Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

a) Tam thức $x^2 - 5x + 6$ có $a = 1 > 0$ và 2 nghiệm $x = 2, x = 3$.

Áp dụng "Trong trái, ngoài cùng": $x^2 - 5x + 6 > 0 \iff x < 2$ hoặc $x > 3$. Tập nghiệm $S = (-\infty; 2) \cup (3; +\infty)$.

b) Tam thức $-x^2 + 4x - 4 = -(x-2)^2$ có $a = -1 < 0$ và nghiệm kép $x = 2$.

Vì $-(x-2)^2 \le 0$ đúng với mọi $x \in \mathbb{R}$ nên tập nghiệm $S = \mathbb{R}$.

• Tam thức $-2x^2 + 3x + 5 = 0 \iff x = -1$ hoặc $x = \frac{5}{2}$.

• Hệ số $a = -2 < 0$. BPT lấy dấu $\ge 0$ (nghĩa là trái dấu với $a$ hoặc bằng 0).

• Áp dụng quy tắc "Trong trái": $-1 \le x \le \frac{5}{2}$. Tập nghiệm $S = \left[-1; \frac{5}{2}\right]$.

• Yêu cầu bài toán $f(x) > 0, \forall x \in \mathbb{R} \iff \begin{cases} a > 0 \\ \Delta' < 0 \end{cases}$

• $a = 1 > 0$ (Đúng với mọi $m$).

• $\Delta' = (-m)^2 - 1(4) = m^2 - 4 < 0 \iff -2 < m < 2$.

• Vậy với $m \in (-2; 2)$ thì tam thức luôn dương trên $\mathbb{R}$.

• Phương trình có 2 nghiệm phân biệt $\iff \Delta' > 0$.

• $\Delta' = (m+1)^2 - (m^2 + 3) = m^2 + 2m + 1 - m^2 - 3 = 2m - 2 > 0 \iff m > 1$.

• Yêu cầu $y > 16 \iff -x^2 + 10x > 16 \iff -x^2 + 10x - 16 > 0$.

• Tam thức $-x^2 + 10x - 16 = 0$ có 2 nghiệm $x = 2$ và $x = 8$. Hệ số $a = -1 < 0$.

• Do đó $-x^2 + 10x - 16 > 0 \iff 2 < x < 8$.

• Vậy khi khoảng cách $x$ nằm trong khoảng từ $2$m đến $8$m thì vật đạt độ cao trên $16$m.

• Có lãi $\iff R(x) > C(x) \iff 70x > x^2 + 10x + 500 \iff -x^2 + 60x - 500 > 0$.

• Nghiệm của phương trình $-x^2 + 60x - 500 = 0$ là $x = 10$ và $x = 50$.

• Giải BPT: $10 < x < 50$.

• Vậy công ty cần sản xuất từ $11$ đến $49$ linh kiện để có lãi (ít nhất 11 linh kiện).