Bài 20: Vị trí tương đối, Góc & Khoảng cách

• Xét tỉ số hệ số: $\frac{2}{1} \ne \frac{-1}{3} \implies \Delta_1$ cắt $\Delta_2$.

• Giao điểm là nghiệm hệ: $\begin{cases} 2x - y = -3 \\ x + 3y = 2 \end{cases} \iff \begin{cases} x = -1 \\ y = 1 \end{cases}$.

• Vậy $\Delta_1$ và $\Delta_2$ cắt nhau tại điểm $I(-1; 1)$.

• Điều kiện $d_1 \parallel d_2 \iff \frac{m}{m-1} = \frac{2}{1} \ne \frac{-1}{3}$.

• Solve $\frac{m}{m-1} = 2 \iff m = 2(m-1) \iff m = 2m - 2 \iff m = 2$.

Thử lại $m = 2$: $\frac{2}{1} = \frac{2}{1} \ne -1/3$ (Thỏa mãn). Vậy $m = 2$.

• $\vec{n}_1 = (1; -2), \vec{n}_2 = (3; -1)$.

• $\cos \varphi = \frac{|1(3) + (-2)(-1)|}{\sqrt{1^2+(-2)^2}\sqrt{3^2+(-1)^2}} = \frac{|3 + 2|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

• Do đó góc giữa hai đường thẳng là $\varphi = 45^\circ$.

• $\Delta_1 \perp \Delta_2 \iff a_1 a_2 + b_1 b_2 = 0 \iff 2(m) + (-3)(4) = 0 \iff 2m - 12 = 0 \iff m = 6$.

• Áp dụng công thức khoảng cách:

$d(A, \Delta) = \frac{|3(2) - 4(-1) + 5|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|6 + 4 + 5|}{5} = \frac{15}{5} = 3$.

• Lấy 1 điểm $M(1; 1) \in \Delta_1$ (vì $3(1)-4(1)+1 = 0$).

• Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là $d(\Delta_1, \Delta_2) = d(M, \Delta_2) = \frac{|3(1) - 4(1) + 11|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} = \frac{|10|}{5} = 2$.