Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Phương trình có dạng chuẩn $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$. So sánh, ta có: $a = -1$, $b = 5 \Rightarrow$ Tâm $I(-1; 5)$. $R^2 = 25 \Rightarrow$ Bán kính $R = \sqrt{25} = 5$.

Hệ số của $x$ là $-4 \Rightarrow a = \dfrac{-4}{-2} = 2$. Hệ số của $y$ là $6 \Rightarrow b = \dfrac{6}{-2} = -3$. Hệ số tự do $c = -3$.

Kiểm tra điều kiện: $a^2 + b^2 - c = 2^2 + (-3)^2 - (-3) = 4 + 9 + 3 = 16 > 0$. Vậy đây là phương trình đường tròn.

• Tâm $I(2; -3)$.
• Bán kính $R = \sqrt{16} = 4$.

Chia cả hai vế của phương trình cho $2$, ta được: $x^2 + y^2 + 4x - 2y - 4 = 0$ Xác định $a, b, c$: $a = \dfrac{4}{-2} = -2$; $b = \dfrac{-2}{-2} = 1$; $c = -4$. Kiểm tra: $a^2 + b^2 - c = (-2)^2 + 1^2 - (-4) = 4 + 1 + 4 = 9 > 0$. Đây là đường tròn. Tâm $I(-2; 1)$, bán kính $R = \sqrt{9} = 3$.

• Phương trình (1): Hệ số của $x^2$ là $1$, hệ số của $y^2$ là $2$ ($1 \neq 2$). Vậy đây không phải là phương trình đường tròn (thực chất nó là Elip, ta sẽ tìm hiểu ở Chương sau).
• Phương trình (2): $a = \dfrac{2}{-2} = -1$; $b = \dfrac{-6}{-2} = 3$; $c = 15$. Kiểm tra: $a^2 + b^2 - c = (-1)^2 + 3^2 - 15 = 1 + 9 - 15 = -5 < 0$. Điều kiện đường tròn không thỏa mãn. Vậy (2) không phải là phương trình đường tròn.

Xác định $a, b, c$: $a = m$ $b = -2(m - 1) = -2m + 2$ $c = 6m - 1$

Điều kiện để phương trình là đường tròn là $a^2 + b^2 - c > 0$: $m^2 + (-2m + 2)^2 - (6m - 1) > 0$ $\Leftrightarrow m^2 + 4m^2 - 8m + 4 - 6m + 1 > 0$ $\Leftrightarrow 5m^2 - 14m + 5 > 0$

Xét phương trình $5m^2 - 14m + 5 = 0$ có nghiệm $m = \dfrac{7 \pm 2\sqrt{6}}{5}$. Vì hệ số $a = 5 > 0$, bất phương trình lớn hơn $0$ khi $m$ nằm ngoài khoảng 2 nghiệm: $m < \frac{7 - 2\sqrt{6}}{5} \quad \text{hoặc} \quad m > \frac{7 + 2\sqrt{6}}{5}$ Đây chính là giá trị cần tìm của $m$.

Bán kính của đường tròn là đoạn $IM$: $R = IM = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (-1 - 3)^2} = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Đường tròn có tâm $I(-2; 3)$ và $R = 5$ có phương trình là: $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 25$

Tâm $I$ của đường tròn là trung điểm đoạn $AB$: $x_I = \dfrac{3 + (-1)}{2} = 1$; $y_I = \dfrac{1 + 5}{2} = 3 \Rightarrow I(1; 3)$.

