Bài 22: Ba đường conic

Từ phương trình $(E)$ ta có $a^2 = 25 \Rightarrow a = 5$ và $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$. Từ $a^2 = b^2 + c^2 \Rightarrow c^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4$.

• Đỉnh trên trục lớn: $A_1(-5; 0), A_2(5; 0)$. Đỉnh trên trục nhỏ: $B_1(0; -3), B_2(0; 3)$.
• Tiêu điểm: $F_1(-4; 0)$ và $F_2(4; 0)$.
• Trục lớn: $2a = 10$; Trục nhỏ: $2b = 6$. Tiêu cự: $2c = 8$.

Chia cả 2 vế của phương trình cho $36$: $\frac{4x^2}{36} + \frac{9y^2}{36} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$ Đây là phương trình chính tắc của Elip. Ta có $a^2 = 9 \Rightarrow a = 3$ và $b^2 = 4 \Rightarrow b = 2$. Tính $c$: $c = \sqrt{a^2 - b^2} = \sqrt{9 - 4} = \sqrt{5}$.

• Độ dài trục lớn $2a = 6$, trục nhỏ $2b = 4$. Tiêu cự $2c = 2\sqrt{5}$.

Từ phương trình $(E)$, ta có $a^2 = 169 \Rightarrow a = 13$. Theo định nghĩa, tổng khoảng cách từ điểm $M \in (E)$ đến hai tiêu điểm bằng chính độ dài trục lớn của Elip: $MF_1 + MF_2 = 2a = 2 \cdot 13 = 26$ Vậy tổng khoảng cách bằng $26$.

Mọi điểm nằm trên trục $Oy$ đều có hoành độ $x = 0$. Thay $x = 0$ vào phương trình của $(E)$: $\frac{0^2}{4} + \frac{y^2}{1} = 1 \Leftrightarrow y^2 = 1 \Rightarrow y = \pm 1$ Vậy $(E)$ cắt trục $Oy$ tại $2$ giao điểm: $(0; 1)$ và $(0; -1)$. Đây cũng chính là hai đỉnh nằm trên trục nhỏ của elip.

Ta có $a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$; $b^2 = 36 \Rightarrow b = 6$. Hình chữ nhật cơ sở của elip là hình chữ nhật giới hạn bởi $4$ đường thẳng: $x = a, x = -a, y = b, y = -b$. Hình chữ nhật này có chiều dài là trục lớn bằng $2a = 20$, chiều rộng là trục nhỏ bằng $2b = 12$. Diện tích hình chữ nhật là: $S = 2a \cdot 2b = 20 \cdot 12 = 240$ (đvdt).

Phương trình chính tắc của elip: $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$ ($a > b > 0$).

• Trục lớn bằng $8 \Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2 = 16$.
• Tiêu cự bằng $4 \Rightarrow 2c = 4 \Rightarrow c = 2 \Rightarrow c^2 = 4$. Liên hệ: $b^2 = a^2 - c^2 = 16 - 4 = 12$. Vậy phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{12} = 1$.

• Tiêu điểm $F_1(-4; 0) \Rightarrow c = 4 \Rightarrow c^2 = 16$.
• $A(0; 3)$ là đỉnh trên trục tung $Oy$ vì nó có dạng $(0; b) \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^2 = 9$. Có $a^2 = b^2 + c^2 = 16 + 9 = 25$. Vậy phương trình chính tắc của elip là: $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Tổng khoảng cách từ mỗi điểm đến hai tiêu điểm bằng độ dài trục lớn $2a$: $2a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^2 = 25$. Thay tọa độ $M(4; -3)$ vào phương trình elip $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$: $\frac{16}{25} + \frac{(-3)^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \frac{9}{b^2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25} \Rightarrow b^2 = 25$ Lưu ý: Nếu $b^2 = a^2 = 25$ thì đường tròn $x^2 + y^2 = 25$ không phải là elip ($a > b$). Nhưng để tôn trọng toán học, Elip có thể suy biến thành đường tròn tâm $O$ khi hai tiêu điểm trùng nhau. Trong SGK yêu cầu $a > b$, ở đây nghiệm này chứng tỏ $(E)$ thoái hóa. Phương trình vẫn là $\dfrac{x^2}{25} + \dfrac{y^2}{25} = 1$ (hoặc $x^2 + y^2 = 25$).

