Bài 20: Vị trí tương đối, góc và khoảng cách

Tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$ là nghiệm của hệ phương trình: $\begin{cases} x - 2y + 1 = 0 \\ 3x + y - 4 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x - 2y = -1 \\ 3x + y = 4 \end{cases}$ Giải hệ ta được: $x = 1, y = 1$. Vậy $d_1$ cắt $d_2$ tại điểm có tọa độ $M(1; 1)$.

Cách kiểm tra nhanh: $\dfrac{1}{3} \neq \dfrac{-2}{1}$ nên hai đường thẳng cắt nhau.

Xét hệ phương trình: $\begin{cases} 2x - 3y + 5 = 0 \\ -4x + 6y - 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 2x - 3y = -5 \\ -4x + 6y = 1 \end{cases}$ Nhân phương trình trên với $2$ ta được $4x - 6y = -10$, cộng vào phương trình dưới ta được $0x + 0y = -9$ (vô lý). Hệ vô nghiệm. Vậy $d_1$ song song với $d_2$.

Cách kiểm tra nhanh: $\dfrac{2}{-4} = \dfrac{-3}{6} \neq \dfrac{5}{-1}$ nên hai đường thẳng song song.

Thay $x = 2 - 2t$ và $y = 1 + t$ từ $d_2$ vào phương trình của $d_1$: $(2 - 2t) + 2(1 + t) - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 2 - 2t + 2 + 2t - 4 = 0$ $\Leftrightarrow 0t = 0$ (luôn đúng với mọi $t \in \mathbb{R}$). Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm. Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ trùng nhau.

Hai đường thẳng cắt nhau khi và chỉ khi hệ phương trình $\begin{cases} mx + y = 2 \\ x + my = -1 \end{cases}$ có nghiệm duy nhất. Tức là định thức của hệ $D \neq 0$: $D = m \cdot m - 1 \cdot 1 = m^2 - 1 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq \pm 1$ Vậy với $m \neq 1$ và $m \neq -1$ thì $d_1$ cắt $d_2$.

Xét tỉ số: Nếu $m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1$, $\Delta_1: x - 2 = 0$, cắt $\Delta_2: 2x + y - 1 = 0$ vì $\dfrac{1}{2} \neq \dfrac{0}{1}$.

Nếu $m \neq 1$: Xét tỉ số $\dfrac{m}{2}$ và $\dfrac{m-1}{1}$.

• Cắt nhau khi $\dfrac{m}{2} \neq \dfrac{m-1}{1} \Leftrightarrow m \neq 2m - 2 \Leftrightarrow m \neq 2$. (Kết hợp với $m = 1$, ta có $\Delta_1$ cắt $\Delta_2$ khi $m \neq 2$)
• Song song khi $\dfrac{m}{2} = \dfrac{m-1}{1} \neq \dfrac{-2}{-1} \Leftrightarrow m = 2$ và $m \neq 4$ (luôn đúng thỏa $2 \neq 4$). Vậy với $m = 2$ thì $\Delta_1 \parallel \Delta_2$.
• Không có giá trị nào của $m$ để $\Delta_1 \equiv \Delta_2$ vì điều kiện trùng là $m = 2$ và $\dfrac{-2}{-1} = \dfrac{m}{2} = 1$ (sai).

Kết luận:

• $m \neq 2$: hai đường thẳng cắt nhau.
• $m = 2$: hai đường thẳng song song.

$\Delta_1$ có VTPT $\vec{n_1} = (\sqrt{3}; -1)$. $\Delta_2$ có VTPT $\vec{n_2} = (1; -\sqrt{3})$.

Gọi $\varphi$ là góc giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$: $\cos \varphi = \frac{|\sqrt{3} \cdot 1 + (-1)(-\sqrt{3})|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + (-\sqrt{3})^2}} = \frac{|2\sqrt{3}|}{\sqrt{4} \cdot \sqrt{4}} = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ Suy ra $\varphi = 30^\circ$.

$d_1$ có VTPT $\vec{n_1} = (1; 2)$. $d_2$ có VTCP $\vec{u_2} = (-1; 3) \Rightarrow d_2$ có VTPT $\vec{n_2} = (3; 1)$.

$\cos(d_1, d_2) = \frac{|1 \cdot 3 + 2 \cdot 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2} \cdot \sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ Suy ra góc giữa hai đường thẳng là $45^\circ$.

$\Delta_1$ có VTPT $\vec{n_1} = (2; -5)$. $\Delta_2$ có VTPT $\vec{n_2} = (5; 2)$.

Xét tích vô hướng: $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 2 \cdot 5 + (-5) \cdot 2 = 10 - 10 = 0$. Do $\vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 0 \Leftrightarrow \Delta_1 \perp \Delta_2$. Góc giữa chúng bằng $90^\circ$.

$\vec{n_1} = (1; 1)$; $\vec{n_2} = (m; -1)$. $\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2} \Rightarrow \dfrac{|1 \cdot m + 1 \cdot (-1)|}{\sqrt{1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{m^2 + (-1)^2}} = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow \dfrac{|m - 1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{m^2 + 1}} = \dfrac{1}{2}$ $\Leftrightarrow 2|m - 1| = \sqrt{2m^2 + 2}$ Bình phương hai vế: $4(m^2 - 2m + 1) = 2m^2 + 2$ $\Leftrightarrow 4m^2 - 8m + 4 = 2m^2 + 2$ $\Leftrightarrow 2m^2 - 8m + 2 = 0 \Leftrightarrow m^2 - 4m + 1 = 0$ $\Leftrightarrow m = 2 \pm \sqrt{3}$. Vậy $m = 2 + \sqrt{3}$ hoặc $m = 2 - \sqrt{3}$.