Bán kính $R = \dfrac{AB}{2} = \dfrac{\sqrt{(-1 - 3)^2 + (5 - 1)^2}}{2} = \dfrac{\sqrt{16 + 16}}{2} = \dfrac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn: $(x - 1)^2 + (y - 3)^2 = (2\sqrt{2})^2 \Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 3)^2 = 8$

Gọi phương trình $(C)$ dạng tổng quát là $x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0$. Thay tọa độ $A, B, C$ vào phương trình, ta có hệ 3 ẩn: $A(1; 2): \quad 1^2 + 2^2 - 2a(1) - 2b(2) + c = 0 \Leftrightarrow -2a - 4b + c = -5$ (1) $B(5; 2): \quad 5^2 + 2^2 - 2a(5) - 2b(2) + c = 0 \Leftrightarrow -10a - 4b + c = -29$ (2) $C(1; -3): \quad 1^2 + (-3)^2 - 2a(1) - 2b(-3) + c = 0 \Leftrightarrow -2a + 6b + c = -10$ (3)

Trừ (1) cho (2): $8a = 24 \Rightarrow a = 3$. Trừ (3) cho (1): $10b = -5 \Rightarrow b = -\dfrac{1}{2}$. Thay $a, b$ vào (1): $-2(3) - 4\left(-\dfrac{1}{2}\right) + c = -5 \Leftrightarrow -6 + 2 + c = -5 \Rightarrow c = -1$.

Vậy phương trình $(C)$ là: $x^2 + y^2 - 6x + y - 1 = 0$.

Trước tiên, tìm tâm $I$ của $(C)$: $a = \dfrac{-4}{-2} = 2$, $b = \dfrac{6}{-2} = -3 \Rightarrow I(2; -3)$. Kiểm tra xem $M(5; 1)$ có thuộc $(C)$ không: $5^2 + 1^2 - 4(5) + 6(1) - 12 = 25 + 1 - 20 + 6 - 12 = 0$. Đúng! Điểm $M$ thuộc đường tròn.

Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến là $\overrightarrow{IM} = (5 - 2; 1 - (-3)) = (3; 4)$. Phương trình tiếp tuyến tại $M(5; 1)$ nhận $\vec{n} = (3; 4)$ làm VTPT là: $3(x - 5) + 4(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 19 = 0$

Vì $\Delta \parallel d$ nên phương trình $\Delta$ có dạng $2x - y + c = 0$ (với $c \neq 1$). $\Delta$ là tiếp tuyến của $(C) \Leftrightarrow$ khoảng cách từ tâm $I$ đến $\Delta$ bằng bán kính $R$. $d(I, \Delta) = R \Leftrightarrow \frac{|2(-1) - 2 + c|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \sqrt{5}$ $\Leftrightarrow \frac{|-4 + c|}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} \Leftrightarrow |-4 + c| = 5$ Giải ra ta được: $\begin{bmatrix} c - 4 = 5 \\ c - 4 = -5 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} c = 9 \\ c = -1 \end{bmatrix}$ Cả hai giá trị đều khác $1$ nên nhận. Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn: $\Delta_1: 2x - y + 9 = 0$ và $\Delta_2: 2x - y - 1 = 0$.

Quỹ đạo tròn là 1 đường tròn có tâm là tâm đu quay $I(0; 20)$ và bán kính là độ dài cabin so với tâm $R = 15$. Phương trình chính tắc của quỹ đạo khách chuyển động: $(x - 0)^2 + (y - 20)^2 = 15^2$ $\Leftrightarrow x^2 + (y - 20)^2 = 225$ Đây chính là tập hợp các điểm để hành khách chụp ảnh đẹp mắt nhất từ độ cao.

Vùng phủ sóng của WiFi là hình tròn tâm $O$ bán kính $R = 5$. Để khu dân cư bắt được sóng, thì đường thẳng $\Delta$ phải cắt hoặc điểm gần nhất của nó phải tiếp xúc với phạm vi bao phủ sóng. Tức là khoảng cách từ tâm $O$ đến $\Delta$ phải bé hơn hoặc bằng bán kính. Khoảng cách: $d(O, \Delta) = \dfrac{|3(0) - 4(0) + 30|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \dfrac{30}{5} = 6$ (km). Vì $d(O, \Delta) = 6 > R = 5$ nên toàn bộ đường khu dân cư nằm ngoài vùng sóng WiFi bao phủ. Vậy mạng không thể bắt tới tòa nhà này.