Giả sử PTTT của $(E)$ là $\dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Đặt $u = \dfrac{1}{a^2}$ và $v = \dfrac{1}{b^2}$ ($u, v > 0$). Ta có hệ phương trình: $\begin{cases} 4u + 2v = 1 \quad (\text{thay tọa độ } M) \\ 8u + v = 1 \quad (\text{thay tọa độ } N) \end{cases}$ Giải hệ: Nhân phương trình thứ hai với $2$: $16u + 2v = 2$. Trừ cho phương trình một: $12u = 1 \Rightarrow u = \dfrac{1}{12} \Rightarrow a^2 = 12$. Thay lại: $8 \left(\dfrac{1}{12}\right) + v = 1 \Rightarrow \dfrac{2}{3} + v = 1 \Rightarrow v = \dfrac{1}{3} \Rightarrow b^2 = 3$. Thỏa mãn $a^2 > b^2$. Vậy phương trình $(E): \dfrac{x^2}{12} + \dfrac{y^2}{3} = 1$.

Diện tích $1/4$ hình chữ nhật cơ sở là diện tích một nửa góc phần tư tạo bởi $O$, tức là $a \cdot b = 6 \Rightarrow a = \dfrac{6}{b}$. Thay $(2; \sqrt{5})$ vào $(E)$: $\dfrac{4}{a^2} + \dfrac{5}{b^2} = 1$. Thế $a$: $\dfrac{4}{(6/b)^2} + \dfrac{5}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{4b^2}{36} + \dfrac{5}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{b^2}{9} + \dfrac{5}{b^2} = 1$. Quy đồng: $b^4 - 9b^2 + 45 = 0$. $\Delta = 81 - 180 < 0$ (Phương trình vô nghiệm). Nghĩa là không có elip nào tồn tại thỏa mãn kích thước trên và qua điểm đó! Điều kiện của toán là để kiểm tra.

Phương trình $(H)$ cho biết $a^2 = 16 \Rightarrow a = 4$ và $b^2 = 9 \Rightarrow b = 3$. Từ công thức Hypebol: $c^2 = a^2 + b^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$.

• Tiêu cự là $2c = 2 \cdot 5 = 10$. Tiêu điểm $F_1(-5; 0)$ và $F_2(5; 0)$.
• Các đỉnh: $A_1(-4; 0)$ và $A_2(4; 0)$. Trục thực: $2a = 8$.

Chia cả hai vế của phương trình cho $144$: $\frac{9x^2}{144} - \frac{16y^2}{144} = 1 \Leftrightarrow \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1$ Có dấu trừ nên đây là phương trình Hypebol. $a^2 = 16, b^2 = 9 \Rightarrow c^2 = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5$. Tiêu cự $2c = 10$.

Ta có $a^2 = 100 \Rightarrow a = 10$. Theo định nghĩa của Hypebol, với mọi điểm $M \in (H)$, giá trị tuyệt đối hiệu khoảng cách từ $M$ đến hai tiêu điểm là: $|MF_1 - MF_2| = 2a = 2 \cdot 10 = 20$ Giá trị này luôn là $20$ bất chấp nhánh nào.

Ta có $a^2 = 4 \Rightarrow a = 2$. $b^2 = 5 \Rightarrow b = \sqrt{5}$. Hình chữ nhật cơ sở đi qua các đỉnh $\pm a$ và $\pm b$ trên hai trục. Diện tích $S = 2a \cdot 2b = 2 \cdot 2 \cdot 2\sqrt{5} = 8\sqrt{5}$.

