại câu cuối), Đ-Đ-Đ (thắng cuộc).

Mỗi dấu chấm dứt biểu thị cho 1 kịch bản trạng thái toàn cục khi người chơi ra về. Dựa theo sơ đồ, tổng cộng có $4$ luồng trạng thái ứng với: S, Đ-S, Đ-Đ-S và Đ-Đ-Đ.