Đường tròn tập kết tâm $I(2; -3)$, $R = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 12} = 5$. Tọa độ trạm quan sát là giao điểm của đường thẳng và đường tròn, tức là nghiệm hệ phương trình: $\begin{cases} x + y + 2 = 0 \\ x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \end{cases}$ Từ PT(1) $\Rightarrow y = -x - 2$. Trút vào PT(2): $x^2 + (-x - 2)^2 - 4x + 6(-x - 2) - 12 = 0$ $\Leftrightarrow x^2 + x^2 + 4x + 4 - 4x - 6x - 12 - 12 = 0$ $\Leftrightarrow 2x^2 - 6x - 20 = 0 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 10 = 0$ Giải ra ta được $x = 5$ hoặc $x = -2$.

• Với $x = 5 \Rightarrow y = -7$. Điểm thứ nhất $M_1(5; -7)$.
• Với $x = -2 \Rightarrow y = 0$. Điểm thứ hai $M_2(-2; 0)$.

Vậy hai vị trí gặp ranh giới trung gian là $(5; -7)$ và $(-2; 0)$.

Vùng tâm bão có dạng $(C)$ tâm $I(4; 2)$, bán kính $R = \sqrt{10}$. Hệ thống radar ở $M(0; -10)$ phát tia tiếp tuyến $\Delta$ quét qua. Đường thẳng quét $\Delta$ đi qua $M(0; -10)$ nên có phương trình $\Delta: A(x - 0) + B(y + 10) = 0 \Leftrightarrow Ax + By + 10B = 0$ (với $A^2 + B^2 > 0$). Vì tia tín hiệu quét an toàn chỉ vừa chạm vùng bão nên là tiếp tuyến, khoảng cách từ $I(4; 2)$ đến $\Delta$ bằng $R$: $d(I, \Delta) = \sqrt{10} \Leftrightarrow \frac{|A(4) + B(2) + 10B|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \sqrt{10} \Leftrightarrow |4A + 12B| = \sqrt{10(A^2 + B^2)}$ Bình phương hai vế: $16A^2 + 96AB + 144B^2 = 10A^2 + 10B^2$ $\Leftrightarrow 6A^2 + 96AB + 134B^2 = 0 \Leftrightarrow 3A^2 + 48AB + 67B^2 = 0$. Chọn $B = 1$, ta có phương trình bậc hai $3A^2 + 48A + 67 = 0$. $\Delta' = 24^2 - 3 \cdot 67 = 576 - 201 = 375 \Rightarrow \sqrt{\Delta'} = 5\sqrt{15}$. $A_1 = \dfrac{-24 + 5\sqrt{15}}{3}$, $A_2 = \dfrac{-24 - 5\sqrt{15}}{3}$. Trường hợp này số xấu nhưng vật lý và tính toán thực vẫn dùng, từ đó xác lập 2 góc chắn quét radar thực chiến.

Trọng tâm hoạt động là $I(1; 1)$, nên quỹ đạo xoay là đường tròn có tâm là $I$. Vì vệ tinh sượt qua giới tuyến (mặt đường thẳng cắt) tại vị trí tiếp xúc nên đường giới hạn đó đóng vai trò là một tiếp tuyến của quỹ đạo quay. Bán kính quỹ đạo quay chính là khoảng cách từ $I(1; 1)$ đến đường thẳng sượt là tiếp tuyến định tính $\Delta$: $R = d(I, \Delta) = \frac{|1 + 2(1) - 5|}{\sqrt{1^2 + 2^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$ Phương trình quỹ đạo quay của vệ tinh mô phỏng là: $(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{5}}\right)^2$ $\Leftrightarrow (x - 1)^2 + (y - 1)^2 = \frac{4}{5}$ Đây là quỹ đạo tròn tối ưu mà đội ngũ máy bay, hệ viễn thám thực hiện định vị.