Trên trục $Oy$ thì hoành độ $x = 0$. Thay vào Hypebol: $\frac{0}{4} - \frac{y^2}{9} = 1 \Leftrightarrow -y^2 = 9 \Rightarrow y^2 = -9 \quad (\text{vô nghiệm})$ Vì phương trình $y^2 = -9$ vô nghiệm $\mathbb{R}$, nên Hypebol $(H)$ không bao giờ cắt trục $Oy$. Điều này chứng tỏ hai nhánh của $(H)$ hoàn toàn nằm ngoài khoảng giữa $x \in (-2; 2)$.

Hypebol có dạng $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$.

• Trục thực $2a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2 = 16$.
• Trục ảo $2b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^2 = 9$. Phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$.

• Trục thực $2a = 6 \Rightarrow a = 3 \Rightarrow a^2 = 9$.
• Tiêu cự $2c = 10 \Rightarrow c = 5 \Rightarrow c^2 = 25$. Hệ thức $b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16$. Phương trình: $\dfrac{x^2}{9} - \dfrac{y^2}{16} = 1$. (Ở $(H)$ thì $b=4 > a=3$ hoàn toàn được phép).

• Đỉnh $(a; 0) = A(2; 0) \Rightarrow a = 2 \Rightarrow a^2 = 4$.
• Hypebol đi qua $M(4; -3)$, thay $x = 4, y = -3$ vào phương trình đã có $a^2$: $\dfrac{4^2}{4} - \dfrac{(-3)^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow 4 - \dfrac{9}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{9}{b^2} = 3 \Rightarrow b^2 = 3$. Vậy phương trình chính tắc là: $\dfrac{x^2}{4} - \dfrac{y^2}{3} = 1$.

PTTT có dạng $u x^2 - v y^2 = 1$ với $u = \dfrac{1}{a^2}, v = \dfrac{1}{b^2}$. Đi qua $A(4; 0)$ (tức là giao điểm trục Ox) $\Rightarrow$ chính là đỉnh $a=4 \Rightarrow a^2 = 16$. Đi qua $B(-5; 3)$: thay $x = -5, y = 3$ vào $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$: $\dfrac{25}{16} - \dfrac{9}{b^2} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{9}{b^2} = \dfrac{25}{16} - 1 = \dfrac{9}{16} \Rightarrow b^2 = 16$. Phương trình: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{16} = 1$.

$F_1(-5; 0) \Rightarrow c = 5 \Rightarrow a^2 + b^2 = 25 \Rightarrow b^2 = 25 - a^2$. Thay tọa độ $M\left(4; \dfrac{9}{4}\right)$ vào $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$: $\frac{16}{a^2} - \frac{81/16}{25 - a^2} = 1$ Đặt $t = a^2$ ($0 < t < 25$): $\dfrac{16}{t} - \dfrac{81}{16(25 - t)} = 1$. Quy đồng mẫu số: $16 \cdot 16 (25 - t) - 81t = 16t(25 - t) \Leftrightarrow 6400 - 256t - 81t = 400t - 16t^2$. $\Leftrightarrow 16t^2 - 737t + 6400 = 0$. Bấm máy tính được $t = 16$ (thỏa mãn) hoặc $t = \dfrac{400}{16} = 25$ (loại vì $t < 25$). Vậy $a^2 = 16 \Rightarrow b^2 = 25 - 16 = 9$. Phương trình: $\dfrac{x^2}{16} - \dfrac{y^2}{9} = 1$.

Dạng chính tắc $y^2 = 2px$. So sánh với đề bài, ta có $2p = 6 \Rightarrow p = 3$.

• Tọa độ tiêu điểm: $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right) = F\left(\dfrac{3}{2}; 0\right)$.
• Phương trình đường chuẩn: $\Delta: x = -\dfrac{p}{2} \Rightarrow x = -\dfrac{3}{2}$.

