Ôn chương 4 - Toán 10 — Sách Toán THPT

I. Hệ thống lý thuyết trọng tâm Chương IV

⚡ Hệ thống kiến thức Vectơ & Tọa độ

Cộng, trừ vectơ: Quy tắc 3 điểm $\vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AC}$; Quy tắc trừ $\vec{OB} - \vec{OA} = \vec{AB}$; HBH $\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}$.
Hệ thức cơ bản: Trung điểm $\vec{MA} + \vec{MB} = 2\vec{MI}$; Trọng tâm $\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC} = 3\vec{MG}$.
Tích số với vectơ: $\vec{a} = k\vec{b} \Leftrightarrow \vec{a}, \vec{b}$ cùng phương.
Tọa độ trong $Oxy$: $\vec{u} = (x; y)$, $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}$.
Tích vô hướng: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos(\vec{u}, \vec{v}) = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

II. Minh họa trực quan & Đồ thị tương tác (JSXGraph)

Sơ đồ tổng quan tam giác $ABC$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với trọng tâm $G$.

💡 Mô phỏng 1: Tam giác ABC và trọng tâm G trong hệ tọa độ Oxy.

III. Các dạng toán ôn tập tổng hợp (Mỗi dạng kèm 3 ví dụ liền)

Dạng 1: Quy tắc cộng, trừ & Nhân số với vectơ

📌 Phương pháp giải Dạng 1

Sử dụng tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối và chèn điểm để biến đổi các tổng vectơ.

🔍 Ví dụ 1.1 (Rút gọn biểu thức tổng vectơ)

Rút gọn $S = \vec{AB} + \vec{CD} + \vec{BC} + \vec{DA}$.

💡Xem lời giải

• $S = (\vec{AB} + \vec{BC}) + (\vec{CD} + \vec{DA}) = \vec{AC} + \vec{CA} = \vec{0}$.

🔍 Ví dụ 1.2 (Hiệu hai vectơ chung gốc)

Cho 4 điểm $A, B, C, D$. Rút gọn $\vec{AB} - \vec{AC} + \vec{CD}$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} - \vec{AC} = \vec{CB}$.

• $\vec{CB} + \vec{CD}$ (nếu $CB lines$).

🔍 Ví dụ 1.3 (Phép nhân số với vectơ)

Cho $\vec{u} = 2\vec{a} - 3\vec{b}$ và $\vec{v} = \vec{a} + 2\vec{b}$. Tính $2\vec{u} - 3\vec{v}$.

💡Xem lời giải

• $2(2\vec{a} - 3\vec{b}) - 3(\vec{a} + 2\vec{b}) = 4\vec{a} - 6\vec{b} - 3\vec{a} - 6\vec{b} = \vec{a} - 12\vec{b}$.

Dạng 2: Tọa độ vectơ, Trung điểm & Trọng tâm tam giác

📌 Phương pháp giải Dạng 2

Áp dụng các biểu thức tọa độ của điểm, trung điểm và trọng tâm trong mặt phẳng $Oxy$.

🔍 Ví dụ 2.1 (Tọa độ trung điểm và trọng tâm)

Cho $A(2; 4), B(4; 8), C(6; 0)$. Tìm tọa độ trung điểm $I$ của $AB$ và trọng tâm $G$ của $\triangle ABC$.

💡Xem lời giải

• $I(3; 6)$.

• $G(4; 4)$.

🔍 Ví dụ 2.2 (Tìm đỉnh thứ 3 của tam giác)

Cho $A(1; 1), B(3; 5)$ và trọng tâm $G(2; 3)$. Tìm tọa độ đỉnh $C$.

💡Xem lời giải

• $x_C = 3(2) - 1 - 3 = 2, y_C = 3(3) - 1 - 5 = 3 \Rightarrow C(2; 3)$.

🔍 Ví dụ 2.3 (Tính khoảng cách giữa 2 điểm)

Tính độ dài đoạn $AB$ với $A(-1; 2)$ và $B(3; 5)$.

💡Xem lời giải

• $AB = \sqrt{(3 - (-1))^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{16 + 9} = 5$.

Dạng 3: Tọa độ đỉnh hình bình hành & Tỉ số đoạn thẳng

📌 Phương pháp giải Dạng 3

$ABCD$ là HBH $\Leftrightarrow \vec{AB} = \vec{DC}$. Điểm $M$ chia đoạn theo tỉ số $\vec{MA} = k\vec{MB}$.

🔍 Ví dụ 3.1 (Tìm đỉnh D của hình bình hành)

Cho $A(0; 1), B(2; 4), C(5; 3)$. Tìm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành.

💡Xem lời giải

• $\vec{AB} = (2; 3) = \vec{DC} = (5 - x_D; 3 - y_D) \Rightarrow D(3; 0)$.

🔍 Ví dụ 3.2 (Tìm điểm chia tỉ lệ 2:1)

Cho $A(1; 2), B(4; 8)$. Tìm tọa độ điểm $M$ trên đoạn $AB$ sao cho $MA = 2 MB$.

