Bài 21: Đường tròn trong MP tọa độ

a) $a = 2, b = -3, c = -3 \implies a^2 + b^2 - c = 2^2 + (-3)^2 - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0$.

Đây là đường tròn tâm $I(2; -3)$, bán kính $R = \sqrt{16} = 4$.

b) $a = 1, b = -2, c = 10 \implies a^2 + b^2 - c = 1 + 4 - 10 = -5 < 0$. Đây không phải là phương trình đường tròn.

• $a = m, b = -2, c = 5$.

• Điều kiện: $a^2 + b^2 - c > 0 \iff m^2 + (-2)^2 - 5 > 0 \iff m^2 - 1 > 0 \iff m < -1$ hoặc $m > 1$.

• Tâm $I$ là trung điểm $AB$: $x_I = \frac{1+5}{2} = 3, y_I = \frac{3+(-1)}{2} = 1 \implies I(3; 1)$.

• Bán kính $R = \frac{AB}{2} = \frac{\sqrt{(5-1)^2 + (-1-3)^2}}{2} = \frac{\sqrt{16+16}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

• Phương trình đường tròn: $(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = (2\sqrt{2})^2 = 8$.

• Gọi PT đường tròn là $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$.

• Thay tọa độ 3 điểm $A, B, C$ vào ta có hệ 3 ẩn $a, b, c$:

$\begin{cases} 1 + 4 - 2a - 4b + c = 0 \\ 25 + 4 - 10a - 4b + c = 0 \\ 1 + 4 - 2a + 4b + c = 0 \end{cases} \iff \begin{cases} 2a + 4b - c = 5 \\ 10a + 4b - c = 29 \\ 2a - 4b - c = 5 \end{cases} \iff \begin{cases} a = 3 \\ b = 0 \\ c = 1 \end{cases}$.

• Vậy phương trình đường tròn là $x^2 + y^2 - 6x + 1 = 0$ hay $(x-3)^2 + y^2 = 8$.

• $(C)$ có tâm $I(2; -1)$. Điểm $M(5; 3) \in (C)$ vì $(5-2)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$.

• Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\vec{IM} = (5-2; 3-(-1)) = (3; 4)$.

• PTTT đi qua $M(5; 3)$ có VPT $\vec{n} = (3; 4)$:

$3(x - 5) + 4(y - 3) = 0 \iff 3x + 4y - 27 = 0$.

• Tiếp tuyến $\Delta \parallel d \implies \Delta$ có dạng $2x - y + c = 0$ ($c \ne 1$).

• Đường tròn $(C)$ có tâm $O(0;0)$, bán kính $R = \sqrt{5}$.

• $\Delta$ tiếp xúc với $(C) \iff d(O, \Delta) = R \iff \frac{|2(0) - 0 + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5} \iff \frac{|c|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \iff |c| = 5 \iff c = \pm 5$.

• Vậy có 2 tiếp tuyến: $2x - y + 5 = 0$ và $2x - y - 5 = 0$.