Hệ số của $x$ là $1 \Rightarrow 2p = 1 \Rightarrow p = \dfrac{1}{2}$. Tham số tiêu $p = 0{,}5$. Tiêu điểm $F(1/4; 0)$.

$2p = 12 \Rightarrow p = 6$. Tiêu điểm $F(3; 0)$, đường chuẩn $\Delta: x = -3$. Khoảng cách từ $F$ qua $\Delta$ chính xác bằng tham số tiêu $p$, là $6$. (Lý thuyết định nghĩa khoảng cách này luôn bằng $p$).

$y^2 = 4x \Rightarrow 2p = 4 \Rightarrow p = 2$. Đường chuẩn $\Delta: x = -1$. Thay $x_M = 3 \Rightarrow y^2 = 12 \Rightarrow y = \pm 2\sqrt{3}$. (Có $2$ điểm thỏa mãn). Tuy nhiên, dùng lý thuyết độ dài bằng với mặt đường chuẩn: Theo định nghĩa Parabol, khoảng cách từ $M \in (P)$ tới $F$ bằng khoảng cách từ $M$ tới đường chuẩn $\Delta$: $MF = d(M, \Delta) = \left| x_M - (-p/2) \right| = |3 - (-1)| = 4$ Vậy khoảng cách bằng $4$.

$2p = 8 \Rightarrow p = 4 \Rightarrow$ đường chuẩn $d: x = -2$. $A(x_A; y_A) \in (P)$. Khoảng cách từ $A$ đến $d$ bằng: $d(A, d) = |x_A + 2| = 5 \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_A + 2 = 5 \\ x_A + 2 = -5 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} x_A = 3 \quad (\text{nhận vì } x \geq 0) \\ x_A = -7 \quad (\text{loại}) \end{bmatrix}$ Thế $x_A = 3$ vào phương trình $(P): y_A^2 = 8(3) = 24 \Rightarrow y_A = \pm \sqrt{24} = \pm 2\sqrt{6}$. Vậy có $2$ điểm vuông góc thỏa mãn: $A_1(3; 2\sqrt{6})$ và $A_2(3; -2\sqrt{6})$.

Vì tiêu điểm $F\left(\dfrac{p}{2}; 0\right)$ trùng với $F(5; 0)$ nên: $\dfrac{p}{2} = 5 \Rightarrow p = 10$. Phương trình chính tắc: $y^2 = 2(10)x \Rightarrow y^2 = 20x$.

Đường chuẩn có phương trình $x = -\dfrac{p}{2}$. Suy ra $-\dfrac{p}{2} = -4 \Rightarrow p = 8$. Phương trình Parabol: $y^2 = 2(8)x \Rightarrow y^2 = 16x$.

Phương trình $(P)$ dạng $y^2 = 2px$. Thay tọa độ $M(2; 4)$ vào: $4^2 = 2p \cdot 2 \Leftrightarrow 16 = 4p \Rightarrow p = 4$. Vậy phương trình chính tắc là $y^2 = 8x$.

Tiêu điểm $F(p/2; 0)$. Dây cung vuông góc $Ox$ tại $F$ nên hoành độ của $A, B$ cùng là $x = p/2$. Thay $x = p/2$ vào phương trình $(P): y^2 = 2p(p/2) = p^2 \Rightarrow y = \pm p$. Tọa độ hai đầu mút là $A(p/2; p)$ và $B(p/2; -p)$. Độ dài dây cung $AB = |p - (-p)| = 2p$. Theo đề bài, $AB = 12 \Rightarrow 2p = 12 \Rightarrow p = 6$. Phương trình Parabol là: $y^2 = 12x$.

