Bài 19: Phương trình đường thẳng

I. Lý thuyết trọng tâm

1. Vectơ chỉ phương & Vectơ pháp tuyến

📌 Định nghĩa VCP và VPT

• Vectơ chỉ phương (VCP): Vectơ $\vec{u} \ne \vec{0}$ có giá song song hoặc trùng với đường thẳng $\Delta$. Kí hiệu $\vec{u} = (u_1; u_2)$.

• Vectơ pháp tuyến (VPT): Vectơ $\vec{n} \ne \vec{0}$ có giá vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Kí hiệu $\vec{n} = (a; b)$.

• Mối liên hệ: Nếu đường thẳng có VPT $\vec{n} = (a; b)$ thì có VCP là $\vec{u} = (-b; a)$ hoặc $(b; -a)$ vì $\vec{n} \cdot \vec{u} = 0$.

2. Phương trình tham số

⚡ Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (u_1; u_2)$ có phương trình tham số:

$\begin{cases} x = x_0 + u_1 t \\ y = y_0 + u_2 t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$

Ứng với mỗi giá trị $t \in \mathbb{R}$ cho ta tọa độ một điểm $M(x; y)$ nằm trên $\Delta$.

3. Phương trình tổng quát

⚡ Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M_0(x_0; y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $\vec{n} = (a; b)$ có phương trình:

$a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \iff ax + by + c = 0 \quad (a^2 + b^2 \ne 0)$

trong đó $c = -a x_0 - b y_0$.

• Phương trình đường thẳng theo đoạn chắn: Đường thẳng cắt $Ox$ tại $A(a; 0)$ và cắt $Oy$ tại $B(0; b)$ ($a, b \ne 0$) có phương trình: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$.

🔷 Dạng 1: Viết PT đường thẳng khi biết VCP / VPT

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 1)

Lập phương trình tổng quát và phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(1; 2)$ và có VPT $\vec{n} = (3; -2)$.

💡 Xem lời giải

• PT tổng quát: $3(x - 1) - 2(y - 2) = 0 \iff 3x - 2y + 1 = 0$.

• VPT $\vec{n} = (3; -2) \implies$ VCP $\vec{u} = (2; 3)$.

• PT tham số: $\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 2 + 3t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.

📝 Thực hành — Dạng 1

✏️ Bài tập 1.1

Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua $M(-2; 3)$ và song song với đường thẳng $\Delta: 2x - y + 5 = 0$.

💡 Xem lời giải

• Đường thẳng $\Delta$ có VPT $\vec{n} = (2; -1) \implies$ VCP $\vec{u} = (1; 2)$.

• Vì $d \parallel \Delta$ nên $d$ cũng nhận $\vec{u} = (1; 2)$ làm VCP.

• PT tham số của $d$: $\begin{cases} x = -2 + t \\ y = 3 + 2t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.

🔷 Dạng 2: PT đường thẳng qua 2 điểm, đường cao, trung tuyến

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 2)

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 3), B(2; 1), C(-1; 4)$. Viết phương trình tổng quát của đường cao $AH$ kẻ từ $A$.

💡 Xem lời giải

• Đường cao $AH \perp BC$ nên $AH$ nhận $\vec{BC}$ làm vectơ pháp tuyến.

• $\vec{BC} = (-1 - 2; 4 - 1) = (-3; 3) = 3(-1; 1)$. Chọn VPT $\vec{n} = (-1; 1)$.

• Đường thẳng $AH$ đi qua $A(1; 3)$ có VPT $\vec{n} = (-1; 1)$ nên có PT:

$-1(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \iff -x + y - 2 = 0 \iff x - y + 2 = 0$.

📝 Thực hành — Dạng 2

✏️ Bài tập 2.1

Viết phương trình đường trung tuyến $AM$ của tam giác $ABC$ với $A(2; -1), B(0; 3), C(4; 1)$.

💡 Xem lời giải

• Tọa độ trung điểm $M$ của $BC$: $x_M = \frac{0+4}{2} = 2, y_M = \frac{3+1}{2} = 2 \implies M(2; 2)$.

• Vectơ chỉ phương $\vec{AM} = (2-2; 2 - (-1)) = (0; 3)$. Đường thẳng đứng song song $Oy$.

• Phương trình tổng quát đường thẳng $AM$ đi qua $A(2; -1)$ có PTTQ là $x - 2 = 0$.

🔷 Dạng 3: Chuyển đổi giữa PT tham số và PT tổng quát

🔍 Ví dụ minh họa (Dạng 3)

Chuyển phương trình tham số $d: \begin{cases} x = 2 - 3t \\ y = 1 + 4t \end{cases}$ sang phương trình tổng quát.

💡 Xem lời giải

• Cách 1 (Khử t): $4x = 8 - 12t$ và $3y = 3 + 12t \implies 4x + 3y = 11 \iff 4x + 3y - 11 = 0$.

• Cách 2 (Qua VCP): $d$ qua $M(2; 1)$ có VCP $\vec{u} = (-3; 4) \implies$ VPT $\vec{n} = (4; 3)$.

PTTQ: $4(x - 2) + 3(y - 1) = 0 \iff 4x + 3y - 11 = 0$.

📝 Thực hành — Dạng 3

✏️ Bài tập 3.1

Chuyển phương trình tổng quát $\Delta: x - 2y + 4 = 0$ sang phương trình tham số.

💡 Xem lời giải

• Lấy 1 điểm thuộc $\Delta$: cho $y = 0 \implies x = -4 \implies M(-4; 0) \in \Delta$.

• VPT $\vec{n} = (1; -2) \implies$ VCP $\vec{u} = (2; 1)$.

• Phương trình tham số: $\begin{cases} x = -4 + 2t \\ y = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R})$.

📝 Bài tập tự luận — Tổng hợp

📝 Bài tập tự luận Phương trình đường thẳng

Bài 1. Cho tam giác $ABC$ có $A(2; 1), B(-1; 0), C(3; 4)$.

a) Viết phương trình các đường thẳng chứa các cạnh $AB, BC, CA$.

b) Viết phương trình đường trung trực của cạnh $BC$.

💡 Xem lời giải

a) • $AB$: $\vec{AB} = (-3; -1) \implies \vec{n}_{AB} = (1; -3)$. PTTQ: $1(x-2) - 3(y-1) = 0 \iff x - 3y + 1 = 0$.

• $BC$: $\vec{BC} = (4; 4) = 4(1; 1) \implies \vec{n}_{BC} = (1; -1)$. PTTQ: $1(x+1) - 1(y-0) = 0 \iff x - y + 1 = 0$.

• $CA$: $\vec{CA} = (-1; -3) \implies \vec{n}_{CA} = (3; -1)$. PTTQ: $3(x-3) - 1(y-4) = 0 \iff 3x - y - 5 = 0$.

b) Trung điểm $M$ của $BC$ là $M(1; 2)$. Đường trung trực $d \perp BC$ nên nhận $\vec{BC} = (1; 1)$ làm VPT.

PTTQ đường trung trực: $1(x-1) + 1(y-2) = 0 \iff x + y - 3 = 0$.

🎯 Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Làm các câu hỏi sau để củng cố toàn bộ kiến thức về Phương trình đường thẳng. Hệ thống sẽ hiển thị kết quả và lời giải chi tiết ngay khi bạn trả lời.

🎯

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Phương trình đường thẳng

Hàng trăm câu hỏi ngẫu nhiên từ ngân hàng đề — kiểm tra và tự đánh giá năng lực ngay!

🚀 Làm bài trắc nghiệm →

Miễn phí · Mở trong tab mới