💡Xem lời giải

• $\vec{AM} = \frac{2}{3}\vec{AB} = \frac{2}{3}(3; 6) = (2; 4) \Rightarrow M(3; 6)$.

🔍 Ví dụ 3.3 (Tâm hình bình hành)

Cho $A(1; 2)$ và $C(5; 6)$ là hai đỉnh đối diện của HBH $ABCD$. Tìm tọa độ tâm $O$ của HBH.

💡Xem lời giải

• Tâm $O$ là trung điểm $AC \Rightarrow O(3; 4)$.

Dạng 4: Tích vô hướng, Góc giữa hai vectơ & Vuông góc

📌 Phương pháp giải Dạng 4

$\vec{u} \cdot \vec{v} = x_1 x_2 + y_1 y_2$. Tích $= 0 \Rightarrow \vec{u} \perp \vec{v}$.

🔍 Ví dụ 4.1 (Tính góc giữa 2 vectơ)

Cho $\vec{a} = (1; 2)$ và $\vec{b} = (-2; 1)$. Tính tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ và góc giữa 2 vectơ.

💡Xem lời giải

• $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(-2) + 2(1) = 0$.

• Tích vô hướng bằng 0 $\Rightarrow \theta = 90^\circ$ (hai vectơ vuông góc).

🔍 Ví dụ 4.2 (Tìm tham số m vuông góc)

Cho $\vec{u} = (m; 3)$ và $\vec{v} = (2; -4)$. Tìm $m$ để $\vec{u} \perp \vec{v}$.

💡Xem lời giải

• $2m - 12 = 0 \Rightarrow m = 6$.

🔍 Ví dụ 4.3 (Chứng minh tam giác vuông)

Cho $A(1; 1), B(3; 3), C(5; 1)$. Chứng minh tam giác $ABC$ vuông tại $B$.

💡Xem lời giải

• $\vec{BA} = (-2; -2), \vec{BC} = (2; -2)$.

• $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-2)(2) + (-2)(-2) = -4 + 4 = 0 \Rightarrow \triangle ABC$ vuông tại $B$.

Dạng 5: Tập hợp điểm M thỏa mãn đẳng thức vectơ

📌 Phương pháp giải Dạng 5

Quy về $|k \vec{MI}| = C \Rightarrow MI = R$ (đường tròn tâm $I$).

🔍 Ví dụ 5.1 (Tập hợp điểm M là đường tròn)

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa $|\vec{MA} + \vec{MB}| = 4$.

💡Xem lời giải

• Gọi $I$ là trung điểm $AB \Rightarrow 2 MI = 4 \Rightarrow MI = 2$.

• Đường tròn tâm $I$ bán kính $R = 2$.

🔍 Ví dụ 5.2 (Tập hợp điểm M là trung trực)

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa $|\vec{MA} + \vec{MB}| = |\vec{MA} - \vec{MB}|$.

💡Xem lời giải

• $2 MI = AB \Rightarrow MI = AB/2$.

• Đường tròn đường kính $AB$.

🔍 Ví dụ 5.3 (Tập hợp điểm M với trọng tâm G)

Cho tam giác $ABC$. Tìm tập hợp điểm $M$ thỏa $|\vec{MA} + \vec{MB} + \vec{MC}| = |\vec{AB} - \vec{AC}|$.

💡Xem lời giải

• $3 MG = CB \Rightarrow MG = \frac{BC}{3}$.

• Đường tròn tâm $G$ bán kính $R = BC/3$.

Dạng 6: Bài toán Vật lý ứng dụng hợp lực, vận tốc & công

📌 Phương pháp giải Dạng 6

Công $A = \vec{F} \cdot \vec{d}$, hợp lực $\vec{F} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$.

🔍 Ví dụ 6.1 (Hợp lực kéo hai dây)

Hai dây thừng kéo một vật với lực $F_1 = 300\text{ N}$ và $F_2 = 400\text{ N}$ vuông góc nhau. Tính độ lớn hợp lực $\vec{F}$.

💡Xem lời giải

• $F = \sqrt{300^2 + 400^2} = 500\text{ N}$.

🔍 Ví dụ 6.2 (Tính công của lực đẩy)

Lực đẩy $F = 60\text{ N}$ song song mặt sàn làm vật dịch chuyển $8\text{ m}$. Tính công thực hiện.

💡Xem lời giải

• $A = 60 \times 8 \times \cos 0^\circ = 480\text{ J}$.

🔍 Ví dụ 6.3 (Vận tốc tổng hợp của máy bay)

Máy bay giữ vận tốc $500\text{ km/h}$ hướng Bắc, gió thổi với vận tốc $60\text{ km/h}$ hướng Đông. Tính tốc độ thực tế của máy bay.

💡Xem lời giải

• $v = \sqrt{500^2 + 60^2} = \sqrt{253600} \approx 503.59\text{ km/h}$.

🎯 IV. Bài tập trắc nghiệm tự luyện

Dưới đây là 10 câu hỏi trắc nghiệm động (tự tạo số ngẫu nhiên & chấm điểm trực tiếp) giúp bạn củng cố toàn bộ kiến thức bài học.