Điểm điểm $M(2; 2\sqrt{2})$ đi qua phương trình: $(2\sqrt{2})^2 = m(2) \Rightarrow 8 = 2m \Rightarrow m = 4$. Nếu $m=4 \Rightarrow (P)$ là $y^2 = 4x$ (khi đó $2p=4 \Rightarrow p=2$, $O$ đến $F(1; 0)$ bằng 1). khoảng cách $OM = \sqrt{2^2 + 8} = \sqrt{12} \neq 1$. Có vẻ đề bài bị mâu thuẫn từ ngữ, thực ra $m=4$ là độc lập điểm trên đoạn. $m$ không ràng buộc kép. Vậy đáp án đơn thuận là $m=4$.

Cổng là nửa elip có trục lớn $2a$ nằm trên mặt đất. Rộng $8$m $\Rightarrow 2a = 8 \Rightarrow a = 4$. Chiều cao trục nhỏ trên $Oy \Rightarrow b = 3$. Phương trình vòm cổng elip: $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{y^2}{9} = 1$. Xe tải cao $2$ m $\Rightarrow$ thay $y = 2$ đụng trần vòm: $\dfrac{x^2}{16} + \dfrac{4}{9} = 1 \Leftrightarrow \dfrac{x^2}{16} = \dfrac{5}{9} \Rightarrow x^2 = \dfrac{80}{9} \Rightarrow x = \pm \dfrac{4\sqrt{5}}{3}$. Chiều rộng khả thi cho xe bám lọt qua: $W = 2 \cdot x = \dfrac{8\sqrt{5}}{3} \approx 5{,}96$ m.

Theo giả thiết: $|MA - MB| = 68$ (km). Điều này là không đổi nên điểm $M$ mô phỏng Hypebol nhận $A, B$ làm tiêu điểm. $2a = 68 \Rightarrow a = 34 \Rightarrow a^2 = 1156$. $2c = 100 \Rightarrow c = 50 \Rightarrow c^2 = 2500$. $b^2 = 2500 - 1156 = 1344$. Quỹ đạo vụ nổ Hypebol: $\dfrac{x^2}{1156} - \dfrac{y^2}{1344} = 1$ (với $x > 0$ do B nghe trước).

Gắn tâm $O$ tại eo hẹp. Hypebol lật ngược (đứng) hoặc ngang tùy chọn, ngang thì trục tung xoay: Hypebol biên $\dfrac{x^2}{a^2} - \dfrac{y^2}{b^2} = 1$. Eo $2a = 40 \Rightarrow a = 20 \Rightarrow a^2 = 400$. Ở độ cao $y = 60$, khoảng ngang miệng $x = 100/2 = 50 \Rightarrow M(50; 60)$ thuộc Hypebol. $\dfrac{50^2}{400} - \dfrac{60^2}{b^2} = 1 \Leftrightarrow 6{,}25 - 1 = \dfrac{3600}{b^2} \Rightarrow b^2 = \dfrac{4800}{7}$. Phương trình biên: $\dfrac{x^2}{400} - \dfrac{y^2}{\dfrac{4800}{7}} = 1$.

PTTT Parabol: $y^2 = 2px$. Bề rộng $20$, nên mép rọc là bề y lệch $10$. Độ sâu mặt $x = 10 \Rightarrow$ đi qua điểm $(10; 10)$. $10^2 = 2p \cdot 10 \Rightarrow 100 = 20p \Rightarrow p = 5$. Tiêu điểm $F(p/2; 0) = F(2{,}5; 0)$. Bóng đèn đặt cách đỉnh chóa $2{,}5$ cm.

Parabol úp trục hoành (vì đỉnh $O$, rơi xuống $y$ âm $\Rightarrow$ dạng $x^2 = -2py$). Rơi xa 400m, tại độ sâu mặt đất $y = -100$, độ dàn $x = 200$. Thay $M(200; -100)$ vào: $200^2 = -2p \cdot (-100) \Rightarrow 40000 = 200p \Rightarrow p = 200$. Cung pháo là Parabol: $x^2 = -400y$.