Bài 15: Hàm số và đồ thị

a) Biểu thức $\frac{2x+1}{x-3}$ xác định $\iff x - 3 \ne 0 \iff x \ne 3$. Tập xác định $D = \mathbb{R} \setminus \{3\}$.

b) Biểu thức $\sqrt{2x-4}$ xác định $\iff 2x - 4 \ge 0 \iff x \ge 2$. Tập xác định $D = [2; +\infty)$.

Hàm số xác định khi và chỉ khi: $\begin{cases} x + 1 \ge 0 \\ x^2 - 4 \ne 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \ge -1 \\ x \ne \pm 2 \end{cases}$.

Vì $x \ge -1$ nên điều kiện $x \ne -2$ luôn đúng. Do đó $x \ge -1$ và $x \ne 2$.

Tập xác định $D = [-1; +\infty) \setminus \{2\}$.

a) • Vì $2 \ge 1$ nên dùng công thức nhánh 1: $f(2) = 2(2) + 1 = 5$.

• Vì $-1 < 1$ nên dùng công thức nhánh 2: $f(-1) = (-1)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$.

b) Vì $f(2) = 5$ nên điểm $M(2; 5)$ thuộc đồ thị hàm số.

• Thay $x = 2, y = 7$ vào phương trình hàm số:

$7 = (m-1)(2) + 3 \iff 2m - 2 + 3 = 7 \iff 2m + 1 = 7 \iff m = 3$.

• Lấy 2 số $x_1, x_2 \in \mathbb{R}$ tùy ý sao cho $x_1 < x_2$.

• Xét hiệu $f(x_1) - f(x_2) = (3x_1 - 5) - (3x_2 - 5) = 3(x_1 - x_2)$.

• Do $x_1 < x_2 \implies x_1 - x_2 < 0 \implies 3(x_1 - x_2) < 0 \implies f(x_1) < f(x_2)$.

• Vậy hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

• Với mọi $x_1, x_2 \in (0; +\infty)$ sao cho $0 < x_1 < x_2$:

$f(x_1) - f(x_2) = \frac{1}{x_1} - \frac{1}{x_2} = \frac{x_2 - x_1}{x_1 x_2} > 0$ (vì $x_2 > x_1 > 0$).

• Suy ra $f(x_1) > f(x_2) \implies$ hàm số nghịch biến trên khoảng $(0; +\infty)$.