Câu 1:🎲 Câu hỏi động

Cho hai vectơ $\vec{u} = (2; -4)$ và $\vec{v} = (-1; 2)$. Hai vectơ này có mối quan hệ gì?

Câu 2:🎲 Câu hỏi động

Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 3), B(2; 5), C(6; 1)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác là:

Câu 3:🎲 Câu hỏi động

Cho hai vectơ $\vec{a} = (3; 1)$ và $\vec{b} = (2; -6)$. Khẳng định nào sau đây **ĐÚNG**?

Câu 4:🎲 Câu hỏi động

Cho hình vuông $ABCD$ cạnh $a$. Độ dài của vectơ $\vec{AB} + \vec{AD}$ bằng:

Câu 5:🎲 Câu hỏi động

Cho $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$. Đẳng thức vectơ nào sau đây **ĐÚNG** với mọi điểm $M$?

Câu 6:🎲 Câu hỏi động

Cho $\vec{a} = (2; 1)$ và $\vec{b} = (-1; 3)$. Giá trị tích vô hướng $\vec{a} \cdot \vec{b}$ là:

Câu 7:🎲 Câu hỏi động

Cho $A(1; 1), B(4; 5)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng:

Câu 8:🎲 Câu hỏi động

Cho $A(0; 1), B(2; 3), C(5; 2)$. Tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành là:

Câu 9:🎲 Câu hỏi động

Hai vectơ $\vec{u}$ và $\vec{v}$ có $|\vec{u}| = 4, |\vec{v}| = 5$ và góc giữa chúng bằng $60^\circ$. Tích vô hướng $\vec{u} \cdot \vec{v}$ bằng:

Câu 10:🎲 Câu hỏi động

Một người kéo vali đi một đoạn $100\text{ m}$ trên mặt sàn với lực $F = 40\text{ N}$ hợp góc $60^\circ$ với phương ngang. Công do người đó thực hiện là:

Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm Ôn tập Chương IV

Rèn luyện trắc nghiệm động với giải thích chi tiết — mở ngay giao diện thi thử trực tuyến!

🚀 Làm bài trắc nghiệm ngay →

Miễn phí · Giao diện mượt mà · Tự động chấm điểm

📝 Bài tập tự luận tổng hợp Chương IV

📝 Bài tập tự luận Ôn tập Chương IV (5 Bài lớn)

Bài 1. Cho $A(1; 2), B(3; 6), C(5; 2)$. Tìm tọa độ điểm $D$ để $ABCD$ là hình bình hành và tính tọa độ tâm $O$ của HBH này.

💡Xem lời giải Bài 1

• $\vec{AB} = (2; 4) = \vec{DC} = (5 - x_D; 2 - y_D) \Rightarrow D(3; -2)$.

• Tâm $O$ là trung điểm $AC \Rightarrow O(3; 2)$.

Bài 2. Cho $\vec{a} = (2; 1)$ và $\vec{b} = (m; -4)$. Tìm $m$ để: a) $\vec{a} // \vec{b}$; b) $\vec{a} \perp \vec{b}$.

💡Xem lời giải Bài 2

• a) Cùng phương: $\frac{m}{2} = \frac{-4}{1} \Rightarrow m = -8$.

• b) Vuông góc: $2m - 4 = 0 \Rightarrow m = 2$.

Bài 3. Cho tam giác $ABC$ có $A(1; 3), B(2; 7), C(6; 5)$. Tính chu vi tam giác $ABC$ và diện tích $S$.

💡Xem lời giải Bài 3

• $AB = \sqrt{17}, BC = \sqrt{20}, CA = \sqrt{29}$. Chu vi $= \sqrt{17} + sqrt{20} + sqrt{29}$.

• Diện tích $S = 7$.

Bài 4. Cho tam giác $ABC$ có $AB = 3, AC = 4, BC = 5$. Tính tích vô hướng $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$.

💡Xem lời giải Bài 4

• Tam giác vuông tại $A \Rightarrow \cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{5}$.

• $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = BA \cdot BC \cos B = 3 \times 5 \times \frac{3}{5} = 9$.

Bài 5. Hai con tàu xuất phát từ cùng một cảng $O(0; 0)$ đi theo hướng $\vec{v}_1 = (30; 40)\text{ km/h}$ và $\vec{v}_2 = (40; -30)\text{ km/h}$. Chứng minh đường đi của hai tàu vuông góc nhau và tính khoảng cách giữa hai tàu sau 2 giờ.

💡Xem lời giải Bài 5

• $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 30(40) + 40(-30) = 1200 - 1200 = 0 \Rightarrow$ Hai đường đi vuông góc nhau.

• Tốc độ $v_1 = 50\text{ km/h}, v_2 = 50\text{ km/h}$. Sau 2 giờ, $d_1 = 100\text{ km}, d_2 = 100\text{ km}$.

• Khoảng cách $D = \sqrt{100^2 + 100^2} = 100\sqrt{2} \approx 141.42\text{ km}$.