Gọi VTPT của $d$ là $\vec{n} = (A; B)$ (điều kiện $A^2 + B^2 > 0$). $\Delta$ có VTPT $\vec{n_\Delta} = (2; -1)$. Góc bằng $45^\circ$: $\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Rightarrow \dfrac{|2A - B|}{\sqrt{A^2 + B^2} \cdot \sqrt{4 + 1}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ $\Leftrightarrow 2|2A - B| = \sqrt{10(A^2 + B^2)}$ Bình phương hai vế: $4(4A^2 - 4AB + B^2) = 10A^2 + 10B^2$ $\Leftrightarrow 16A^2 - 16AB + 4B^2 = 10A^2 + 10B^2$ $\Leftrightarrow 6A^2 - 16AB - 6B^2 = 0 \Leftrightarrow 3A^2 - 8AB - 3B^2 = 0$

Trường hợp 1: Chọn $B = 1 \Rightarrow 3A^2 - 8A - 3 = 0 \Rightarrow A = 3$ hoặc $A = -\dfrac{1}{3}$.

• Với $A = 3 \Rightarrow \vec{n} = (3; 1)$. Phương trình $d: 3(x - 1) + 1(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + y - 5 = 0$.
• Với $A = -\dfrac{1}{3} \Rightarrow \vec{n} = (-1; 3)$. Phương trình $d: -1(x - 1) + 3(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x - 3y + 5 = 0$.

Trường hợp 2: Nếu $B = 0 \Rightarrow 3A^2 = 0 \Rightarrow A = 0$ (loại vì $A, B$ không đồng thời bằng $0$).

Vậy có 2 đường thẳng thỏa mãn: $3x + y - 5 = 0$ và $x - 3y + 5 = 0$.

Áp dụng công thức, ta có: $d(M, \Delta) = \frac{|3(-2) - 4(1) + 2|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|-6 - 4 + 2|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{|-8|}{5} = \frac{8}{5} = 1{,}6$ Vậy khoảng cách từ M đến $\Delta$ là $1{,}6$.

Đường cao $AH$ của tam giác chính là khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $BC$. $AH = d(A, BC) = \frac{|4(1) + 3(2) - 1|}{\sqrt{4^2 + 3^2}} = \frac{|4 + 6 - 1|}{5} = \frac{9}{5}$ Diện tích tam giác $ABC$ là: $S_{ABC} = \frac{1}{2} BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot \frac{9}{5} = \frac{9}{2}$

Đầu tiên tính khoảng cách từ $A(1; 3)$ đến $d$: $d(A, d) = \frac{|1 - 2(3) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}}$

Vì $M \in Oy \Rightarrow M(0; y_M)$. Khoảng cách từ $M$ đến $d$: $d(M, d) = \dfrac{|0 - 2y_M + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{|1 - 2y_M|}{\sqrt{5}}$.

Theo đề: $d(M, d) = d(A, d) \Leftrightarrow \dfrac{|1 - 2y_M|}{\sqrt{5}} = \dfrac{4}{\sqrt{5}} \Leftrightarrow |1 - 2y_M| = 4$ $\Leftrightarrow \begin{bmatrix} 1 - 2y_M = 4 \\ 1 - 2y_M = -4 \end{bmatrix} \Leftrightarrow \begin{bmatrix} y_M = -\dfrac{3}{2} \\ y_M = \dfrac{5}{2} \end{bmatrix}$

Vậy có 2 điểm $M$ thỏa mãn: $M_1\left(0; -\dfrac{3}{2}\right)$ và $M_2\left(0; \dfrac{5}{2}\right)$.

Lấy điểm $M$ bất kỳ trên $\Delta_1$: Chọn $y = 1 \Rightarrow 3x + 4 - 10 = 0 \Rightarrow x = 2 \Rightarrow M(2; 1) \in \Delta_1$. Khoảng cách giữa $\Delta_1$ và $\Delta_2$ chính là khoảng cách từ $M \in \Delta_1$ đến $\Delta_2$: $d(\Delta_1, \Delta_2) = d(M, \Delta_2) = \frac{|6(2) + 8(1) - 5|}{\sqrt{6^2 + 8^2}} = \frac{|12 + 8 - 5|}{\sqrt{100}} = \frac{15}{10} = \frac{3}{2}$

Gọi trạm bơm là $T \in d \Rightarrow T(t; 10 - t)$. Chi phí kéo nối ống từ $T$ tới đường ống chính $\Delta$ thấp nhất khi khoảng cách cự li $d(T, \Delta)$ đạt giá trị nhỏ nhất. $d(T, \Delta) = \frac{|3t - 4(10 - t) + 120|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{|3t - 40 + 4t + 120|}{5} = \frac{|7t + 80|}{5}$ Để khoảng cách này nhỏ nhất trên thực tế thì ta phải kiểm tra xem đường cáp kéo thẳng góc từ đâu. Tuy nhiên, trạm bơm di động trên d, giá trị nhỏ nhất của $|7t + 80|$ xảy ra khi biểu thức bằng $0$, tức là đường ống dân sinh cắt ranh qua đường ống chính. Tại chỗ đó $H$ khoảng cách là $0$. $7t + 80 = 0 \Rightarrow t = -\dfrac{80}{7}$. Tọa độ $T\left(-\dfrac{80}{7}; \dfrac{150}{7}\right)$. (Tại đây $T$ vừa nằm trên đường dân sinh vừa nằm trên đường trục dẫn dầu, chi phí kéo ống rẽ nhánh bằng 0!).