Bài 16: Hàm số bậc hai

• Hệ số $a = 1 > 0, b = -4, c = 3$.

• Hoành độ đỉnh: $x_I = -\frac{-4}{2(1)} = 2$. Tung độ đỉnh: $y_I = 2^2 - 4(2) + 3 = -1$. Vậy đỉnh $I(2; -1)$.

• Trục đối xứng: đường thẳng $x = 2$.

• Vì $a = 1 > 0$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty; 2)$ và đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$.

• $a = -2 < 0 \implies$ Hàm số đạt GTLN tại đỉnh.

• Hoành độ đỉnh $x = -\frac{4}{2(-2)} = 1$.

• GTLN của hàm số là $y(1) = -2(1)^2 + 4(1) + 1 = 3$.

• $(P)$ qua $A(1; 5) \implies a(1)^2 + b(1) + 2 = 5 \iff a + b = 3$.

• Trục đối xứng $x = 2 \implies -\frac{b}{2a} = 2 \iff b = -4a$.

• Thay $b = -4a$ vào $a + b = 3$: $a - 4a = 3 \iff -3a = 3 \iff a = -1 \implies b = 4$.

• Vậy phương trình parabol là $y = -x^2 + 4x + 2$.

• Cắt $Oy$ tại $(0; 3) \implies c = 3$.

• Đỉnh $I(1; 4): -\frac{b}{2a} = 1 \implies b = -2a$.

• Tung độ đỉnh $a(1)^2 + b(1) + 3 = 4 \iff a + b = 1 \iff a - 2a = 1 \iff a = -1 \implies b = 2$.

• Vậy $y = -x^2 + 2x + 3$.

• Hàm số $h(t) = -5t^2 + 10t + 0,5$ có $a = -5 < 0$ nên đạt giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol.

• Thời gian bóng đạt độ cao tối đa là $t = -\frac{10}{2(-5)} = 1$ giây.

• Độ cao tối đa của quả bóng là $h(1) = -5(1)^2 + 10(1) + 0,5 = 5,5$ mét.

• Hai chân cổng ứng với $y = 0 \iff -x^2 + 6x = 0 \iff x = 0$ hoặc $x = 6$.

• Chiều cao của cổng chính là tung độ đỉnh của parabol tại $x = 3$.

• Chiều cao $y(3) = -(3)^2 + 6(3) = 9$ mét.